新 第5讲(学生版) 勾股定理经典例题

1、 专项辅导第5讲 勾股定理经典题类型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用如图，已知：在中，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，B=D=90°，A=60°，AB=4

2、，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （2） 用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D

3、，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 解： 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法： 【变式】在数轴上表示的点。

4、类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 （1）原命题：猫有四只脚（正确）（2）原命题：对顶角相等（正确）（3）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）（4）原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 【变式1】四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角

5、三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 类型二：勾股定理的应用 2

6、、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30°，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写

7、出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 （二）方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90°，A=60°，求、的值。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一

8、边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 考点一：勾股定理相关概念性质（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（3）勾股定理的验证 例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在RtABC中，C=90°若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=2

9、5，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则RtABC的面积是=_。（2）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（） A、2nB、n+1C、n21D、（3）在RtABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。（2）已知RtABC中，C=90°，若

10、a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（） A、24B、36 C、48D、60（3）已知x、y为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5B、25 C、7D、15 例2：面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 （图1） （图2） （图3）（3）如图，ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆

11、，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ）A. S1+ S2> S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. 以上都不是（2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1例3：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池

12、塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例4：最短路程问题（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式）（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。 （图1） （图2）例5：航海问题（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海

13、里（2）如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。 （图1） （图2）（3）如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休

14、闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例6：网格问题（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A0 B1 C2 D3（2）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 （图1） （图2） （图3）例7：图形问题（1）如图1，求该四边形的面积（2）如图2，已知，在ABC中，A= 45°，AC= ，AB= +1，

15、则边BC的长为 （图1） （图2）（3）某公司的大门如图所示,其中四边形 是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5,宽为1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由. （4）（太原）将一根长24的筷子置于地面直径为5，高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h，则h的取值范围 。课后作业：【中考链接】1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm， 现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm ABCD2如图所示，在RtABC中，C90

16、°，A30°，BD是ABC的平分线，CD5，求AB的长3. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可） 4下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，65 在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）6 A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D等腰直角三角形6.已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt