专题12二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题(解析版)

1、专题12二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题思路提示:二次函数中的面积问题通常用转化的数学思想将面积转化为线段的最值问题求解，常见的是先分割再 用三角形的面积计算方法（“铅垂高、水平宽法”）求解题型一、四边形面积最值问题31. （2019 山东枣庄中考）如图，已知抛物线y=ax 23令 y=0,得：x -x 4=0, 42解得：x=2或x=8,即 A( 2,0) , R8,0);（2）如图，过 P作PDLx轴交直线BC于点D, - x 4的对称轴是直线 x =3,且与x轴相交于2A, B两点（B点在A点右侧）与y轴交于点C.（1）求抛物线的解折式和 A、B两点的坐标；（2）如图1,若点

2、P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与 R C重合），是否存在点P,使四边 形PBOC勺面积最大？若存在，求点 P的坐标及四边形 PBOCT积的最大值；若不存在，试说明理由；（3）如图2,若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线 BC于点N,当MN3时，求点M的坐标.卸©2【答案】见解析.【解析】解：（1）二抛物线的对称轴为 x=3,32c /口1 3 ,解得：a=一2a4即抛物线的解析式为：y= 1x2 -x 4,42由题意知，C(0,4),设直线BC的解析式为:y=kx+b,得:b 48kb 0解得:11S 四边形 PBO<=Sa BO(+SaPB(= 一2

3、即直线BC的解析式为：y=x+4, 2c .18 4 - PD 8=4PD+16, 211 2-m+4),则 PD= -m 2m24123设 P(n-m -m 4),Rn42S四边形 pbo=4P»162=m 8m 162=m 432，当m=4时，四边形PBOC勺面积取最大值，为 32,此时P点坐标为(4,6);1 o311 o(3)设 M(x,-x-x4),N(x,- x+4),则 MN=|-x2x | ,.MN=3,1 2 | -x 2x |=3 ,41 21 2即 -x 2x=3 (0<x<8)或 -x 2x=3 (x<0 或 x>8), 44解得：Xi

4、=2, x2=6,或 x3=4- 2 <7 , x4=4+2 V7 ,综上所述，当 MN3 时，点 M 的坐标为：(2,6) , (6,4), (4 2用，J7 1) , (4+2 J7 ,-币-1).22. (2019 四川自贡中考)如图，已知直线AB与抛物线C:y ax 2x c相交于点A ( 1,0)和点B (2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线 AB上方抛物线上的一动点，以 MA M助相邻的两边作平行四边形MANB当平行四边形MANB勺面积最大时，求此时平行四边形 MANB勺面积S及点M的坐标;174的距离，若存在，求出定点 F的坐标；若不存在，请说明

5、理由【答案】见解析.(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线 y2【解析】解：(1)把A (1,0), B (2,3)代入抛物线得:a 2 c 04a 4 c 3解得，抛物线的函数表达式为:2y= x +2x+3A( 1,0), B (2,3),直线AB的解析式为：y=x+1,如下图所示，过 M作MIN/ y轴交AB于N,2设 Mmm+2n+3), N(mn+1), ( 1vm<2)2.Q _ 123 &abm= ( m m 2) 3 (m222)21当m 一时， ABM勺面积有最大值27827827_ .1 7、,而 Soman=2

6、SaabM= ,此时 M ()422MN= m+m+2,.15(3)存在，点F(1,)4理由如下：抛物线顶点为D,则D (1,4),则顶点D到直线y17 , _1一的距离为一，设 F (1,n)、P(x, x22x173),设P到直线y 一的距离为PG4172则 PG=( x 2x43) P为抛物线上任意一点都有PGPF,，当P与顶点D重合时，也有PGPF，一， 一 1此时PG1, 41PF=DF=-, 4叶吟), 4即顶点D到直线 PGPEPG=P日2PF2 (x1)2PG2 (x22x(1： x2 4)22x_ 222_3 23)(x 1) (x2x 4) (x 1)2(1；422x2 2

7、x 3)2(x 1)22_3 22_5 2(x 2x ；) (x 2x 5)整理化简可得0x=0,15，当F(1,一)时，无论x取任何实数，均有4PGPF.3.(2019 甘肃中考)如图，已知二次函数【答案】见解析.【解析】解：(1) 二次函数y = x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0)、B (3, 0),1 b C 0.1,解得：b=-4, c=3, 9 3b c 0，二次函数表达式为：y = x - 4x+3;(2)当AB为平行四边形一条边时，如图 1所示,图1则 AB= PE= 2,则点P坐标为(4, 3),当点P在对称轴左侧时，即点 C的位置，点 A B、P、F为顶点的四边

