2020届江苏淮安新淮高级中学高三下学期5月调研数学试题

1、新淮高级中学高三数学调研卷一、填空题：本题共 14个小题，每题 5分，满分70分.1 .已知集合 A 2, 1,0,1,2 , B x|x 0,则 AI B .【答案】1,2【分析】根据交集的运算可直接得出结果.【详解】解：Q 集合 A 2, 1,0,1,2 , B x|x 0,AI B 1,2,故答案 1,2.【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2 .已知函数f(x) ln x x2 ,则曲线f(x)在点(1, f。)处的切线在y轴上的截距为【答案】2【分析】求导，求出f (1), f(1),即可得出结论.21【详解】由f(x) ln x x2,得f (x) 2x, x所以f (1)

2、3,又f(1) 1,所以切点为(1,1),所以切线方程为 y 1 3(x 1),即y 3x 2,令x 0,得y 2,所以切线在y轴上的截距为-2.故答案为:-2【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题其频率分布直方图如图3 .某水产养殖场利用 100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量(单位：kg),所示，则该养殖场有 个网箱产量不低于 50 kg .【答案】82【分析】根据频率分布直方图，可求出不低于50kg的频率，然后再根据频率即可求出结果【详解】由频率分布直方图，可知不低于50kg的频率为：(0.040+0.070+0.042+0.012 ) X5 = 0.82,所以网箱个数：

3、0.082 M00= 82.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的，以及频率的基本概念，考生熟练掌握相关概念是解决本题的关 键.4 .从1,2,3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 .,1【答案】-3【分析】用列举法写出所有的两位数，计数后可计算出概率1【详解】列举法：12, 21 , 13, 31, 23, 32, 一共6种可能，其中偶数 2种，概率为一3【点睛】本题考查古典概率知识点的基本运用，属于基础题型.5 .函数y JgJ一x_ 的定义域是 X2 3x 4【答案】,1 U 1,1【分析】根据分母不等于 0,以及对数函数的真数大于0,建立不等式组，解之即可求出所

4、求.【详解】解：q y1g1 xx 3x 41 x 02 解彳x x 1且x 1即x2 3x 4 01g 1 x即函数y g的定义域为，1 U 1,1 ,x2 3x 4故答案为： ，1 U 1,1【点睛】本题主要考查了分式函数与对数函数的定义域，以及不等式组的解法，同时考查了运算求解的能力，属 于基础题.6 .已知复数z满足z i 1 i 3 i,则z 【答案】io【分析】先由条件解出复数z并运算化简，然后求出【详解】解：因为z i 1 i 3 i1 3i所以z所以z3 2 J10.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和复数的模长，复数的除法运算需分子分母同乘分母的共利复数7 .已知等比数列 a

5、n的前n项和为Sn,前n项积为Tn,若S3 a2 4a1，T5 243 ,则a1的值为【答案】1.【分析】根据等比数列的性质求出a3,再根据 $= a2+4a,求得公比，根据通项公式即可求出日的值【详解】由已知，$= a1a2a3a24a1,则a33al ,所以q23.PF52又丁5 a1a2a3a4a5 a3 243,所以 a3 a1q3 , a1 1.故答案为1.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.228.已知双曲线C：2 4 1的离心率为2,且它的一个焦点到一条渐近线的距离为J3,则双曲线 C的标准方a2 b2程是.2【答案】x2 / 13【分析】cb

6、c由离心率得 一2,由点到直线距离公式得.43 ,结合a2 b2 c2可解得a,b.a. a2 b2c -【详解】由已知得 一2, 一条渐近线方程为bxabc 0ay 0 ,根据焦点到渐近线距离d 弓b ,2,2,a b2则b 6，a=1, c=2,故双曲线C的标准方程是x2 y1.3a,b,c的方程，解得 a,b即可.9.如图，已知正方形 ABCD的边长为2, E, F分别为边BC, CD的中点.沿图中虚线折起，使 B, C, D三点重【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，解题时根据已知条件列出合，则围成的几何体的体积为D1由题意知图形折叠为三棱锥，直接求出三棱锥的体积即可【详解】以AE,EF

