上海交通大学数学分析答案

1、2004年上海交通大学数学分析limn(14)设 lim an a ,n证明 lim a12a2 2nannn证因xn n2ai 2a2,故利用Stolz公式,limnyn 1 ynxn 1nanlimn(n 1)an 1 / (2 2 (n 1) n.n limn 2n1-lim an 1 1nXn a 2lim/，得nxn二(14)证明 sin(x2)在 0,上不一致连续.证因xn J2n无2sin xn2sin yn.、2n 兀2n兀/xnVn0,故sin(x2)在0,上不一致连续.三(14)设f(x)在0,2a上连续，且f(0)=f(2a),证明x00,a ,使f ( x0 ) = f

2、 ( x0 a)证作 g(x) f(x a) f(x) (x 0,a ),则 g(x)在 0,a 上连续，因 f(0)= f(2a),故 g(2a)g(0),情形 1 若 g(0) 0,则取 x。0,则 f(x0)= f(x0 a),情形2若g(0) 0 ,则因g(2a)g(0) g2(0) 0 ,故由介值定理知，存在 x00,a ,使得 g(选) 0,即 f(x0)=f(x0 a).四(14)证明不等式2x<sinx<x, x 0,2证作 f(x) sn2 , x 0,-,则因x2xcosx sinx cosx,、 八f (x) 2 2(x tanx) 0,xx故f(x) 业在0

3、,-上严格单调减少，而lim f (x) 1, lim f (x)x2x 0x兀2因此，在 0,上，有 2 f (x) ,in x 1,即 2x<sinx<x.27tx五(14)设 f (x)dx收敛，且f(x)在a,上一致连续，证明lim f (x)=aX0.证因f(x)在a, 上一致连续，故 0 ,0 ,使得当tja,且也 t?|时，有 |f(ti) f(t2)| 2，a n令明 f(x)dx,则由积分第一中值定理得， a (n 1) a nxna (n 1) ,a n ,使得 unf (x)d x f (xn).a (n 1)因f(x)dx收敛，故级数Un收敛，从而Un 0,

4、即a n 1f(xn)0,也即f (xn) 0,故对上述的，存在N 2 ,使得 当 n N 时，|f(xn)| -.取X a N ,则当x X时，因x a, a (k 1) ,a k故存在惟一的 k使得x a (k 1) ,a k ，易见k N ,且 x xk|,从而|f(x)| |f(xk)| |f(x) f(xk)| -六(14)设 乂2口1敛.1I x2n n2 2n1-dx, n 1,2,111 证明级数1n % 收n xn 1解.x2nn 1 11证(1)(令 t xn ,则 n°xnf(x)dx0tnf(tn)dt, 1111-dx lnx|nln(1 一),因 S2n

5、1S2n 一,故只要证n xnkn k 1 n 1S2n1xkln(1k 1k 1 k七(14)设f(x)在0,1上连续,k)k1 2k2f(1)= 0 ,gn(x)n 11(4)收敛即可.八k2，f(x)xn , n 1,2,IH，证明gn(x)在0,1上一致收敛.1八(12)设 f(x)在 0,1 上连续，证明 lim n xnf(x)dx=f(1). n 0(2)因f (x)在0,1上连续，故M3M10,使得 |f(x)| M1,则(4)(5)(6)otnf (tn)dt1 11tnf (tn)dt aa 1tn0f(1)因f (x)在01上连续,1f(tn)dt111tnf (tn)

6、aaM dt0f(1)dtMa3，11t”(t, f(1)dt11Mf(M)1t”。)tnf (1) f(1)dt1f(tn)f(1)dt1fatdt故f (x)在0,1上一致连续，故对上述的正数0 ,当 X1,X20,1 且 |x1f(X1)f(X2)|x2时，有3(1 a)1因 lim annmin3M (1,则存在正整数N ,使得当 a)n N时,1有an 1(7)t (a,1)时1 tn11 an ,从而当n N时，有1f(tn)f (1)dtf(1) 1tadt 一 3 3(8)1 1由(3)和(7)1知，当a 1n N时，有0tnf(tn)dt f(1)otnf (tn)dt1 1

7、1atnf (tn)dt f (1)九(12)设 a1>0, an 1 = an + 工，证明 liman证 (1)要证lim -a= = 1 ,只要证lim n . 2nnan、2n2 趣 2n=11,即证 lim( a2 1 a2) 222即只要证liman1 an 1,n (2n 2) 2n(2)因为1=前+工，故an1 ana2i an (anl an)(an 1 an)1can 1”an一 0, q1anan2an因此只要证limn1-2anan 1anan0,即只要证lim ann_,1(3)由am an 。知，an单调增加，假如an有上界，则an必 an有极限a,由an1

8、= an + °知，a = a + -,因此0,矛盾.anaa这表明an单调增加、没有上界，因此liman .(证完) n十(28)计算下述积分：1.，丫 x2dxdy,其中D是矩形区域x 1,0解 记 D1 (x, y)|x| 1,0 y 2,y x2 0D2 (x,y)|x| 1,0 y 2,0 y x2,y x2 dxd yD1x2 y dxd yD2 y x2 d xd y12 2x) dy1 x21122 、万dx (x y) dy dx (y1 01 x2o 14o 12 (x2) dx 2 (2x2) dx3 13 1，13，134 2 142，1x3dx兀1644cos3 0tdt (这里x V2sint)兀1641 cos2t2dt-(x ) dx - (2 x ) dx131313441 2cos2t4 3t sin 2t3 24 3九 冗13 821 cos4t 1JL dt2兀sin 4t 422、yzd yd z (x z )ydzdx xydxd y ,其中S是曲面24yxz2上y 0的那部分正侧.S,由高斯公式知，(x2 z2)d xd ydzV4 122 九二(4 y) dy04解 记(x,