方波的傅立叶级数合成与分解信号与系统

1、电子科技大学 光电信息学院 姜哲方波的合成与分解【设计要求】(1) 熟悉连续周期信号的傅立叶级数定义。(2) 连续周期方波信号的建模。(3) 利用MATLAB工具对方波分解出来的信号进行合成。【设计工具】MATLAB【设计原理】1、 傅立叶级数分析的原理：任何周期信号都可以用一组三角函数sin(n0t)，cos(n0t)的组合表示：这表明傅立叶级数可以表示为连续时间的周期信号，也即是连续时间周期信号可以分解为无数多个复指数谐波分量。在这里为傅立叶级数的系数，称为基波频率。2、 建立方波信号的模型：思考：如何建立连续周期方波信号？预置一个周期内的方波信号： -A(-T/2<t<0)一

2、个完整周期内的信号表达式：= A(0<t<T/2)对方波信号以周期T进行平移：通过以上的两个步骤我们可以建立一个连续周期方波信号，为降低方波信号分解与合成的复杂程度，可以预置方波信号为奇谐信号，此连续时间周期方波信号如下：3、 方波信号分解：根据傅立叶级数分析，其三角函数展开式为：n=1，3，5，7，9由以上可知道，周期方波信号可以分解为一系列的正弦波信号：4A/*（sin0t）、4A/*（sin(30t)/3）、4A/*（sin(50t)/5）、4A/*（sin(70t)/7）、4A/*（sin(90t)/9）其中0为周期方波信号的基波频率，A为周期方波信号的幅值，此方波信号可以

3、分解为各奇次谐波。思考：奇谐信号如何分解为各奇次正弦波？4、 方波信号合成：对连续周期方波信号各谐波分量(基波分量、三次波分量、五次波分量)分别进行求和运算，步骤如下：考查一个完整周期(02)这段时间内的信号，画出结果，并显示。画出基波分量，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。将三次谐波加到第二步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 将五次谐波加到第三步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。将七次谐波与九次谐波加到第四步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。思考：当，对各奇次谐波进行合成，会得到什么样的图形？【思考题】在求解傅立叶级数

4、中，实偶信号对应什么样的信号？实奇信号对应什么样的信号？奇谐信号对应什么样的信号？【MATLAB参考命令】绘图命令：plot、subplot等符号函数：sign(t)等一、 方波的定义：方波是一种非正弦曲线的波形，通常会于电子和讯号处理时出现。理想方波只有“高”和“低”这两个值。电流的波形为矩形的电流即为方波电流。不论时间轴上下是不是对称的，只要是矩形就可叫方波。方波的性质：例，方波的图像：二、对于方波的数学分析：任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：或（其中：T为周期，为角频率。称为基波频率；第一项为直流分量，为傅立叶级数的系数，称为基波频率）对于上图图1

5、所示方波，我们可以得到他的时域特性函数： ， （周期为T）【此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为：】 化简后可得 ： 三、 方波信号的合成:对连续周期方波信号各谐波分量(基波分量、三次波分量、五次波分量)分别进行求和运算，步骤如下：考查一个完整周期内的信号，画出结果，并显示。 运用MATLAB 7.0编辑程序：程序如下：function A_sym,B_sym = signals syms t n k x;T = 5;tao = 0.2*T;a = 0.5;if nargin<4;Nf = 6;endif nargin<5;Nn = 32;endfunctio

6、n x = uestcx(t)h = 1;x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h;x = x1-sym('Heaviside(t-0.5)')*h;function y = uestce(t)a = 0.5;T = 5;h = 1;tao = 0.2*T;t= -8*a:0.01:T-a;e1 = 1/2+1/2*sign(t+tao/2);e2 = 1/2+1/2*sign(t-tao/2);y = h.*(e1-e2);x = uestcx(t);A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;As = int(2*x*cos(2*p

7、i*n*t/T)/T,t,-a,T-a);Bs = int(2*x*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);A_sym(1) = double(vpa(A0,Nn);for k=1:Nf A_sym(k+1) = double(vpa(subs(As,n,k),Nn); B_sym(k+1) = double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn);endif nargout =0 c=A_sym;disp(c) d=B_sym;disp(d) t = -8*a:0.01:T-a; subplot 221 y = uestce(t); plot(t,y,'r:'

8、;) title('一个完整周期内的信号') end运行程序后，可以得到结果如下图：在T=1s，A=1情况下，一个完整周期内的信号如上图。画出基波分量，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 运用MATLAB 7.0编辑程序：程序代码如下：function A_sym,B_sym = signals syms t n k x;T = 5;tao = 0.2*T;a = 0.5;if nargin<4;Nf = 6;endif nargin<5;Nn = 32;endx = uestcx(t);A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;As = int(2*

9、x*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);Bs = int(2*x*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);A_sym(1) = double(vpa(A0,Nn);for k=1:Nf A_sym(k+1) = double(vpa(subs(As,n,k),Nn); B_sym(k+1) = double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn);endif nargout =0 c=A_sym;disp(c) d=B_sym;disp(d) t = -8*a:0.01:T-a; f=square(2*pi*t,50); f1=4*sin(2*t*pi)/