7、,AF为折痕，折叠这个正方形，使点B,C, D重合于一点p ,得到一个四面体，如图所示.;在折叠过程中，始终有 AB BE , AD DF ,即 AP PE , AP PF ,所以AP 平面EFP .1 _四面体的底面积为：SVEFP - PE PF ,图为 AP 221 11:四面体A EFP的体积：VA EFP - - 1 1 2 -.A EFP3 23一1故答案为：-.3【点睛】本题主要考查三棱锥体积，考查学生对翻折问题的理解，是中档题10.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是【答案】27注意此由框图的顺序，s= 0, n=1, s= (s+n)n= (0+1) M = 1,

8、 n = n+1=2,依次循环s= (1 + 2) >2=6, n=3,刻3> 3仍然否，所以还要循环一次s= (6 + 3) >3=27, n = 4,此刻输出s=27.11.在梯形 ABCD 中，AB II CD , AB BC 2,CD 1 ,一、 LUJKM是线段BC上的动点，若BDUULU1 AM3,则UN UJIVBA BC的取值范围是1,1012.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(X ) f(X),当x0,2时,(x )f (x)1在区间 ,3上所有的实数解之和为把方程(x)f (x) 1在区间 ，3 上所有的零点，转化为函数1与h(x) 的交点的横坐x【分

9、析】lUUr设BMUUirtBC ,t0,1UUKUL1V +一 UL1VUUUV ，用 BABC 表小 BD,AM，化简条件得UUV UUVBA BC，最后根据函数性质求范围.详解设uuutBMuuur tBC,t0,1,则UUV UUUUVBD AMUUV UIU/BC CDUUV UAB BJUVUUV 1 UUVMBC -BA2ULVUUIVBA tBCL.UU/ 1 UUV BC - BA 2uiuruulvBA tBCt1 -2UULV ULV BC BA 4t 23.UUIV所以BCuuv 8tDA282 t 21,10BA2t【点睛】本题考查向量数量积以及向量表示，考查基本分析

10、求解能力,属中档题标，根据f(x ) f(x),求得函数f x的周期为T 2 ,且图象关于点(，0)对称，根据对称性，即 可求解.【详解】由题意，方程 (x )f(x) 1在区间 ,3 上所有的零点，.,1转化为函数y f x与h(x) 的交点的横坐标，x又由定义在R上的奇函数f(x)满足f (x ) f (x) , f x 2 f x f x，所以函数f x的周期为T 2 ,画出函数f x ,h(x)的图象，如图所示，则函数f x的图象关于点(，0)对称，根据图象可彳导,函数f x ,h(x)的图象共有4个交点，它们关于点 (，0)对称，所以函数g x (x ) f(x) 1在区间 ，3 所

11、有的实数解之和为 224 ,故答案为4 .【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程的实数解转化为两个函数的图象的交点的横坐标，结合函数的对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题13.设 a 0,20,一，且2sincos1 cos22cos sin2sincos1 cos22cos sin222cos2cos 2sin coscos1 sin22cos sin 222sin cos 22cossin 1tan 22tan -sincos1tan42222故 tan tan 又 a 0,-， 0,-,242442=，故 2 ，则 tan

12、 2 则 tan 4 2244故答案为1【点睛】本题考查二倍角公式及两角和与差的正切公式，熟记公式，考查化简能力，是中档题x, x 0,114.已知函数f x X2，其中e为自然对数的底数，若存在实数x1，x2满足0 x1<x2 3,且ex2,x1,3f(x1)f(x2),则x2 24的取值范围为 .【答案】0,1 ln2.【分析】分析函数单调性知010x11x2?3,记mx22x1,得到m lnx1 22x1,利用导数求出最值.【详解】解：记m x2 2x1 ,x, x 0,1由 f x x 2'，知 f x 在0,1和(1,3单调，e ,x 1,3所以有，01 以11x2?