8、形为平行四边形, 即点 P (4, 3)或(0, 3);当AB是四边形的对角线时，如图 2所示，AB中点坐标为(2, 0)设点P的横坐标为m点F的横坐标为2,其中点坐标为： m-2即：m_J. = 2,解得：m= 2, 2即点 P (2, - 1);综上所述，点 P (4, 3), (0, 3), (2, - 1);求点M的坐标.x+3),设点E坐标为(x, x2-4x+3),则点D (x,S 四边形 aebd= AB ( yD Ye) = x+3 x2+4x_ 3= x2+3x=2- K0,所以四边形 AEBDM积有最大值，当x= 3 ,其最大值为 (2019 山东枣庄中考)已知抛物线y =

9、 ax2+3 x+4的对称轴是直线 x = 3,与x轴相交于A, B两点 2 (点B在点A右侧)，与y轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式和 A, B两点的坐标; (2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与 R C重合)，是否存在点P,使四边 形PBOC勺面积最大？若存在，求点 P的坐标及四边形 PBO面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图2,若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线 BC于点N,当MN= 3时, ,此时点E (-,-).2424【答案】见解析.【解析】解：(1) .抛物线的对称轴是直线x= 3,32=3,解得 a= 1 ,2a4抛物

10、线的解析式为：y= - x2+-x+4.42当 y=0 时，x- x2+- x+4 = 0,解得 Xi= 2, X2=8,42.点A的坐标为(-2, 0),点B的坐标为(8, 0).(2)当 x= 0 时，y= 4,.点C的坐标为(0, 4),设直线BC的解析式为y=kx+b (kw0),将B (8, 0), C (0, 4)1 x+4,2BC于点D,如图所示，18kb 0 的/曰 k 1,解得 2b 4 b 4直线BC的解析式为y=过点P作PD/ y轴，交直线代人得:x+4),设点P的坐标为(x,lx2+-x+4),则点D的坐标为(x, 1422贝U PD= x2+ - x+4 - ( x+

11、4) = x2+2x, (0v xv 8), 4224 S 四边形 pboc= Sabo+Sapbc=1 X8X4+ 1 PD?OB22=-(x - 4) 2+32,.当x = 4时，四边形PBOC勺面积最大，最大值是32,即存在点P (4, 6),使得四边形 PBOC勺面积最大.(3)设点M的坐标为(m 1 m2+3m+4)则点N的坐标为(m1 m+4),422MN= |1 mm+2m ,4.MN= 3,m2+2m=3 或 m2+2m= 3, 44解得：m=2, m = 6, m=4-2j7, m=4+2",.点 M的坐标为(2, 6)、(6, 4)、(42" , &qu

12、ot; T)或(4+2",-耳 T).题型二、三角形面积最值问题5. (2019 海南中考)如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过点A( 5,0) , B(-4, 3)两点，与x轴的另一个交点为 C,顶点为D,连接CD(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是该抛物线上一动点(与 B C不重合)，设点P的横坐标为t ,当点P在直线BC的下方运动时，求 PBC面积的最大值；该抛物线上是否存在点P,使彳导/ PBB/BCD若存在，求出所以点 P的坐标，若不存在，请说明理由？【答案】见解析.【解析】解：(1) .抛物线y=ax2+bx+5经过点A( -5,0) , B( -4, 3)两点,2

13、5a 5b 5 0,解得：a=1, b=6, 16a 4b 53即抛物线的解析式为：y=x2+6x+5. 在 y=x2+6x+5 中，当 y=0 时，x=1 或 x= - 5,即 C(1,0),设直线BC的解析式为：y=mxm,m n 0,解得：m=1, n=1,4m n 3即直线BC的解析式为：y=x+1,. S pbc= PExC xB= -PE2设P点坐标为(t, t2+6t+5),则E点坐标为(t, t+1),PE=t+1- (t2+6t+5) =-t2-5t -4,-33 r " Sk pbc= PE = t 5t 422_ 35 2 27-228当t=一时， PBC

