第1章-开关理论基础_3

1、1.1 1.1 二进制系统二进制系统1.2 1.2 数制与码制数制与码制1.3 1.3 逻辑函数及其描述工具逻辑函数及其描述工具1.4 1.4 布尔代数布尔代数1.5 1.5 卡诺图卡诺图1.6 1.6 数字集成电路数字集成电路第第1 1章章 开关理论基础开关理论基础1.4 布尔代数 1.4.1 布尔代数的基本定律布尔代数的基本定律1.4.2 布尔代数运算的基本规则（续）布尔代数运算的基本规则（续）1.4.3 用布尔代数简化逻辑函数用布尔代数简化逻辑函数1.4.4 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法1.4.5 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 目的：要求学会证明函数相等的方法，运

2、用逻辑代数的目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。基本定律，得出一些常用公式。ABAABAABBABAAB1证：ABABA1 BBBABAABABABAAABAA1证：ABBAA吸收律：吸收律：（互补率）说明：两个乘积项相加说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含时，若乘积项分别包含B B和和/B/B两个因子。而其两个因子。而其余因子相同。则两项定余因子相同。则两项定能合并成一项，消去能合并成一项，消去B B和和/B/B两个因子。两个因子。 说明：两个乘积项相与时，其中一项的部分因子恰好说明：两个乘积项相与时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补是另一乘

3、积项的补（/A)/A)，则该乘积项中的则该乘积项中的/A/A是多余的。是多余的。吸收律吸收律：对偶式：对偶式：对偶式：对偶式：若若两两个个乘乘积积项项中中分分别别包包含含A A和和A A两两个个因因子子，而而这这两两个个乘乘积积项项的的其其余余因因子子组组成成第第三三个个乘乘积积项项，则则第第三三个个乘乘积积项项是是多多余余的的。可可消消去去CAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB证：DEBCCAAB1CAABBCCAABCABAEDCBCABA包含律：包含律：推论：推论：对偶式：对偶式：BCAABCCAAB证：BAC

4、ACAABBCCAABAABACA证右：CAABBCCAAB 0BAACCABAA+BC = (A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互换率：交叉互换率：对偶式：对偶式：加对乘的分配率：加对乘的分配率：对偶式：对偶式：1.4 布尔代数 1.4.1 布尔代数的基本定律布尔代数的基本定律1.4.2 布尔代数运算的基本规则布尔代数运算的基本规则1.4.3 用布尔代数简化逻辑函数用布尔代数简化逻辑函数1.4.4 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法1.4.5 逻辑函数的两种标准形式逻辑

5、函数的两种标准形式 本节主要介绍如何用代数法将逻辑函数简化为最简与-或式。掌握了最简与或式的方法，就可以利用对偶规则化简逻辑函数为最简或与表达式。与项中的变量最少。与门输入端少。与项中的变量最少。与门输入端少。与项的个数最少。与门少，或门输入端少。与项的个数最少。与门少，或门输入端少。最简与最简与- -或式的标准：或式的标准：BAABF例：如果将F进行化简：ABBABAABFAF实现该函数要用两个与门和一个或门。1.4.3 逻辑函数的代数（公式）化简法ABFB利利用用公公式式 A AB B+ +A AB B= = A ACBCBACBBCAF1CBACABCBAABC CCBACCAB ABB

6、ABAAB CBCBACBBCAF1 ACBACBA 一、合并项法一、合并项法合并项合并项利用代入规则：利用代入规则：CBG互补率互补率 根据代入规则，公式中A 和B都可以是任何复杂的逻辑式。BB将两项为项这对。合并一，并消去 和一因子AABA CAABBCCAAB ABDDCABCCDBAACF ABDDCBDB1AC ABDDCAC DCAC （合并项）（合并项）（包含律）（包含律）消去多余因子及多余项。利用公式例：化简（吸收律）（吸收律）（包含律）（包含律）ABDDCABCCDBAACF 二、吸收法二、吸收法C CA AA AB BB BC CD DC CA AA AB B利利用用公公式

7、式：A A+ +A AB B= = A A+ +B BCBCAABF CBAAB CABAB CGG CGGG CG CAB 提公因子提公因子两次求反，一次反演两次求反，一次反演ABG ：令三、消去（项）法三、消去（项）法消去多余因子。消去多余因子。例：化简解：CBCAABF （加对称的分配率）（加对称的分配率）GAB将代入1AA BCCAABCAAB BACBCBBAF CCBACBAACBBA CBABCACBACBACBBA BBCAA1CBC1BA CACBBA 四、配项法四、配项法利用公式利用公式 利用包含率将二项变为三项（增加利用包含率将二项变为三项（增加BCBC项）再与其它乘项）

