【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练：3-8 解三角形应用举例

1、05限时规范特训A级基础达标1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A. 50 m B. 100 mC. 120 m D. 150 m答案：A22014·临沂检测某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为()A. B2C2或 D3解析：根据余弦定理可得：()2x2322×3x×c

2、os(180°150°)，即x23x60.x2或.答案：C3在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为()A. m B. mC. m D. m解析：如图，由已知可得BAC30°，CAD30°，BCA60°，ACD30°，ADC120°，DAC30°，又AB200，AC.在ACD中，由正弦定理得，即DC(m)答案：A4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄埔江西岸选择C、D两观测点，在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水

3、平面上测得电视塔底与C地连线及C、D两地连线所成的角为120°，C、D两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m解析：由题意画出示意图，设塔高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BC·CDcosBCD，得3h2h25002h·500，解得h500 m.答案：D5有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A5 B10C10

4、 D10解析：如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30°，在ABB中，利用正弦定理可求得BB的长度在ABB中，B30°，BAB75°30°45°，AB10 m，由正弦定理，得BB10(m)坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案：C6. 2014·吴忠联考如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A5() k

5、m B5() kmC10() km D10() km解析：由题意，知BAC60°30°30°，ABC30°45°75°，ACB180°75°30°75°，ACAB40×20(km)由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC2022022×20×20×cos30°800400400(2)，BC10(1)10()(km)答案：C7. 2014·温州模拟如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北

6、方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x_.解析：由题知，CBA75°，BCA45°，BAC180°75°45°60°.x.答案：8已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_解析：如图，由题意可得，ACB120°，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22B

7、C·ACcos120°，即32x2222×2xcos120°，整理得x22x5，解得x1.答案：19. 2014·亳州检测一角槽的断面如图，四边形ADEB是矩形，若50°，70°，AC90 mm，BC150 mm，则DE的长度等于_ mm.解析：连接AB，则BAC90°40°，ABC90°20°，C180°40°20°120°，AB2AC2BC22×AC×BC×cos120°90215022×90

8、×150×()902150290×15044100，AB210，故DE210(mm)答案：21010. 如图所示，在四边形ABCD中，ABAD1，BAD，而BCD是正三角形(1)将四边形ABCD的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值解：(1)SABD×1×1×sinsin，因为BDC是正三角形，则SBDCBD2.由ABD及余弦定理，可知BD212122×1×1×cos22cos，于是四边形ABCD的面积Ssin(22cos)，即Ssin()，其中0<<.(2)由(1)，知Ssin

9、()，由0<<，得<<，故当时，S取得最大值1，此时.11. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB5(3)海里，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，ADB180°(45°30°)105°.在A

10、DB中，由正弦定理得，DB10(海里)又DBCDBAABC30°(90°60°)60°，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD·BC·cosDBC30012002×10×20×900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)，答：救援船到达D点需要1小时12. 2014·池州模拟如图，在ABC中，B，AC2，cosC.(1)求sinBAC的值；(2)设BC的中点为D，求中线AD的长解：(1)因为cosC，且C是三角形的内角，所以sinC.所以sinBACsin(BC

11、)sin(BC)sinBcosCcosBsinC××.(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以BC×sinBAC×6，于是CDBC3.在ADC中，AC2，cosC，所以由余弦定理，得AD.即中线AD的长为.B级知能提升12014·合肥模拟在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A120°，b1，且ABC的面积为，则()A. B.C2 D2解析：SABCbcsin120°，即c×，c4，a2b2c22bccos120°21，a，由等比例性质得2.答案：D2在平行四边形ABCD中，对角线AC，B

12、D，周长为18，则这个平行四边形的面积为()A16 B.C18 D32解析：如图，设ABCDa，ADBCb，则即解得或cosBAD，sinBAD，从而SABCD4×5×16.答案：A32014·泰安调研甲船在岛B的正南A处，AB10 n mile，甲船自A处以4 n mile/h的速度向正北航行，同时乙船以6 n mile/h的速度自岛B出发，向北偏东60°方向驶去，则两船相距最近时经过了_ min.解析：设甲、乙两船行驶x h后，分别位于C，D，CDy，如图所示在CBD中，y2(104x)2(6x)22(104x)·6x·cos12

13、0°28x220x10028(x)2，所以当x h，即x×60 min时，y.答案：4某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10，此时v30.答：小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小