14、74;积有最大值，最大值为 ；28由 y=x2+6x+5= (x+3) 24 知，D点坐标为(3, 4),直线CD的解析式为：y=2x+2,由 B(4, 3), C( 1,0)得：BD=2, CD=20, BC=18,.bD+ BC2=CD,即 CB*直角三角形，/ DB(=90 ,过P作PD/ y轴交BC于点E,(i )过 B作 BE/ CD则/ EBB/BCD即点P在直线BE上，设直线BE的解析式为：y=2x+k,将点蜕4, 3）代入，得：k=5,即直线BE解析式为：y=2x+5,2联立 y=2x+5, y=x +6x+5,并解得：x 0_ x4或（与B点重合，舍），y 5 y3.P点坐标

15、为（0,5）;（ii ）CBB90。，取CD中点F,彳导F点坐标为（1, 2）连接BF,贝U BF=FC / FBG/ BCD点P在直线BF上，由B( -4, 3)、F (2, 2)可得直线BF的解析式为:y=-x-i,2联立 y=- x- 1, y=x2+6x+5,并解得：232或x 4 （与B点重合，舍），7 y 34，P点坐标为（3, 7）；24综上所述，点P的坐标为：（0,5）, （ 3, 7 ）246. （2019 甘肃兰州中考）二次函数y= ax2 * *+bx+2的图象交x轴于点A ( 1, 0),点B (4, 0)两点,交y轴于点C动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿

16、AB方向运动，过点 M作MNL x轴交直线BC于点N,交抛物线于点 D,连接AC设运动的时间为t秒.2（1）求二次函数 y= ax+bx+2的表达式;._ .3 , （2）连接BQ当t = ?时，求 DNB勺面积；2（3）在直线MN±存在一点P,当 PBC是以/ BP8直角的等腰直角三角形时，求此时点（4）当t = 5时，在直线 MN±存在一点 Q使彳导/ AQC/ QAC= 900,求点Q的坐标.4D的坐标;【答案】见解析【解析】解:1232(1)将点 A(1, 0),点 B (4, 0)代入 y=ax t = 3, 2+bx+2 中，得:a b 2 016a 4b 2二

17、次函数的表达式为：y = x2+ x+2.22设直线BC的解析式为：y=kx+b ( kw0),将点C (0,2)、B (4, 0)代入，得:4k b 0八，1即直线BC的解析式为:y=- -x+2.2将 x= 2 分别代入 y=2x2+3x+2 和 y= 1x+2 中，得：D (2, 3)、N (2, 1)222DN= 2,1. . S>ADNB= X 2X 2= 2.2(3)过点P作x轴的平行线，交y轴于点E,过点B作y轴的平行线，交 EP的延长线于点F,F (4, n),由题意得: PE笠 ABFF?PE= BF CE= PF4 m 2 nn mm 1n 1点D的坐标为：(1, 3

18、).(4)当t = 5时，AMk 5 ,此时M点在二次函数的对称轴上,42以M点为圆心，AMK为半径作圆，交 Mhe Q、Q两点，C (0, 2), M( 3 , 0),2 .CM= 5 = R 2，C点在该圆上， ./ACB= 90 , ./ CABZ CBA= 90 , / CGA= Z CAB ./ CGA+Z CBA= 90 ,/CGA+/CBA= 90 ,G( 3, 5)或(W, 5).22222 .7. (2019 山东聊城中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A (-2,0),点B (4, 0),与y轴交于点C (0, 8),连接BC又已知位于y轴右

19、侧且垂直于 x轴的动直线I,沿x 轴正方向从 O运动到B (不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段 BC以及x轴于点P, D, E.(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC AP,当直线I运动时，求使得 PEAOAOG目似的点P的坐标；(3)作PF, BC垂足为F,当直线I运动时，求RtPFD面积的最大值.【答案】见解析.【解析】解：(1)将点A B、C的坐标代入二次函数表达式得:4a 2b c 0a116a 4b c 0,解得： b 2 , c 8c 8故抛物线的表达式为： y= - x2+2x+8；二.点 A (- 2, 0)、C (0, 8),. OA= 2, OO 8,Ux 轴，.Z PEA= Z AOO 90 ,. / PAm / CAO 当/ PEA= /AOC寸，PE怂sAOC.AE PE 口口 AE PE，即：,