8、再与其它乘积项合并。以求得最简结果。积项合并。以求得最简结果。互补律配项，将一项变为两项。互补律配项，将一项变为两项。例：化简解：BACBCBBAF DEFGEFBACEFBDCAABDAADF EFBACEFBDCAABDDA EFBBDCACEFB1A EFBBDCAA EFBBDCA 五、综合法五、综合法合并项法、吸收法、消去法、配项法。合并项法、吸收法、消去法、配项法。)(CAAACAA加对乘分配率： FEDFBFECADBCABAAF DEFFBCEFABDCAABAF FBBDEF1CAA FBBDCAA FBBDCA FBDBACFF 代数化简法优点代数化简法优点 ： 不受变量限

9、制。不受变量限制。缺点：缺点：化简方向不明确，一般采用试凑法，要有一定技巧。化简方向不明确，一般采用试凑法，要有一定技巧。解：首先将或与表达式通过求对偶变为与或表达式，利用公式法在与或表达式中进行化简。（分配率）（分配率）（合并项）（合并项）（包含率）（包含率）（分配率）第二步：将对偶式再次求对偶，得到或与表达式的最简或与式。六、将或六、将或-与表达式与表达式 化简为化简为 最简与最简与-或式或式1.4 布尔代数 1.4.1 布尔代数的基本定律布尔代数的基本定律1.4.2 布尔代数运算的基本规则布尔代数运算的基本规则1.4.3 用布尔代数简化逻辑函数用布尔代数简化逻辑函数1.4.4 逻辑函数的

10、表示方法逻辑函数的表示方法1.4.5 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式常用逻辑函数表示方法有：1 1、逻辑真值表、逻辑真值表2 2、逻辑表达式、逻辑表达式3 3、逻辑图、逻辑图4 4、工作波形图、工作波形图真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 各种表示方法间的相互转换一、从真值表写出逻辑表达式一、从真值表写出逻辑表达式例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为为1,奇为奇为0)，试写出它的逻辑函数式。，试写出它的逻辑函数式。ABCY000001010011100101

11、11011110000110BCACBACAB解： 当ABC=011时，1BCA使乘积项当ABC=101时，1CBA使乘积项当ABC=110时，1CAB使乘积项因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。CABCBABCAY通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。1 1、找出真值表中使逻辑函数、找出真值表中使逻辑函数Y=1Y=1的输入变量取值组合。的输入变量取值组合。2 2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1 1的写入原变量，取值为的写入原变量，取值

12、为0 0的写入反变量。的写入反变量。3 3、将取值为、将取值为1 1的乘积项相加，即得到的乘积项相加，即得到Y Y的逻辑函数式。的逻辑函数式。二、从逻辑表达式列出真值表二、从逻辑表达式列出真值表 将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。例：已知函数CBACBAY求其对应真值表。A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1CBCBAY解：将三变量所有取值组合代入Y式中，将计算结果列表。010001001000000001011111三、从逻辑表达式画出逻辑图三、从逻辑表达式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符

13、号，就可以画出逻辑图。例：已知逻辑函数,CCBACBAY画出对应逻辑图。 解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。ABCCBACBCBACCBACBAYABC四、四、从逻辑图写出逻辑表达式从逻辑图写出逻辑表达式 从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。 解：从输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。ABBABABABABABAY)(BABABABABAABY与与-或式或式与非与非式与非与非式或或-与式与式或非或式或非或式或或-与非式与非式逻辑函数的八种

14、形式可以用八种逻辑电路来实现。逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。FABCACBCABC AC BC()()()ABCACBC() () ()ABCACBCABCACBC与与-或非式或非式ABC AC BC与非与式与非与式()()()ABCAC BC()()()ABCACBC或非或非式或非或非式常见的五种形式：nAND-ORnOR-ANDnNAND-NANDnNOR-NORnAND-NORFABAC()()FA C ABFAB ACFABA CFABAC1.4 布尔代数 1.4.1 布尔代数的基本定律布尔代

15、数的基本定律1.4.2 布尔代数运算的基本规则布尔代数运算的基本规则1.4.3 用布尔代数简化逻辑函数用布尔代数简化逻辑函数1.4.4 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法1.4.5 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式BCAAC ,如：BCAAC ,B C AB C如：CBACB目的：为图解化简法打好基础。目的：为图解化简法打好基础。与项：与项：逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。 与或表达式：与或表达式：与项和与项间只进行加运算的表达式称为与或表达式。如: 或项：或项：逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。 或与表达式：或与表达式：或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或与表

