维纳滤波基本概念

1、Wiener 滤波概述Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波 , 它要求输入信号是宽平稳随机序列 , 本章主要集中在 FIR 结构的 Wiener 滤波器的讨论。由信号当前值与它的各阶延迟 x(n),x(n 1), ,x(n M 1) ，估计一个期望信号 d(n) ，输入信号 x(n)是 宽平稳的， x(n) 和 d(n) 是联合宽平稳的 , 要求这个估计的均方误差最小。在本章中 ,不特别说明 , 假设信号是零均值 .Wiener 滤波器的几个实际应用实例如下： 通信的信道均衡器。图 1. 信道均衡器的结构示意 系统辨识：图 2. 线性系统辨识的结构 一般结构 :图3. Wiener滤波

2、器的一般结构2最小。Wiener滤波器的目的是求最优滤波器系数 wo，使J(n)E|e(n)|2E d(n) d(n)§ 3.1从估计理论观点导出Wiener滤波FIR结构(也称为横向)的Wiener滤波器的核心结构如图4所示.图4.横向Wiener滤波器FIR结构的 Wiener是一个线性 Beyesian估计问题.为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入x(n)和它的1 至(m-1)阶延迟，估计期望信号d(n)，确定权系数wi, i 0, M1使估计误差均方值最小，均方误差定义为：M1这里估计 d?(n) 写为： d?(n)wk x(n k)k0Rxx除了现

3、在是波形估计外，与线性 Bayesian 估计一一对应R (零均值假设)这里 (rxd ( k) Ex(n k)d(n) , Wiener 滤波与线性 Bayesian 估计变量之间具有一一对应关系 , 设最优滤波器系数 为 w0 ，由线性 Bayesian 估计得到 Wiener 滤波器系数对应式： 上式后一个方程称为 Wiener-Hopf 方程 ,11或 aRxx Rxw0R rxd结论：1）Wiener滤波器是线性FIR滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。2）在联合高斯条件下，Wiener滤波也是总体最优的（从 Bayesian估计意义上讲是这样，要满足平稳条件）3）

4、从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w时，其误差性能表示：它是w的二次曲面，只有一个最小点，w Wo时，J（W） J min§ 3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener滤波器Wiener滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR或FIR的。导出最优滤波器的正交原理，并从正交原理出发重新导出一般的Wiener滤波器方程推导适应于IIR和FIR的一般结论，然后分别讨论 FIR和IIR。讨论一般的复数形式。 x0,xn,输入过程。 W°,Wi，W2，滤波器系数，（权系数）希望的响应d n输出误差：end n yn正交性原理对复数据情况，推导一般结论

5、，实数据是特例yn*wkx(n k) 刖 dn yn=dnwkx(n k)k 0k 0均方误差是：JE ene*n E |en |2定义递度算子0,1,kT.其中kWk akJbkkJJJ符号 J是递度算子作用于J,其中第k项为：厂 akbk要求W0 , W1 ,的值，使得J最小,即J0等价：kJ 0k 0,1,2由 J Eene*n得:kJ E -enle*nake*naken* je*nbke* nbkje nen得到：aXnkebn引代入kJ表达式整理得：kJ2Ex nke* n当kJ0k0,1,时，J达到最小。由设J达最小时，用 Wo, e°n 表示权系数和误差en，且 J

6、J min*dnwkx n kk 0en则有： E xn ke0*n 0 ， k 0, 1,以上为正交性原理，达到最优滤波时，误差和输入正交推论： E y0ne0*n0维纳一霍夫方程(Wiener-Hopf)由正交性原理得E xn k d* nw0ix* n ii00 k 0, 1,wOirxi k rxd k 有i oK这就是Wiener-Hopf方程，解此方程，可得到最优权 W0i 。对于M阶FIR滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf方程变为：M 1wOirxi k rxd k ki 0'矩阵形式：令 xn xn, xn 1, ,xn M0,1,0,1,1T和 R Exnx

7、Hnr*M 1,r*M 2,r0Winer-Hopf 方程：Rw0xd这里w0w00, w01, w02,Tw0M 1解方程求得：W0R rxd取小均方误差：在达最优时，y0n也写成術 |Xn，表示由xn, xn1,张成的空间对dn的估计（最优线性估计)。e)n dn y°n dn dfn|Xnr0, r*1,r1, r0,rM 1 rM 2也可以写成： dn eon dn|XJ即:dn|Xn和 eon正交性得:2E e°n2d?J min2(?J min22d(?由 dn|Xn由M 1*wkxn kwH xn得 d Edn|Xn(?*n|XnEw：x n xH nw。22

