初升高数学衔接知识专题讲义3学生用

1、一、数与式的运算必会的乘法公式【公式 1】（a b c）2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca证明：（ab c）2（a b） c2 （ab）22（ab）cc22_2_2222_a 2abb2ac 2bc c abc2ab2bc 2ca等式成立1c【例1】计算：（x2 瓜-）2 3说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降哥或升哥排列._2233、 一【公式2】（a b）（a ab b ） a b （立方和公式）证明：(a b)(a2 ab b2) a3 a2b ab2 a2b ab2 b3 a3 b3说明：请同学用文字语言表述公式 2.【例 2】计算： (2a+b) (4a2-2ab+b

2、2) =8 a3+b3_2233I【公式3】(a b)(a ab b ) a b (立方差公式)1 .计算(1) (3x+2y) (9x2-6xy+4y2)=(2) (2x-3) (4x2+6xy+9)=(3)1 (1m23 4(4) (a+b) (a2-ab+b2) (a-b) (a2+ab+b2)=2.利用立方和、立方差公式进行因式分解(1) 27m3-n3=(2) 27m3-1 n3= 8(3) x3-125=(4) m6-n6=【公式 4】(a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2【公式 5】(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3【例3】计算：2、，1112112、(1)(4m

3、)(164mm )(2)(- m- n)(mmn - n)5225104(3)(a2)(a2)(a44a216)(4)(x22xy y2)(x2xy y2)2说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式 的结构.(2)为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、20的平方数和1、2、3、4、10的立方数，是非常有好处的.1【例4】已知x2 3x 1 0 ,求x3 的值.x说明：本题若先从方程x2 3x 1 0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦 琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算， 简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了

4、 “正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.1 11111【例5】已知a b c 0,求 a( ) b( ) c()的值.bccaab说明：注意字母的整体代换技巧的应用.【例6】设x 7l,y求x3 y3的值.2 .32，3说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结 论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.二、因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(

5、平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式 卜十字相乘法和分组分解法等等.(一)、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：3 3(1) 8 x(2) 0.125 27b分析：(1)中，8 23, (2)中 0.125 0.53,27b3 (3b)3 .说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用哥的运算法则，如8a3b3 (2ab)3,这里逆用了法则(ab)n anbn ； (2)在运用立方和(差)公式分解因式时， 一定要看准因式中各项的符号.【例2】分解因式：(1) 3a3b 81b4(2) a7 ab6(二卜分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公

6、式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.1 .分组后能提取公因式【例3】把2ax 10ay 5by bx分解因式.2 .分组后能直接运用公式_ . ._ .22一.【例4】把x y ax ay分解因式【例5】把2x2 4xy 2y2 8z2分解因式.(三)拆、添项法【例6】分解因式x3 3x2 4一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行:(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式;(2)如果各

7、项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解;(2)(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解;3 m(1) a3 2727 x32 .把下列各式分解因式:34(1) xy x(2)2 / 2y (x2x)33 .把下列各式分解因式:2_(1) x 3x 2(2)6x2724mn 5n4 .把下列各式分解因式: ax5 10ax4 16ax3(2)1b6anb2/ 2(x2x)2- 22 8x 26xy 15y7(a2b) 5(a b)5 .把下列各式分解因式:3ax3ay xy3. 2(2) 8x 4x 2x5x215x2xy6y4xy1 4x24.3 22

8、 3a b a b a bab4(6)66 c 3,x y 2x 1x2(x1) y(xy x)6.已知22 .ab的值.2_ 2-,ab 2 ,求代数式a b 2a b 37.证明：当n为大于2的整数时,53 .n 5n 4n能被120整除.38.已知a b c 0,求证：a2. 2., 3-a cb cabcb0.三、一元二次方程根与系数的关系【例1】已知实数x、y满足x2 y2 xy 2x y 1 0 ,试求x、y的值.四、一元高次方程的解法含有一个未知数，且未知数白最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。一兀一次方程或一兀二次方程，从而求出一兀高次方程的解。1】 解方程 (1)

9、 x3+3x2-4x=0(2) x4-13x2+36=0一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为【例(1) x3+5x2-6x=0(2) (x2-3x) 2-2 (x2-3x) -8=0五、三元一次方程组的解法举例1) .三元一次方程组的概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程。注：(1)朱知项”与 朱知数”不同。(2)每个方程不一定都含有三个未知数。兀 +十 = d a2x d2它的一般形式是空地小+卞未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。2) .解三元一次方

10、程组的基本思想方法是：【例1】解方程组3工+4工=7,(1)$ 2芯小3丁 +上=9,(2)+- 3L 【例2】解方程组十Ay十下二14CDx+5y+ 2z - 172x-2y-z = 31.解下列三元一次方程组工十/ 4-2= 152x+3j-z =95 万下一2 二 0(3+ = 3& +七：=6c+a = 93x-4y-5z =182x + - 6名=W3)弄 尸 己 二二 2 .已知 34$ ,且 x+y+z=24 ,求 x、y、z 的值。3 .代数式ax2+bx+c在x为1, -1, 2时，它的值分别是-6, -8, -11,求:a, b, c的值；当x=-4时，求代数的值。* 4

11、.已知 2x+5y+4z=0 , 3x+y-7z=0 ,且 xyz 丰 0t+l+e求：2犬一力+般的值。x+p _z +A* 5.已知 61,且 xyz w。求 x： y： z.10元，钳金笔每支3元，圆珠笔每* 6.用100元恰好买了三种笔共 100支，其中金笔每支支0. 5元，试问三种笔各买了多少支？六、简单的二元二次方程组的解法举例(1)二元二次方程及二元二次方程组观察方程好+ 工斗丁二方，此方程的特点：含有两个未知数；是整式方程;含有未知数的项的最高次数是2.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元次方程.二元二次方程的一般形式是:依2 4加y +卬*

12、+公+郎4（a、b、c不同时为零） 其中口” 、则六叶In叫做二次项， 办、呼叫做一次项，/叫做常数项定义：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组 .例如：（2 +32 /*2察+户1*,二12都是一兀一次方程组.，工 中，二 52x2 + 3号 + r + / = 1（2）二元二次方程组求解的基本思想是转化”，即通过 降次“、梢元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较 强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分

13、析题中各个方程的结构特征，选择较恰当 的方法。由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解解二元二次方程组的基本思想是消元和降次， 消元就是化二元为一元， 降次就是把二次 降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法 .【例1】解方程组 1 -白解十工十-1=口2 x-1 - 0例2.

14、解方程组xyy 7(1)10(2)*1.解方程组3x2.2xy 4y 3x 4y 0y2 25*2.解方程组3x2 xy3x2 31xyy2 155y2453.解方程组22x y 5xy 2七、平面上任意两点间距离1、数轴上任意两点间距离：|AB| |xB xA |例1.已知数轴上三点 A、B、C的坐标分别为4、-2、-6.求| AB |、| BC |、| AC |解：|AB| |( 2) 4| 6 |BC| |( 6) ( 2) | 4| AC | |4 ( 6) | 102、平面上任意两点间距离：在直角坐标系内，已知两点PKxyJ、P2(x2,y2),则IPP2I J(x2 x1)2 (y2 y1)2例2.在直角坐标系内，已知两点 A(6, 4)、B( 2, 2),求这两点间距离|AB|.解：| AB| .( 2 6)2 ( 2 ( 4)2. 64