2018版高中数学第三章函数的应用习题课函数的应用学案新人教A版必修1

1、习题课函数的应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题了解指数函数、幕函数、对数函数的增长差异(易错点)3 巩固建立函数模型的过程和方法， 了解函数模型的广泛应用(重点)|课前自測沁;:曲白i匸顾1 函数f(x) = ex+ 3x的零点个数是()答案 B2x 1,x1,1A. 2, 0B. 2,0 x解析 当xwi时，由f(x) = 0，得 2 1 = 0，所以x= 0.当x1 时，由f(x) = 0,得 11+ log2X= 0，所以x= ，不成立，所以函数的零点为0，选 D.答案 D3.函数f(x) =ax2+x 1 至少存在一个零点，则a的取值范围是 _ .

2、解析 当a= 0 时，f(x) =x 1 有一个零点x= 1 ；当a0时，则零点 = 1 + 4a0,11解得a；且 0,综上a的取值范围是a；.44;1 、答案 I4,+丿4. 生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2 75x,若每台机器售价为 25 万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 _台.2(重点)2A. 0B. 1C. 2D. 3解析 令f(x) = ex+ 3x= 0，即 ex=- 3x，在同一坐标系中作出函数y= ex禾廿y= 3x的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即f(x)有 1 个零点.则函数f(x)的零点为(C.1D. 02解析 设生产x

3、台，获得利润f(x)万元，则f(x) = 25xy=x+ 100 x= (x 50) + 2 500，故当x= 50 时，获得利润最大.答案 50I课堂互动考查方向类型一函数的零点方向 1 判断函数零点所在的区间【例 1 1】 函数f(x) = 2x+ 3x的零点所在的一个区间是()A. ( 2, 1)B. ( 1,0)C. (0,1)D. (1,2)1解析 由f( 1) = 2 30 及零点存在性定理，知f(x)的零点在区间(一 1,0) 上.答案 B方向 2 判断函数零点的个数a【例 1 2】方程|x| -= 0(a0)的零点有()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D.至少 1 个a解析

4、 令f(x) = |x| ,g(x) =-(a0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，x交点只有 1 个.答案 A方向 3 根据函数零点求参数的取值范围【例 1 3】 已知函数f(x) = |x+网，x R.若方程f(x) a|x 1| = 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为 _ .2解析设 y=f(x) = |x+ 3x|,y2=a|x1|. 在同一平面直角坐标系中作出y1= |x2+ 3x| ,y2=a|x1|的图象，如图.-3 -IO I类型刖析.突確疑琪32由图可知f(x) a|x 1| = 0 有 4 个互异的实数根等价于y1=|x+ 3x|与y2=a|x 1

5、|的 图象有 4 个不同的交点，且 4 个交点的横坐标都小于 1 ,y=x2 3x,所以1有两组不同的解.y=a x消去y得x2+ (3 a)x+a= 0，该方程有两个不等实根.所以= (3 a) 4a0,即a 10a+ 90,解得a9.又由图象得a0,0a9.答案(0,1)U(9,+s)规律方法函数零点问题的解法(1) 确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2) 判断零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理，结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(3) 根据函数的零点求参数的取值范围：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等

6、式(组)确定参数范围；2分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.【训练 1】(1)函数f(x) =x+ lgx 3 的零点所在的区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3 , +)(2)若方程 4x+ 2x+1+ 3 a= 0 有零点，则实数a的取值范围是 _ .解析(1)易知函数f(x) =x+ lgx 3 在定义域上是增函数，f(1) = 1 + 0 30,f(2) =2 + lg 2 30.故函数f(x) =x+ lgx 3 的零点所在的区间为 (2,3), 选

7、 C.(2)由 4+ 2+ 3a= 0 得a= 4 + 2+ 3，又 4+ 2+ 3 = (2 ) + 2 2+3= (2 + 1)+ 2，因为 2x0,所以(2x+ 1)2+ 23.故要使原方程有零点，则a3.答案(1)C(3 ,+)类型二函数模型及其应用【例 2】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投24资 1 万元时两类产品的收益分别为0.125 万元和 0.5 万元.(1) 分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2) 若该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎

8、样分配资金能使投资获得最大 收益？其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x) =k1X,g(x) =k2x.551 1由已知得f(1) = 8=ki,g(1) = 2 =k2,所以f(x) = /(x0),g(x) =；x(x0).x依题意得y=f(x) +g(20 x) = +8令t=20 x(0wtW25),2则y=20+* = 8(t 2)2+ 3,所以当t=2,即x= 16 时，收益最大，ymax= 3 万元.规律方法建立函数模型的方法(1) 关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型.(2) 图表分析法：通过列表的方法探

9、求建立函数模型.(3) 图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型.【训练 2】 今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量R 单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P=F0ekt(R,k均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中F0为t= 0 时的污染物数量.若经过 5 小时过滤后还剩余 90%勺污染物.(1) 求常数k的值；(2

10、) 试计算污染物减少到 40%至少需要多少时间(精确到 1 小时，参考数据：In 0.2 1.61 , In 0.31.20 , In 0.4 0.92 , In 0.50.69 , In 0.9 0.11.)解(1)由已知，当t= 0 时，P=Po；当t= 5 时，P= 90%0._5k于是有 90%P0=P0e .1解得k= In 0.9( 或 0.022).1(2)由(1)得，P=Pe(：ln 0.9)t.51当P= 40%。时，有 0.4P=Pe(匚In 0.9)t.(2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型类产品为(20 x)万元.1,20 x(0wx20).6故污染物减少到 40%至少需要 42 小时.131小结反思归纳，思维提升1对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定 方程的根；对于连续函数，