数学建模_灰色理论

1、灰色系统理论及其应用第一章 灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，华中工学院学报发表邓聚龙教授的第一篇中文论文灰色控制系统，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统

2、理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。1.2几种不确定方法的比较 概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的

3、结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。1.3灰色系统理论的基本概念定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。定义1.3.2信息未知的系统称为黑色系统。定义1.3.3部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。1.4灰色系统理论的基本原理公理1(差异信息原理)“差异“是信息，凡信息必有差异。

4、公理2（解的非唯一性原理）信息不完全，不确定的解是非唯一的。公理3（最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息“。公理4(认知根据原理)信息是认知的根据。公理5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老信息。公理6（灰性不灭原理）：信息不完全是绝对的1.5灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色代数系统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系。以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析，评估，建模，预测，决策，控制，优化为主体的技术

5、体系。1.6灰数灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用记号“”表示灰数。灰数有以下几类：1. 仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为，其中a是灰数的下确界，是确定的数，我们称为的取数域，简称的灰域。2. 仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为 ，其中是灰数的上确界，是确定的数。3. 区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为4. 连续灰数与离散灰数。5. 黑数与白数。当，称为黑数；当且时，称为白数。6. 本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时还不能

6、找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值，宇宙的总能量等。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其代表的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值。第二章 序列算子与灰色序列生成 灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济，生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘，整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数

7、据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。例如考虑4个数据，记为，其数据见下表：序号1234符号数据121.54将上表数据作图得上图表明原始数据没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为,并且得到数据如下表所示序号1234符号数据134.57.5上图表明生成数列X是单调递增数列。2.1冲击扰动系统与序列算子定义2.1.1 设 为系统真实行为序列，而观察到的系统行为数据序列为 其中，为冲击扰动项（干扰项）。X称为冲击扰动序列。所以本章我们的讨论

8、围绕：由XX展开（扰动还原真实）2.2缓冲算子公理定义2.2.1 设系统行为数据序列为，1. 若，则称X为单调增长序列；2. 若1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列；3. 若，则称X为随机振荡序列。4. 设，则称M-m为序列X的振幅定义2.2.2 设为系统行为数据系列，D为作用于X的算子，X经过算子D作用后所得序列记为 称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相应的，若都是序列算子，我们称为二阶算子，并称 为二阶算子作用序列，同理，为三阶序列算子定义2.2.3 称下述三公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子D称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶缓冲算子作用

9、序列称为一阶，二阶，三阶缓冲序列。公理1（不动点公理） 设为系统行为数据系列，D为序列算子，则D满足 。不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据保持不变。根据定性分析的结论，亦可使以前的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如，令公理2.（信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每一个数据，都要充分地参与算子的作用全过程公理3（解析化、规范化公理） 任意的 ，皆可由一个统一的的初等解析式表达。定义2.2.4 设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长序列，衰减序列或振荡序列时：1.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，则称缓冲算子D为弱化算子。2

10、.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲算子D为强化算子。2.3实用缓冲算子的构造定理2.3.1 设原始数据序列令缓冲序列 其中；k=1,2,，n,则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称为平均弱化缓冲算子（AWBO）证明：直接利用的定义，可知定理成立。推论2.3.1对于定理1中定义的弱化算子D，令，则对于增长序列，衰减序列或振荡序列时，皆为二阶弱化算子。定理2.3.2设原始序列和其缓冲算子序列分别为 其中 则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化算子。推论2.3.2 设D为定理2中定义的强化算子，令 ，其中，则对于增长序列，衰减序

11、列或振荡序列皆为二阶强化算子。定理2.3.3 原始数据序列和其缓冲算子序列分别为 其中，则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称D为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）定理2.3.4 设为非负的系统行为数据序列，令其中。则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化缓冲算子，并称D为几何平均弱化缓冲算子（GAWBO）定理2.3.5 设为系统行为数据序列，各时点的权重向量为，则 其中。则当X D皆为弱化缓冲算子，并称D为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）。定理2.3.6 设，各时点的权重向量为>0， 令 其中则当X D为弱缓冲算子，并称D为加权几何平均弱化缓冲算子（WGA

12、WBO）。定理2.3.7 设为系统行为数据序列，令其中。则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子，并称D为平均强化缓冲算子（ASBO） 定理2.3.8 设为非负的系统行为数据序列，令其中。则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子，并称D为几何平均强化缓冲算子（GASBO）以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子，缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它各种模型建模。通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影响，往往会收到预期的效果。例2.3.1 河南省长葛县乡镇企业