8、2H2H 1mind(?drxd W0drxdRrxd-误差性能表面M1由 endn*wk xnk0k直接代入 J Eene* nJ整理得：M2 dk1wk* rxd ( k)01wkrxd * ( k)0M1M1w*kwi rxi kk 0 i 0由上式，可以看出，J是Vk的二次曲面，是碗状曲面,碗口向上，Jmin在碗底，其实,由上式直接对wk求导，得到一组方程，正是wiener-Hopf方程。矩阵形式J(w)2H d w r xdH r xd wwH RwR r x d 时，达最小， J minmin J (w)wd2 rH1 xd R r xd性能表面J(w) 可以写成： J (w) J

9、min (ww0 )H R(w w0 )H由于R Q Q 故J(w)HhJmin(WWc) Q Q(WWo)令 v QH (w w0)通过坐标变换，得到如上规范形式，对于一个给定J J min ,有:Jmin|Vk |2数值例子1：有一信号这是超椭圆,sn ，它的自相关序列为rsk10 1k为其一个轴。27 2，被一白噪声所污染，噪声方差为2/3，被污染信号Xn作为Wiener滤波器的输入，求2阶FIR滤波器使输出信号是 sn的尽可能的恢复。解：本题中,xnsnvn，dnsn。由于只需要2阶滤波器设计，因此W。R 1rxd=0.3359,0.1186 TT102H102710 10.3359J

10、min厶drxd Wo0.2240270.1186韭27 2数值例子2:0.27 ,由白噪声驱动的产生该过程的传输希望响应dn是一个ar过程，a“ 0.8458，vin是白噪声,函数为:Hi(Z)0.8458 Z0.1 即: dn 经过了一个通信信通，信道的传输函数为H2(Z) ，并加入了白噪声2通道模型如图5所示：图5.通道模型求解：一个二阶FIR结构Wiener滤波器，目的是由xn尽可能恢复dn解： dn是一个 AR(1)过程，A(Z) 1 aZ 1,10.27在xn sn vin中,sn是一个二阶AR(2)过程,相当于H(z)出比由二阶 AR(z) 参数，确定 rs(k) , 由 Yul

11、e-walker 方程：10.50.51Rs反解 rs(0), rs(1) . 得10.5 1 01.10.5但： RxRs22 I0.50.11 0 10.51.1求 rxd krxdkE xnkdn由上确定 sn 的自相关矩阵为由： sn 0.9458s n 1 dn , 和 xn sn v2n 代入上式故 rxd 0叮00.945rs 1)0.5272最优系数最小均方误差：性能表面规范误差性能表面1.10.52 2解R I00.51.10(1.1)2(0.5)201JJ2minJJ2° min这是一个随圆，主轴2副轴1 IIR Wie ner 滤波器考虑Wiener-Hopf方

12、程在IIR滤波器时的情况，为简单，先讨论非因果IIR滤波器的设计式。为简单，考虑实信号和实滤波器系数的情况。在非因果条件下，Wiener-Hopf方程改写为上式两边取z变换，得H(z)或xd(Z)x(Z)这里 H(z) 是滤波器冲激响应(权系数)的z变换,x(Z) 是rx k 的z变换,xd 是 pk 的z变换最小均方误差为J minWoJxd I例2 .有一信号 sn ，它的自相关序列为rsk10 127 2,被一白噪声所污染，噪声方差为 2/3, 被污染信号 xn作为Wiener滤波器的输入，求IIR滤波器使输出信号是 s n的尽可能的恢复。解：本题中，xnsnvndnsn。51 k求 H(z)的反变换得到W°khk16(3)210ll5 11015取小均方误差JmindlWol rxd l27 l16 327224因果IIR维纳滤波器上式中， x(Z) 是由 x(z)中位于单位圆内的极点和零点组成;Xd(Z)xd(z)X ( Z)是对应于X ( Z)中的因果序列部分的z变换。最小均方误差为例3用因果滤波器实现例2的相同问题解：20 6z 6z18(1 -z1)(1 -z)2 21 1 1 (1子)(13z)(1卡1&