10、pi; subplot 221 plot(t,f1) title('基波') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 222 y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 223 plot(t,f1),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('周期信号与基波的比较')endfunction x = uestcx(t)h = 1;x1 = sym(

11、'Heaviside(t+0.5)')*h;x = x1-sym('Heaviside(t-0.5)')*h;function y = uestce(t)a = 0.5;T = 5;h = 1;tao = 0.2*T;t= -8*a:0.01:T-a;e1 = 1/2+1/2*sign(t+tao/2);e2 = 1/2+1/2*sign(t-tao/2);y = h.*(e1-e2);运行程序后得到如下所示结果：*发现基波信号与原周期信号并不能很好的吻合， 两者误差较大。将三次谐波加到第二步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 运用MATL

12、AB 7.0编辑程序：程序代码如下：function A_sym,B_sym = signals syms t n k x;T = 5;tao = 0.2*T;a = 0.5;if nargin<4;Nf = 6;endif nargin<5;Nn = 32;endx = uestcx(t);A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;As = int(2*x*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);Bs = int(2*x*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);A_sym(1) = double(vpa(A0,Nn);for k=1:Nf

13、A_sym(k+1) = double(vpa(subs(As,n,k),Nn); B_sym(k+1) = double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn);endif nargout =0 c=A_sym;disp(c) d=B_sym;disp(d) t = -8*a:0.01:T-a; f=square(2*pi*t,50); f1=4*sin(2*t*pi)/pi; f2=4*sin(6*t*pi)/(pi*3); f3=f1+f2; subplot 221 plot(t,f1),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') tit

14、le('原周期信号与基波信号') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 222 plot(t,f3),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号+三次谐波信号')endfunction x = uestcx(t)h = 1;x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h;x = x1-sym('Heaviside(t-0.5)')*h;function y = uestce(t)a = 0.5;T = 5;h =

15、 1;tao = 0.2*T;t= -8*a:0.01:T-a;e1 = 1/2+1/2*sign(t+tao/2);e2 = 1/2+1/2*sign(t-tao/2);y = h.*(e1-e2);运行程序后得到如下结果：将五次谐波加到第三步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。运用MATLAB7.0编译程序，程序代码如下：function A_sym,B_sym = signals syms t n k x;T = 5;tao = 0.2*T;a = 0.5;if nargin<4;Nf = 6;endif nargin<5;Nn = 32;endx = u

16、estcx(t);A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;As = int(2*x*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);Bs = int(2*x*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);A_sym(1) = double(vpa(A0,Nn);for k=1:Nf A_sym(k+1) = double(vpa(subs(As,n,k),Nn); B_sym(k+1) = double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn);endif nargout =0 c=A_sym;disp(c) d=B_sym;disp(d) t = -8*a:0.0

17、1:T-a; f=square(2*pi*t,50); f1=4*sin(2*t*pi)/pi; f2=4*sin(6*t*pi)/(pi*3); f3=4*sin(10*t*pi)/(pi*5); f4=4*sin(14*t*pi)/(pi*7); f5=4*sin(18*t*pi)/(pi*9) f6 = f1+f2；subplot 221 plot(t,f1),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 222 plot(t,

18、f6),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号+三次谐波信号') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 223 plot(t,f7),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号+三次谐波信号+五次谐波信号')endfunction x = uestcx(t)h = 1;x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h;x = x1-sym(&#

19、39;Heaviside(t-0.5)')*h;function y = uestce(t)a = 0.5;T = 5;h = 1;tao = 0.2*T;t= -8*a:0.01:T-a;e1 = 1/2+1/2*sign(t+tao/2);e2 = 1/2+1/2*sign(t-tao/2);y = h.*(e1-e2);运行程序后得到如下的图像：*可以发现在谐波信号加入后图像得到了更好的拟合将七次谐波与九次谐波加到第四步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 运用MATLAB7.0编译程序，程序代码如下：function A_sym,B_sym = signal

20、s syms t n k x;T = 5;tao = 0.2*T;a = 0.5;if nargin<4;Nf = 6;endif nargin<5;Nn = 32;endx = uestcx(t);A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;As = int(2*x*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);Bs = int(2*x*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,-a,T-a);A_sym(1) = double(vpa(A0,Nn);for k=1:Nf A_sym(k+1) = double(vpa(subs(As,n,k),Nn); B_sym

21、(k+1) = double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn);endif nargout =0 c=A_sym;disp(c) d=B_sym;disp(d) t = -8*a:0.01:T-a; f=square(2*pi*t,50); f1=4*sin(2*t*pi)/pi; f2=4*sin(6*t*pi)/(pi*3); f3=4*sin(10*t*pi)/(pi*5); f4=4*sin(14*t*pi)/(pi*7); f5=4*sin(18*t*pi)/(pi*9) f6 = f1+f2； f7 = f6+f3； f8 = f7+f4+f5; subplot 221 p

22、lot(t,f1),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 222 plot(t,f6),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号+三次谐波信号') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 223 plot(t,f7),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号+三次谐波信号+五次谐波信号') axis(-4,4.5,-0.1,1.1) subplot 224 plot(t,f8),hold on y = uestce(t); plot(t,y,'r:') title('原周期信号与基波信号+三，五，七，九次谐波信号')endfunction x = uestcx(t)h