13、产值数据（1983年-1986年）为 其增长势头很猛，1983-1986年每年平均递增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均递增67.7%。因此普遍认为今后不可能一直保持这么高的发展速度。经过认真分析，大家认识到增长速度高主要是基数低，而基数低的原因是过去对有利与乡镇企业发展的政策没有用足，用活，用好。要弱化序列增长趋势，就要将乡镇企业发展比较有利的现行政策因素附加到过去的年份中去，为此，引进推论1所示的二阶弱化算子，得二阶缓冲序列 用XD建模预测得，1986-2000年该县乡镇企业每年平均递增9.4%，这一结果是1987年得到的，与“八五”后半期和“九五”期间该县乡镇企业发展实际基

14、本吻合。2.4均值生成算子 在收集数据时，常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺（也称空穴），有些数据序列虽然完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据，剔除异常数据就会留下空穴，如何填补空穴，自然成为数据处理过程中首先遇到的问题，均值生成是常用的构造新数据，填补原序列空穴，生成新序列的方法。定义2.4.1 设序列X在出现有空穴，记为，即则称定义2.4.2设序列为k处有空穴的序列，而称为非紧邻均值生成数，所得序列称为非紧邻生成序列。定义2.4.3 设序列，若，则称为紧邻生成数，由紧邻生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。2.5序列的光滑性定义2.5.1设序列，Z是X的均值生

15、成序列： ，其中， X是某一可导函数的代表序列，d为n维空间的距离函数，我们将X删去后所得的序列仍记X，若X满足1. 当k充分大时，2.则称为光滑序列，为序列光滑条件。定义.称为序列的光滑比。定义.若序列满足. . .则称为准光滑序列。.级比生成算子定义.设序列，则称为序列的级比。.累计生成算子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。定义.设，为序列算子，其中。则称为的一次累加生成算子，记为-（Accumulating Generation Opera

16、tor）,称r阶算子 为 的r 次累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记 其中定义2.7.2设，D为序列算，其中 2.8灰指数律 定义2.8.1 设序列，若对于 1. 则称X为齐次指数序列。 2. ，称X为齐次指数序列。定义2.8.2 设序列若1.，则称序列X具有负的灰指数规律。2. ，则称序列X具有正的灰指数规律。3. 则称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律。4.时，称X具有准指数规律。定理2.8.1设序列为非负准光滑序列，则的一次累加生成序列具有准指数规律。注：定理2.8.1是灰色系统建模的理论基础第三章 灰色关联分析 一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有

17、许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分析等都是用来进行系统特征分析的方法。但数理统计中的分析方法往往需要大量数据样本，且服从某个典型分布。灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的

18、相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。例如某地区农业总产值,种植业总产值，畜牧业总产值和林业总产值，从1997-2002年共6年的统计数据如下：从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果业总产值去与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。3.1灰色关联因素和关联算子集进行系统分析，选准系统行为特征的映射量后，还需进一步明确影响系统行为的有效因素。如要作量化研究分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理，通过算子作用，使之化为数量级大

19、体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。定义3.1.1设为因素的行为序列，为序列算子，且其中，则称为初值化算子。为在初值化算子的象，简称初值象。定义3.1.2设为因素的行为序列，为序列算子，且其中，则称为均值化算子。为在均值化算子的象，简称均值象。定义3.1.3设为因素的行为序列，为序列算子，且其中，则称为区间化算子。为在区间化算子的象，简称区间值象。定义3.1.4设，为因素的行为序列，为序列算子，且其中，则称为逆化算子。为在逆化算子的象，简称逆化象。定义3.1.5设，为因素的行为序列，为序列算子，且其中，则称为逆化算子。为在倒数化算子的象，简称倒数化象。定义3.1.6称为灰色关联

20、算子集。定义3.1.7 设X为系统因素集合，D为灰色关联算子集，称（X,D）为灰色关联因子空间。3.2灰色关联公理与灰色关联度定义3.2.1（灰色关联公理） 设为系统特征序列，且为相关因素序列，给定实数，若实数，满足1.规范性 2.整体性 对于有 3. 偶对对称性 ，有4.接近性 越小，越大。则称为的灰色关联度，其中为在点的关联系数，并称条件1.2.3.4为灰色关联四公理。在灰色关联公理中，规范性表明系统中任何两个行为序列都不可能严格无关联。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度也随之变化，因此对称性不一定满足。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，满足对称性

21、。接近性是对关联量化的约束。定义3.2.2 设系统行为序列对于 令记为，则满足灰色关联公理，其中称为分辨系数。称为的灰色关联度，记为。根据关联度的定义，可得关联度的计算步骤如下：1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据设个数据序列形成如下矩阵：其中为指标的个数，2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作3对指标数据序列用关联算子进行无量纲化（也可以不进行无量纲化），无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：常用的无量纲化方法有均值化像法、初值化像法等4逐个计算每个被评价对象指标序列与参考序列对应元素的绝