13、3 时，f(x1)x1,f(x) ex 2,所以xex2,所以 x2 2 1nxi ,即 x2 1nxi 2 ,故 m 1nxi 2 2x1 ,111设 g(x) Inx 2 2x, x (-，1,则 g(x) - 2 ,令 g (x) 0,得 x ， ex2.1 1当x (一,一)时，g (x) 0, g(x)单调递增， e 21当x (1, 1)时，g (x) 0, g(x)单调递减， 212g(-) 1 一,g 0； ee所以当x 工时，g(x)取极大值也是最大值，即mmax g(1) In- 2 1 1 In2,所以x2 2x1最大值为2221 In2.故答案为：0 , 1 In 2.

14、【点睛】本题考查分段函数的应用，结合导数知识，关键理清不同区间上表达式的形式，求出对应的最值，属于 中档题.二、解答题：本大题共 6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在 ABC 中，角 A，B, C 的对边分别是 a, b, c, B 30 ，且 2asin A 2b c sin B 2c b sinC .(1)求sin A C的大小；(2)若 ABC的面积为3，3,求 ABC的周长.【答案】(1) 1； (2) 4点6【分析】(1)由正弦定理化简已知可求b2 C2 a2be，由余弦定理可得cosA,结合B,可得所求.(2)利用 ABC的面积可求b=c= 2 J3 ,

15、利用余弦定理可得 a=b,从而求得周长.【详解】（1）因为2asinA 2b c sinB 2c b sinC ,由正弦定理可得：2a2 b 2b c c 2c b ,整理得 b2 c2 a2bc，222bca1一cosA -,解得 A 120 .2bc2又 B 30 ,所以 C 180 1203030 ,即 C B 30 ,sin A C sin 120 301.（2）由（1）知 b c, A 120 , 1b2sin1203、S,解得 b c 2 3.22221由余弦定理，得 a b c 2bccosA 12 12 2 1236 ,即 a 6.2ABC的周长为4点 6.【点睛】本题主要考查

16、了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基 础题.16 .如图所示，在四棱柱 ABCD AB1C1D1中，AB BC CA m，AD CD 1, 平面AA1C 1c 平面ABCD .(1)求证：BD AA(2)若E为线段BC的中点，求证： A1E/平面DCC1D1.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)证明BD垂直平面AACiC即可(2)可证明 平面AAE/平面DCCiDi即可.【详解】(1)因为BA BC, DA BD ,所以BD是线段AC的垂直平分线.所以BD AC.又平面AAC1c 平面ABCD ,平面AAC1c 平面ABCD=AC,BD 平

17、面ABCD ,所以BD 平面AAC1c.因为AA 平面AAC1c，所以BD AA1.(2)因为 AB BC CA 6, DA DC 1,所以 BAC BCA 60 , DCA 30 ,连结 AE因为E为BC的中点，所以EAC 30 .所以 EAC DCA.所以 AE/DC .因为DC 平面DCC1D1, AE 平面DCC 1D1 ,所以AE/平面DCC 1D1 .因为棱柱 ABCD AB1c1D1，所以 AA/DD1.因为DD1 平面DCC1D1, AA 平面DCC1D1，所以AA1/平面AA1E,AE 平面 AA1E, AA1 AE A ,所以平面 AA1E /平面 DCC1D1.因为AE

18、平面AAE,所以A1E/平面DCC1D1 .【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定,直线与平面平行的判定,平面与平面平行的判定与性质，属于中档题.证明直线与平面平行时，可考虑线线平行，也可以考虑面面平行再得线面平行22_E经过点17 .已知椭圆E:勺41 a b 0的左右焦点坐标为F1J3,0, F273,0，且椭圆a bMB与x轴交于点2【答案】(1) x- y241 ； (2) SABCD2 -(1)利用椭圆定义可得a值，结合c值即可得出；(2)设 M X0,yo 0X02,0y0 1 ,由A,D,M三点共线可得BDx02 y02x02同理得ACX02y02y。 1,进而SABCDACBD2