16、达式。如: 在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的“最小项之和最小项之和”及“最最大项之积大项之积”两种标准形式。几个概念：几个概念：(1) (1) 定义：定义：最小项是一个与项。最小项是一个与项。 ( (2) 2) 特点特点： n n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个与项与项为最小项。为最小项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最小项。个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1 1、最小项、最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应

17、的最小项的值等于1。当A=1、B=0、C=1时，乘乘积积项项A AB BC C= =1 1。如如果果将将ABCABC的的取取值值101101看看作作一一个个二二进进制制数数，所对应的十进制数就是5。5 5一一般般将将ABCABC这这个个最最小小项项记记做做m m 。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取原取1,1,反取反取0.0.最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7m（3 3）最小项的重要性质）最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必

18、有一个最小项，而且在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为仅有一个最小项的值为1 1。所有最小项之和为所有最小项之和为1 1。1120niim任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0 0。0jimmji 具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。去一对因子。ABCCABCBACBABCACBACBACBA证：ABBABABA1AA0)(CCBACBACBA证：相邻性：相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。则

19、称这两个最小项具有相邻性。例：CBACBABACCBA)( 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 F F 都可以用最小项之和的形式表示。都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。而且这种形式是唯一的。1 1、 真值表法：真值表法： 将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将CABCCBAF表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。列：F 真值表：A AC C缺缺变变量量B B, ,BCBC和和ACAC不不是是最最小小项项。Understanding minterm000 1

20、 0 0 1 001 0 0 0 0 010 0 0 0 0 011 0 1 0 1 100 0 0 1 1 101 0 0 0 0 110 0 0 1 1 111 0 1 0 1 CBABCCAFABCCABCBABCACBAF76430mmmmm0,3,4,6,7m ABC 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量 ,0表示反变量CABCCBAF2 2、 摩根定律及配项法摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。例1：CABCCBAF解：CABBBCAACB

21、AFCBACABBCAABCCBA46370mmmmm 0,3,4,6,7m 原取原取1 1反取反取0 0例2：将表示为最小项之和的形式。ABCBAABFABCBAABABCBAAB解：ABCBAABFABCBABACCABCBABACABABCBCACBA6735mmmmm7 , 6 , 5 , 3说明：说明：全部由最小全部由最小项相加构成的与项相加构成的与- -或或表达式称为最小项表达式称为最小项表达式，是与表达式，是与- -或表或表达式的标准形式。达式的标准形式。( (都是最小项，不是都是最小项，不是全部最小项全部最小项) )。(1) (1) 定义：定义：最大项是一个或项。最大项是一个或

22、项。 (2) (2) 特点：特点： n n 个变量都出现个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个或项或项为最大项。为最大项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最大项。个最大项。例如：在三变量A、B、C的最大项中：2 2、最大项、最大项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。当A=1、B=0、C=1时，或或项项（A AB BC C） = =0 0。按照上述约定，作出三变量最大项编号表。 如果将最大项为0的ABC取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，5 5则则(A+

23、B+C)(A+B+C)可可记记做做MM 。原取原取0,0,反取反取1 1。最大项使最大项为0的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBACBACBACBACBACBA0M1M2M3M4M5M6M7M（3 3）最大项的重要性质）最大项的重要性质在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为一个最大项的值为0 0。1MMji ji 所有最大项之积为所有最大项之积为0 0任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1 1。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量只有

24、一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。之和。例：BACBACBA(4)(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：、用最大项表示逻辑函数的方法： 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 F F 都可以用最大项之积的形式都可以用最大项之积的形式表示。而且这种形式是惟一的。表示。而且这种形式是惟一的。用最大项表示逻辑函数的方法有两种：用最大项表示逻辑函数的方法有两种：真值表法真值表法加对乘的分配率及配项法加对乘的分配率及配项法ABCAAABACBABBBCCACBCC证：A+B+C1ABCC1B ACC AB1 1、 真值表法真值表法：例例：将将F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC表

25、示为最大项之积的形式。列：F 真值表000000 1 1 0 0 0 0 1 1 001001 0 0 0 0 0 0 0 0 010010 0 0 0 0 0 0 0 0 011011 0 0 1 1 0 0 1 1 100100 0 0 0 0 1 1 1 1 101101 0 0 0 0 0 0 0 0 110110 0 0 0 0 1 1 1 1 111111 0 0 1 1 0 0 1 1 ABCCBABCCAF解：把真值表中 F = 0 的输入变量，以最大项的形式表示。输入0 表示原变量，1 表示反变量。 CBACBACBAF521MMM函函数数F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC既可以用最大项之积表示，又可以用最小项之和表示。M5 , 2 , 1ABCCABCBABCACBAF比较函数比较函数F F的最大项之积