利率_股票有跳跃扩散行为的期权定价

1、第4卷第4期中国水运(理论版)2006 年 4 月China Water Transport(Theory Edition )Vol.4 No.4April2006利率、股票有跳跃扩散行为的期权定价李倩 续云丰摘 要：由于一些不可预测的随机事件的影响纯粹的连续扩散过程难以正确描述利率、股票的变动行为。因此，构 建当利率、股票岀现跳跃行为时的随机模型。建立期权价格必须满足的随机微分方程，得岀欧式买入期权的定价公 式。关键词：跳-扩散过程随机微分方程期权价值中图分类号：F224.7文献标识码：A文章编号：1006-7973 (2006) 04-0199-02一、引言对金融工具进行正确的估价是对风险

2、进行有效管理的必 要条件，而金融工具具有公平的价格是它们合理存在与发展 的关键。而在金融工具的定价中，需要考虑到影响金融市场 的各种变量。在以往的定价研究中，往往将利率、股价、汇 率等的动态变化假设成遵循扩散过程。但金融市场自身的复 杂性决定了仅仅用布朗运动来描述市场的复杂性决定了仅仅 用布朗运动来描述是不完全的，布朗运动的样本道路是连续 的，这意味着用布朗运动描述的变量的变化过程是连续且密 集发生的，不会有跳跃或不连续的情况发生，但从金融市场 发展的历史来看，利率、股价等变量的连续性经常会被一些 不可预测的随机事件破坏，例如，金融危机、股市崩盘等重 大的消息。这些事件发生的频率相当小，因此称

3、为稀有事件。 为了在模型中充分反映稀有事件的影响，可以把变量的变化 过程分解为纯的随机跳跃与布朗运动的叠加，而且假定跳跃 部分与连续部分是相互独立的。因此，复合的跳跃-扩散过 程能更好地解释利率等变量的变化过程。在1976年，Merton就基于这点建立了跳跃扩散模型，随 后, Aas( 1988)建立了 Ito过程和随机点过程的混合模型，Scott (1997)建立了具有随机波动率和利率的跳跃扩散模型等。在这些模型中，都假定了股票价格的相对跳跃高度是独立同分 布的，与引起跳跃的重大信息的相对重要性无关，这与实际情 况仍有较大偏差。在实际生活中，不但股价有跳跃，利率是有 跳跃性的，并且跳跃的高度

4、与引起跳跃的信息重要程度有关。二、利率行为模型坐= (uSk入 0iPi)dt + crdZ + XdNi = 1(2)其中，UB、U分别为债券和股票期望收益率，为随机变量；(TR、C分别表示债券和股票的波动率；dZB和dZ为维纳过程。且瞬间相关系数为 P，N表示与Zr和z独立的参数 为入的Possion过程；xr和X分别表示债券和股票的跳跃高 度，且 mB = E(Xb)，m = E(X)。记W(t) = F (S,B,t; K)为期权的价值，其中 F关于t 一阶 可导，关于S、B二阶可导连续，则期权的收益满足的随机微 分方程为：dWWk=(Uw -入：mw P) dt + owRdZ r

5、+ bwdZ + YdN(3)其中，Uw表示期权的期望收益率；owB、 0W为期权的波动率；丫为期权的跳跃高度。由Ito公式：1 2 2 1 2 2 kUw = <r SFss + 空 °b B Ftt + pc R(SBFSt +(u -入：m P )SFS +kk(Ur-入刀mRiP)BF+Ft + 迄P 応 F(S(1+ X), B(1+XR),t;K)- F(S,B,t;K)/ Fi=1i=1_ cSFsow =FQWb =ctbBF tF(4.1 )(4.2 )(4.3 )我们将引起利率跳跃行为的重大信息按其信息的相对重 要程度分为k类，定义一系列独立的随机变量 X1

6、,X2," ,Xk， 其中Xi >- 1(i = 1,2," ,k)。其无条件期望为 mi。设无风险债券价格B和股票价格S分别满足下面的随机 微分方程：Y =F(S(1+X),R(1+XR),t;K)- F(S,R,t;K)/ F (4.4 ) 其中£是关于1 + X，1+ XB的期望算子。考虑一包含债券、股票、期权的证券组合，其比例分别为n， n2和n，且满足 n + n + n = 1，记此债券组 合的价值为V，由(1)，(2)，(3)得组合的收益可表示为：型=(Uv - VkXnvi P)dt + eV dZ + <TvRdZ + JdNi=1(

7、5)dB= (uR B ' Rk入 0Bi P )dt + %dZ r + X RdNi=1(1)其中,收稿日期：2006-3-10作者简介：李倩女(1981-)武汉理工大学理学院研究生(430070)研究方向：金融数学 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights 200中国水运理论版Uv = Ub + nu + n3 Uwov = n o + n owovb = n ob + n owbJ = tuXb + nX + nF(S(1+X),B(1+XB),t;K

8、)- F(S,B,t;K)/ F这即是期权价值满足的偏微分方程。设F (S, B,t, K)为欧氏买入期权，其终期收益为F(S,1,0;K) = maxS- K,0(11)其中T为距到期时间，P(0) =1，则期权价值的偏微分 方程写为-得使-2 2 1 2 2 o2S2Fss+2 OB2B2Ftt+ pkkOBSBFSt-入SF 刀mP-阳Ft 刀mBiP + Ft +i=1i = 1(12)k入刀P q(F (S(1+ X), B(1+Xb), TK) - F (S, B,t;K)=0i=13定理：利率过程和股价过程分别为(1), ( 2)的欧氏买此时证券价值为V，由(4)式得入期权价值为

9、dV矿=(出-kCmR)dt +J*dN(7)(8)(10)设股票由跳产生的风险为非系统风险，由于该证券组合 为零投资组合，由资本资产定价理论，此时资产的期望收益 率为0，即uV* = 0我们得到方程组：? n Ub+ nu + nuw=0? * *? n (r+ n ow = 0? * *? n ob + n owb = 0方程有解的充要条件为Ub o Wb + Uob°/v - Uw o 0 = 0( 9)将4式代入9式得kko卢Bq-入SFs刀mP-入BFt刀mBi已+匕+i=1i= 1k也 §(F(S(1 + X),B(1+XB),t;K)- F(S B,t;K)

10、= 0i=1F(S, B, t;K) =( 13)8 -州nnknk刀工 少切(1 + XJexp(-入迟 mP)，B n(1+XBi)exp(-入迟叫 P),tK)n= 0 n!i=1i=1i=1i=1其中H (S, B, t K)为无跳跃时Merton的随机利率模型期权价值，£n是关于-v、，二分布的期望算子。n(1+xjn°+XBi)i=1|=卄容易验证，(13)式是微分方程(12)满足边值条件的解。参考文献1 Merton RC . Option Pricing When Underlying Stock ReturnsAre Discontinuous. J. J

11、ournal of Economics. 1976. 3 : 125144.2 陈超等.利率服从跳-扩散过程的期权定价.数量经济技术经济研究.2000. 11 : 3941.3 宁丽娟等.股票价格服从跳-扩散过程的期权定价模型陕西师范大学学报.自然科学版.vol.31.4: 1619.Opti on Pric ing with In terest Rate and Stock HaveJump-diffusi on Actio nLiQia nXu YunfengAbstract : Due to some unexpected stochastic events ，the pure cont

12、inuous diffusion is unableto describe the in terest rate and stock behavior exactly.This article gives a stochastic modelof interestrate and stocks when their jumping actions happen, establishes stochastic differentialequation satisfied by stock price，then get the pricing formula of European style option.Ke