19、2cx0 4y0 4x0y0 4x0 8y0 4-00y0一y0一，结合点在椭圆上可2x0 y0x02y0 2(1)因为椭圆焦点坐标为F1,F2 %/3,0,且过点 p(2)设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆 E的左顶点和下顶点，直线所以2a从而b10C,直线MA与y轴交于点D,求四边形ABCD的面积.2故椭圆的方程为士 y x0y0x02y02 14设点 M xo,y0 0 xo 2,0 y0 1因为A 2,0 ,且A, D, M三点共线，所以y。x0 22 y0x02所以BD 12 y0x02x02 y02X0同理得ACx02 y0y。 1因此SABCD1 - AC B

20、D2x02 y0x02x0 2 y0 2y0 12x02 y022 x02 y0 1 '22%4 y0 4x°y0 4xO8y0 42 x0 y0x02 y02因为点M x0,y02在椭圆上，所以无 y24代入上式得：SABCD4x° y0 4x) 8 yO【点睛】求定值问题常见方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(1)求AB的长(用 表示)；(2)对于任意，上述设计方案是否均能符合要求?【答案】 AB 40cos . (2)能符合要求【分析】(1)利用垂径定理，可以得到一个直角三角形，可以求

21、出AB的长;(2)根据垂线段最短这个性质，可以得到点P处的观众离点 O最远，利用余弦定理求出 OP的长，求出它的最大值，与60进行比较，得出结论.【详解】解：(1)过点O作OH垂直于AB ,垂足为H.在直角三角形 OHA中，OA= 20, OAH=,所以 AH=20cos ,因此 AB= 2AH = 40cos .(2)由图可知，点 P处的观众离点 O最远在三角形OAP中，由余弦定理可知OP2八2-2八 一/ 2OA2 AP2 2OA APcos (一3= 40040cos22 20 40cos1 -cos23 .一 sin240026cos2、3sin cos4003cos2,3sin280

22、0 .3sin1600 . 3因为0,3一时, 12OP max800 73 + 1600,又 OPmax=800J3 + 16°。3600所以OP 60所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.12故对于任意，上述设计方案均能符合要求.【点睛】本题考查了利用余弦定理解决生活实际问题. 。、1 3219.已知函数 f(x) -x x ax 3(I ) 讨论f (x)的单调性；(II)设f(x)有两个极值点xi,x2若过两点(xi, f (xi),( x2, f (x2)的直线I与x轴的交点在曲线y f(x)上,求a的值.2 -3【答案】a=0,a= ,或a= 34本试题考

23、查了导数在研究函数中运用.第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间.另外就是运用极值的概念，求解参数值的运用.【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度但是解决的关键还是要看导数的符号的实质不变，求解单调区间.第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值.(1)13=/ 十2为十=（#+（7-1当2,寸，尸“，且仅当"3一时，兔）=0所以 网，提R上的增函数；当K1时，/'（5=0的两个根X - =-1-枭 r = -1 - J -£T当he （-工I-右）时，是增函数；当工匕T-g大疝时 八年<

24、;0的层施独当汇“1十和7,七时，F煤>。即层增函知6分（2）由题设知，立却是方程广（力=0的两个根，故有a<l '：=-2凡1 寸鼻；=-2芯？-<1,因此出勺）二:X;十x：十尔工二；丐（一2一口）十工二十ax11,2122 a=不勺+弓招同理二三粉因此直线的方程为了二;但-1.|克-：设与苜由的交点为（心”得a1, 仃 j , 口£TJ(X。- - 4 1). + 2(a-l)3 2(a-l)2(a-l)2(a-l)可有题设知，点（/r0）在曲线上.故f（X：尸02 、 q解得会0/=三;或卢丁1坊5420.已知正项数列an中，a16,点An 2口，府

25、?在抛用力线y2X 1上.数列bn中，点Bn n,bn在经过1,2为方向向量的直线l上.（1）求数列an,bn的通项公式;若f nan, n为奇数 bn, n为偶数，问是否存在k N*，使得f274 fk成立？若存在，求出k的值;若不存在，说明理由;（3）对任意的正整数n ,不等式n 1ad1d1d111一1b1b2bnnan 2an0成立，求正数a的取值范围.14【答案】(1) an n 5, bn 2n 1； (2)存在，k 4； (3) 0 a .4515【分析】(1)将An坐标代入抛物线方程得数列 an是等差数列，从而得通项公式，求出直线l方程后可得bn ；(2)分类讨论，按 k的奇偶

