应变能密度的分析

1、3.2 弹性应变能密度函数3.2.1 弹性应变能密度函数的定义    弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。现分析弹性体内任一有限部分的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分的闭合表面为S，它所包围的体积为V。以W表示外力由于微小位移增量在取出部分上所作的功，U表示在该微小变形过程中取出部分的内能增量，K表示动能增量，Q表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第

2、一定律，则有WK U Q    我们首先假设弹性体的变形过程是绝热的，也就是假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。下面，推导单位体积弹性应变能的表达式。&

3、#160;   仍以X、Y、Z表示单位体积的外力，表示作用在弹性体内取出部分表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，可以认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所作的功W包含两个部分：一部分是体力X、Y、Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W2，它们分别为（3.30）以及（3.31）    于是，有（3.32）    因此，外力由于微小位移增量在取出部分上所作的功W 可以表示为（3.33）    将平衡微分方程（1.66）和静力边界条件（1.68）代入上式，并利用散度定理，

4、上式可化为（3.34）    利用几何方程（2.12），并注意到，最终可推得相应的内能增量U为（3.35）    定义函数u0(ij)，使之满足（3.36）    该定义式称为格林（Green）公式。将它代入式（3.35），有（3.37）    由上式可以看出，函数u0(ij)表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变能密度函数（或弹性应变比能函数），简称为应变能。由于弹性应变能密度函数表示弹性体的内能概念，因此，它必然是一个势函数，故也称之为弹性势函数。对式（3.36）取积

5、分，可得（3.38）     这里，u0(ij)和u0(0)分别表示物体变形之后和未变形时的弹性应变能密度。通常，取u0(0)=0，于是有 （3.39）    根据格林公式（3.36），假如u0(ij)的具体函数形式能够确定的话，那么，弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。这表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。若假设u0(ij)对ij有二阶以上的连续偏导数，则由格林公式（3.36），可进一步推得（3.40）    上式就称为广义格林公式。将式（3.3）代入广义格林公

6、式，可得（3.41）    这就证明了各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。    以上我们讨论的是弹性体的准静态加载过程，如果弹性体在外力作用下处于运动状态，同样可以证明，弹性应变能密度函数仍具有式（3.39）所表示的形式。此外，还可以证明，对于变形过程是等温的情形，弹性应变能密度函数也可以近似地表示为式（3.39）的形式。3.2.2 线弹性体的弹性应变能密度函数    对线弹性体，它的应力与应变之间呈线性关系，如式（3.2）所示，因此，由式（3.39）可以发现，弹性应变能密度函数u0(ij)一定是应

7、变张量分量的二次齐次函数。根据齐次函数的欧拉（Euler）定理，有（3.42）代入格林公式（3.36），得（3.43）    这就是线弹性体弹性应变能密度函数u0(ij)的最一般表达形式。对于各向同性弹性体，则有（3.44）或（3.45）    从表达式（3.44）或式（3.45）中可得到一个重要的结论：各向同性弹性体的弹性应变能密度函数恒为正，而且分别为ij和ij的二次齐函数。若将式（3.45）分别对各个应力分量求偏导数，则可推得（3.46）    上式表明：对弹性势函数u0(ij)求各个应力分量的偏导

8、数，就可以得到相应的各个应变张量分量。从弹性应变能密度函数u0(ij)出发，我们还可以求出整个弹性体的总应变能U。设一个弹性体的体积为V，则整个弹性体的总应变能U为,&nbs, p;&, ;nbs, p;（3.47）    以下，列出几个各向同性弹性体常用的应变能表达式：3.2.3 体变能和畸变能的概念    在介绍体变能和畸变能的概念之前，我们首先对各向同性弹性体的本构方程（3.21）作一有意义的分解，即把应力张量和应变张量都分解为球量和偏量两个部分ijsijmijijeijmij   

9、 这里，mii /3(xyz)/3为平均应力或静水应力，mii / 3(xyz)/3为平均正应变。于是，式（3.21）就改写为     利用体积模量K=(3+2)/3，则上式变为sijmij2ij +3Km （3.48）将式（3.26）代入上式，可得（3.49）    由此可见，对各向同性弹性体，其变形可以分为相互独立的两个部分：一部分是由各向相等的正应力（静水应力）引起的相对体积变形（体积应变）；另一部分则是由应力偏量作用所引起的物体几何形状的变化（即畸变）。    现考察各向同性弹性体在两种特殊的应力状态作用下的弹性应变能：一种对应的应力张量是球量，另一种对应的应力张量是偏量。由于在以应力球张量描绘的应力状态作用下，各向同性弹性体仅产生体积变化，所以，称与之对应的弹性应变能为体变能；而在以应力偏量描绘的应力状态作用下，各向同性弹性体仅产生几何形状的变化，所以，称与之对应的弹性应变能为畸变能（或形变能）。根据各向同性弹性体的弹性应变能密度函数的表达式（3.44），可推得单位体积的体变能（体变比能）u0V和畸变能（形变比能）u0d分别为&#