椭圆问题中最值得关注的几类基本题型

1、第33练椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值破题切入点本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围解设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.当x02时，·取得最小值0，当x02时，·取得最大值4.题型二

2、直线与椭圆相交问题例2已知直线l过椭圆8x29y272的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦|MN|的长破题切入点根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出解由得11x218x90.由根与系数的关系，得xMxN，xM·xN.由弦长公式|MN|xMxN|·.题型三点差法解题，设而不求思想例3已知椭圆y21，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程破题切入点设出弦的两端点，利用点差法求解解设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为R(x，y)，则x2y2，x2y2，两式相减并整理可得，将2代入式，得所求的轨迹方程为x4y0(<x&

3、lt;)题型四轨迹问题例4ABC的一边的顶点是B(0,6)和C(0，6)，另两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程破题切入点直接设出A点坐标，根据条件求出轨迹，注意挖点解设A(x，y)，由题设得·(x0)化简得1(x0)即顶点A的轨迹方程为1(x0)总结提高(1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值(2)直线和椭圆相交问题：常用分析一元二次方程解的情况，仅有“”还不够，还要用数形结合思想弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“”(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分

4、的弦所在直线方程，用“点差法”来求解(4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的方法1“2<m<6”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析若1表示椭圆，则有所以2<m<6且m4，故“2<m<6”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件2已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的

5、半径，所以|PM|PN|PM|PA|AM|6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆3已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析设椭圆的标准方程为1(a>b>0)由点(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a2·2c，.又c2a2b2，联立得a28，b26.4(2014·大纲全国)已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过

6、F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析由e，得.又AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a，代入得c1，所以b2a2c22，故C的方程为1.5(2014·福建)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 B.C7 D6答案D解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r>0)，与椭圆方程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令1224×9(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最

7、大距离为r6，故选D.6如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B.C. D.答案D解析设|AF1|m，|AF2|n，则有mn4，m2n212，因此122mn16，所以mn2，而(mn)2(2a)2(mn)24mn1688，因此双曲线的a，c，则有e.7椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左，右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_答案解析由椭圆的性质可知：|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac

8、，又|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，故(ac)(ac)(2c)2，可得.8(2014·辽宁)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.答案12解析椭圆1中，a3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.9(2014·江西)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率

9、等于_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，·.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.10(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0<b<1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_答案x2y21解析设点B的坐标为(x0，y0)x21，F1(，0)，F2(，0)AF2x轴，A(，b2)|AF1|3|F1B|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0，y0.点B的坐标为.将B代入x21，得b2.椭圆E的方程为x2y21.11(20

10、14·课标全国)设F1，F2分别是椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根据c及题设知M(c，)，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.12(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(a>b>0)的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因为