26、性分类讨论即可求解;(3)不等式可变形为a1 111 L 1b1 b2、2n 31b"，然后设f n1 L 1_b22n 31b-，利用f(n 1)确定f(n)的单调性得其最小值，即得 f(n)a的取值范围.ananai(1)将点 A an, Jan 1代入抛物线y21 得：an 1 anan1 n1 数列an是等差数列.6 n 1 1,即 an nirQ m1.2为直线2,直线l的方程为2x 1(2)当当n,bn在直线由题fk是偶数时,k是奇数时,故存在唯一的k(3)由题1b1l上.n2n4fk 27k 274fk 27k 274符合或31l的方向向量 直线l的斜率一L 1b2a1

27、2n27 5271b12k,2n34,k 35 21bn(舍去)、2n 311111 K 11bb2bn2n 5bn 115f n 1J2n3 11f n 、2n 5bn 12n 42n5 J 2 n3,4n2 16n 16.4n2 16n 15f n ,即数列 f n 是递增数列f x min4,5 八 4.50 a 1515【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列与不等式的综合问题以及数列的单调性.对各项均为正的数列,、an 1 an,可以作商 后确TE其单倜性，也可用 an 1 an确定单调性.anx21.已知点A在变换T ： yx x 3y作用后，再绕原点逆时针旋转90 ,得到点B

28、.若点B的坐标为y y4,3 ,求点A的坐标.【答案】9,4【分析】设A x,y ,绕原点逆时针旋转090对应的矩阵为11,利用矩阵乘法可得 x,y的方程组，解之可得. 0【详解】解：设A x,y ，则a在变换T下的坐标为x 3y,y ,又绕原点逆时针旋转90对应的矩阵为所以1 x 3y0 yyx 3y4 y 4x !，得，解得3 x 3y 3 y 4所以点A的坐标为9,4【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握旋转变换与矩阵乘法的关系是解题关键.22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为一 R ,以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐 4x 4cos ,标系，曲线C的参数方程为y 1 c

29、os2为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标【答案】0,0由直线极坐标方程的意义可得直角坐标方程,由余弦的二倍角公式消元后可得曲线C的普通方程，注意变量的范16围，然后两方程联立方程组可求解交点坐标.【详解】解：直线1的直角坐标方程为 y x.x 4cos ,o由方程可彳导y 2cos2y 1 cos222 1x2 ,又因为 1 cos481,所以 4 x 4. 1 2所以曲线C的普通方程为 y -x24x481 20,或x 8 （舍去）将直线1的方程代入曲线方程中，得-x2 x ,解得x8所以直线1与曲线C的交点p的直角坐标为 0,0【点睛】本题考查直线的极坐标方程，考查参数方程化为普

30、通方程.过原点的直线的极坐标方程根据极坐标的意义可得直角坐标方程.消元化参数方程为普通方程时需要注意变量取值范围的变化，否则易出错.23.高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径 略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.田回叵1回国(I)理论上，小球落入4号容器的概率是多少

31、?(n) 一数学兴趣小组取3个小球进行试验， 设其中落入4号容器的小千个数为 X ,求X的分布列与数学期望【答案】(I ) ；(!) X的分布列见解析，数学期望是344【分析】(I )若要小球落入 4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；(n )落入4号容器的小球个数 X的可能取值为0, 1, 2, 3,算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列 数学期望的公式可求得结果 .【详解】解：(I )记“小球落入 4号容器”为事件 A ,若要小千落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，4理论上，小球落入 4号容器的概率 P(A) C3 11.2417(n)落入4号容器的小球个数X的可能取值为0,1,2,3,P(X 0) c327，P(X 1)64c327564一 一 2P(X 2) C39，P(X643)c31 5 64X0123P276427649641641