数值计算实习报告-牛顿插值算法(高分)

1、安徽工业大学数理科学与工程学院数值计算实习 -牛顿插值算法姓 名： 班 级： 学 号： 指导老师: 2014年6月23日星期一安徽工业大学数理科学与工程学院-数值计算实习目 录1.提出问题22.实验目的:23.基础概念：23.1牛顿插值多项式的原理23.2均差（差商）及其性质43.3牛顿插值公式及其余项的公式：54.算法设计55. Matlab程序实现及应用65.1举例应用65.2命令执行图：86.结果分析9参考文献9附录一：牛顿插值的MATLAB实现10附录二：误差的Matlab实现10附录三:生成图像101.提出问题上学期通过对数值分析的学习，我们知道可以用插值法求一个待定函数来近似反映函

2、数的特性，使得待定函数在给定点上等于函数值，在其它点上的函数的值作为函数的近似值。利用差值函数很容易得到Lagrange插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便。而由Lagrange插值多项式的插值基函数：可知其公式中的每一项与所有的插值结点有关.因此，Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 都需重新算过，计算量太大，在实际计算中十分不利，为了克服这一缺点，于是产生了Newton插值法。2.实验目的:通过对牛顿插值多项式的Matlab程序实现,深入了解牛顿插值多项式的原理及编程解决实际问题的能力。3.基础概念： 3.1牛顿插值多项式的原理我们知道两点直线公式有：

3、我们考虑点斜式，两点为(（x，y）（x，y）)，则直线方程为：那么，在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点的插值多项式就是：c(x)应该是一个二次多项式。根据插值条件有根据插值条件：可以求出：重新写P2（x）：有3.2均差（差商）及其性质定义：一阶均差二阶均差n+1阶均差均差均有如下的基本性质：(2) k 阶差商关于节点是对称的，或者说均差与节点顺序无关，即均差表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商3.3牛顿插值公式及其余项的公式：newton插值多项式的表达式如下：其中每一项的系数ci的表达式如下：即为f (x)在点处的i阶差商，（，），由差商的性质可知：则有： 其中4.算法设计：牛

4、顿插值法利用函数在某区间中若干点的函数值，作出牛顿插值多项式，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用牛顿插值多项式的值作为函数的近似值。1 输入值及（；要计算的函数点。2 对给定的由计算的值。3输出。4. 利用输出误差的表达式。5. Matlab程序实现及应用利用Matlab可以实现牛顿插值的求解、均差、误差，多项式系数，并可以通过生成Matlab图像直观地描述原函数图像与牛顿插值的比较，具体源代码见附录。5.1举例应用（改自于数值分析教材P48第2题）例：给出f(x)=lnx的数值如表所示， x0.40.5 0.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.

5、356675-0.223144(1) 列出差商表，构造牛顿插值多项式并求ln0.54的值。(2) 估计ln0.54误差分析：由牛顿插值的算法，运用Matlab建立newtoncz.m和wucha.m文件，具体代码分别见附录一（牛顿插值的MATLAB实现）和附录二（误差的Matlab实现）由表可知：x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0.7, x4=0.8，函数值：y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826,y3=-0.356675,y4=-0.223144所以运用Matlab求解过程如下：（1）在matlab中输入如下命令: clearX=0

6、.4,0.5,0.6,0.7,0.8;Y= -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.356675, -0.223144;A,C,P=newtoncz(X,Y)f=polyval(C,0.54)得出运行结果：A = -0.9163 0 0 0 0 -0.6931 2.2314 0 0 0 -0.5108 1.8232 -2.0412 0 0 -0.3567 1.5415 -1.4085 2.1088 0 -0.2231 1.3353 -1.0310 1.2583 -2.1263C = -2.1263 6.7866 -9.0104 6.9856 -2.6488P =

