空间向量及二面角地向量求法专题

1、实用文档第四讲空间向量、定义：(1),那么AB=(X2-xi,y2-yi,Z2-zi)(2)a=(xi,yi,zi),b=(X2,y2,Z2),那么a+b=(xi+X2,yi+y2,zi+Z2);(3)数量积：ab=abcose(4)应用：a=(x,yi,Zi),b=(x2,y2,Z2)xyiZia/b=b=a=一x2y2Z2a_b=ab=0=xx2yy2z1z2=0二、空间向量解决空间立体几何问题：i、位置关系判定：线线平行：na=*=土=工=区x2y2Z2_TT 入区八线线垂直：a_b-二-cos二-0=xx2yy2zz2=02TTT2线面平行：a_Lm=/产其中m为平面的法向量ff线面垂

2、直：a/m=l1面面平行：mn=a/,其中m为1a的法向量,np的法向量a-b=(Xi-x2,yi-y2,Zi-Z2)；ab=xx2yy2zz2-2呷注：a=aab二,(ab)222；|a尸、:xy-zT,T,口T7R面面垂直：m_Ln=a_LF,其中m为二的法向重,nF的法向重标准文案实用文档2、求夹角:ab二(1)线线角：|cose|=|-|,其中日w0,|a|b|2am一,二(2)线面角：sin日=|cos日|=|-|,其中日w0,|a|m|2T-f(3)二面角：cose=m二二,其中Hw0,n)|m|n|标准文案实用文档向量法求解二面角向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体

3、几何里的应用更为直接,用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题.随着新教材中向量工具的引入,立体几何的解题更加灵活多样,这为那些空间想象水平较差的同学提供了机遇.利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证实的问题,尤其在求点面距离、空间的角斜线与平面所成的角和二面角时,法向量有着它独有的优势,以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角.,利用法向量求二面角的大小的原理设n ni i,n,n2 2分别为平面的法向量,二面角 -l-l- -P P的大小为日,向量n n；,n,n；的夹角为邛,那么有日+邛=冗图1 1或日=平图2 2根本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或

4、夹角的补角等于这个二面角的平面角.标准文案,如何求平面的一个法向量例题1:如图3,在正方体ABCD-AiBCiDi中G、E、为AAi、AB、BC的中点,求平面GEF的法向量.略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系,那么E(1,-,0)、F(-,1,0)、22G(1,0,1)由止匕得：GEn9,1,1)FEnl!,!.)22222设平面的法向量为n=(x,y,z)由n-LGE及n,FE可得,-11cn*GE=一y-z=0r22x=y-1116z=yn*FE=xy=0y22令y=1取平面的一个法向量为n=(1,1,1)标准文案实用文档实用文档F分别评析由于平面的法向量有无数个,方向可上可下,模可大

5、可小,我们只要求出平面的某一个法向量教简单的即可.三.法向量的应用举例：例题4.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AAi=2,点Q是BC的中点,求此时二面角AAiDQ的大小.评析1用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲：“找一一证一一求直接简化成了一步曲： “计算,这在一定程度上降低了学生的空间想象水平,到达不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新水平的培养,表达了教育改革的精神.2此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本6 6题中右令a ai=i=1,1,那么 n n2 2= =-1,-1,一 1,1,一 2 2, ,

6、cosncos=- -, ,一面角A AAiDAiD一6 6Q的大小是n ni i,也 a=兀-arccosarccos上6 6的补角arccosarccos.所以在计算之前不妨先6666依题意直观判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角或取“补角.标准文案实用文档例5如图5,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,AD/BC,/ABC=900,SAX面ABCD,SA=-,AB=BC=1,AD,.求侧面SCD与面22评析：1由于所求的二面角的交线在图中较难作出,所以用传统的方法求二面角比拟困难,向量法在这里就表达出它特有的优势；2但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝

7、角时,图形的直观性就不明显了,当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案.标准文案SBA所成的二面角的大小.图5进一出,那么所求的二面角的平面角就等实用文档四.当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时,通过判断法向量的方向来求解二面角.原理首先我们再重新熟悉一下法向量夹角和二面角的关系:如上图6所示,当我们把法向量限制成“一进一出,此时两法向量在三个坐标平面xoy,yoz,xoz的投影也可以看成是“一进一出,这时不难得出力,叱的夹角就是二面角的大小,反之就不是.其次如何限制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下,“向后或向前,“向左或向右标准文案实用文档于两法向量的夹角,如果是“

8、同进同出,那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角,掌握了这点,那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲.1,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,AD/BC,/ABC=900,SAX面ABCD,SA=1,AB=BC=1,AD=-0求侧面SCD与面SBA所成的二面角222如图,正三棱柱ABC-ABG的所有棱长都为2,D为CCi中点.(I)求证：ABi,平面ABD;(H)求二面角A-AiB-Ci的大小；标准文案的大小.实用文档3.如图,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA_L平面ABCD,/ABC=60,E,F分另是BC,PC的中点.(1)证实：AE-LPD;(2)假设H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为面角E-AF-C的余弦值.4 .如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD中,/ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=亚a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(1)证实PAL平面ABCD;(2)求