7、-(1196972338462113*x4)/562949953421312+(1910253385694983*x3)/281474976710656-(5072397223433071*x2)/562949953421312+(3932520207496857*x)/562949953421312-2982240889048293/1125899906842624 f = -0.6161所以，由程序运行结果得：差商表A如下： 差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0,4-0.91630.5-0.69312.23140.6-0.51081.8232-2.04120.7-0.35671.541

8、5-1.40852.10880.8-0.22311.3353-1.03101.2583-2.1263牛顿插值多项式P为：P(x)=-2.1263x4+6.7866x3-9.0104x2+6.9856x-2.6488ln0.54的值为：f(0.54)=ln0.54=f=-0.6161（2）在matlab中输入如下命令: f=-0.6161;x=0.54;X=0.4,0.5,0.6,0.7,0.8;R=wucha(f,x,X)得出运行结果：R = -7.1763e-08所以，由程序运行结果可知：估计ln0.54误差为：R(x)=-R=7.176310-8可见误差非常的小，在允许的范围之内一般不影响

9、结果。5.2命令执行图：通过Matlab程序实现牛顿插值多项式和f(x)=lnx的图像，便于直观地表示出来。在Matlab中输入附录三程序得如下图形：图像对照牛顿插值多项式由上述图像可见：两条曲线慢慢逼近，当x0.4时，两条曲线基本重合，说明Matlab求出的牛顿插值多项式准确无误，且误差非常的小。6.结果分析本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比较清晰的通过图像显示出来，总体来说，计算结果是比较理想的，达到了我们的目的。通过Matlab程序求解上述例题，得出的牛顿插值多项式的系数C与答案一致。同时求出插值多

10、项式的表示P，即:P(x)=-2.1263x4+6.7866x3-9.0104x2+6.9856x-2.6488的表示结果一样。求出ln0.54的值即：f=-0.6161 。误差的求解遵循了牛顿插值多项式的误差公式，把f值代入即可求出误差R的值。由命令执行图可以直观看出，由Matlab生成的牛顿插值多项式是正确无误的，达到了理想效果。多项式在区间0.4,0.8周围与原函数逼近的较好. 两条曲线基本重合，离这个区间越远与原函数的误差越大，该图像就越背离图像。同时我们可以得出若节点越多，函数逼近的则相对较好。在节点附近逼近的越好，越远离节点误差越大，所以公式适用于计算节点附近的值于是为了减小误差。

11、本实验通过MATLAB编程实现求解牛顿K次插值多项式，能加深对牛顿插值法的基本思路和步骤的理解。同时也加深了对均差的概念及其性质的理解。牛顿插值法正是应用均差的性质，克服了拉格朗日插值法的主要缺点。参考文献数值分析（第五版） 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社数值分析（第七版 影印版） Richard L. Burden、J.Douglas Faires 高等教育出版社 MATLAB程序设计 王建卫 取中水 凌宾MATLAB数值分析与应用 张德丰数值分析 黄明游 刘播 徐涛附录一：牛顿插值的MATLAB实现求解插值多项式，返回均差、多项式的系数function A,C,P=newtonc

12、z(X,Y)%牛顿插值的MATLAB实现 %这里 A为均值。C为牛顿插值多项式的系数构成的向量。P为牛顿插值多项式表示。 %这里 X为n个节点的横坐标所组成的向量，Y为纵坐标所组成的向量。n=length(X); %取X得个数A=zeros(n,n); %构成nn空数组A(:,1)=Y;for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1); endendC=A(n,n);for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k); % conv求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。 d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k);endP=poly2sym(C);附录二：误差的Matlab实现求解牛顿插值多项式误差function R=wucha(f,x,X)n=length(X);r=1;q=1;for i=1:n; r=i*r; q=(x-X(i)*q;endR=f*abs(q)/r;附录三:生成图像在同一个面框内显示ln(x)与牛顿插值多项式的图像x=0:1/10000:1;y=log(x);plot(x,y,b)gtext(ln(x)的图像);h