22、对差值即 ； 5确定 与6计算关联系数 分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数 式中为分辨系数，在（0，1）内取值，越小，关联系数间的差异越大，区分能力越强通常取0.57.计算关联度8依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果3.3灰色关联分析的应用举例利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表教师考评数据表编号专业外语教学量科研论文著作出勤8987529787573897966476888436866983889576483确定参考数据列：4计算，见下表编号专业外语教

23、学量科研论文著作出勤1012470212426102033523111563133016110423515 6依据式，取计算，得 同理得出其它各值，见表（125 ）编号i10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.77

24、87分别计算每个人各指标关联系数的均值（ 关联度）：同理 ， 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号（），5号（），3号（），6号（），2号（），4号（）即3.4广义灰色关联度命题3.4.1 设，而和分别为与的始点化像，即，则记 ， 及定义3.4.1 设序列，如命题3.3.1中所示，则称为与的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。绝对关联度满足灰色关联公理中规范性，偶对对称性与接近性，但不满足整体性。定理3.4.1 灰色绝对关联度具有如下的性质：1. 2. 只与与几何形状有关，而与其它无关，或者说，平移不改变绝对关联度的值。3.任何两个序列都不是绝对无关的，即

25、恒不为零。4. 与几何形状相似程度越大，越大。5. 当或中任一观测数据变化了，将随之变化。6. 与长度变化，也变化。7. 8. 3.5 灰色相对关联度定义3.5.1设序列与长度相同，且初值皆不等于零，与分别为与的初值像，则称与的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记为。相对关联度表征了序列与相对与始点的变化速率之间的关系，与的变化速率越接近，越大，反之越小。定理3.5.1 设序列与长度相同，且初值皆不等于零，若，其中为常数，则定理3.5.2灰色相对关联度具有如下的性质：1. 2. 只与序列与的相对于始点的变化率有关，而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相对关联度的值。3

26、.任何两个序列的变化率都不是毫无联系的，即恒不为零。4. 与相当于始点的变化速度越接近，越大。5. 当或中任一观测数据变化了，将随之变化。6. 与长度变化，也变化。7. 8. 3.6 灰色综合关联度定义3.6.1设序列设序列与长度相同，且初值皆不等于零，和分别为与的灰色绝对关联度和相对关联度，则称为与的灰色综合关联度，简称综合关联度。综合关联度既体现了折线与的相似程度，又反映了与相对于始点的变化速率的接近程度，是较为全面的表征序列之间联系是否紧密的一个数量指标。例3.6.1河南省长葛县乡镇企业经济的灰色关联分析20世纪80年代中期，长葛县乡镇企业发展比较快，1983年到1986年，平均每年增长

27、51.6%，乡镇企业经济在全县经济发展中占有重要地位，1986全县乡镇企业产值35388万元，占工农业总产值的60%。如何有效的加快乡镇企业的发展，是大家普遍关心的问题。据分析，乡镇企业产值主要与固定资产，流动资产，劳动力，企业留利四个因素有关。该县乡镇企业产值及相关因素行为数据如下表：年份变量1983198419851986(产值)10155125882340835388(固定资产)3799360554606982(流动资产)1752216022134753(劳动力：人)24186455905768585540(企业留利)1164178831344478 单位：万元1.求绝对关联度。令即始点

28、零化像，则由得由得由；得2.求相对关联度。先求出的初值像，由得 诸的始点零化像为从而有由由得由；得3.求综合关联度。取，由综合关联度得4.结果分析。由得知相对来说，为最优因素，次之，又次之，最差。也就是说，劳动力对乡镇企业的产值影响最大，企业留利对产值的影响仅次于劳动力，固定资产对产值的影响最小。这一结果与该县的实际情况吻合。这个县的乡镇企业主要是劳动密集型产业，产值的增长在很大程度上是靠增加劳动力来实现的。第四章 灰色系统模型研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能，协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与

29、定性紧密结合，系统模型的建立，一般要经过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型，量化模型，动态模型，优化模型。在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往返，使整个模型逐步趋于完善。4.1 GM(1,1)模型G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。定义4.1.1设，则称为GM(1,1)模型的原始形式。定义4.1.2设，其中则称 为GM(1,1)模型的基本形式。定义4.1.3 设为非负序列：为的1-AGO（即一次累加）序列：，其中；为的紧邻均值生成序列，其中若为参数列，且则GM(1,1)模型的最

30、小二乘估计参数列满足定义4.1.设为非负序列，为的1-AGO（即一次累加）序列，为的紧邻均值生成序列，则称为（，）模型的白化方程，也叫影子方程。定理.设如定理.所述，则. 白化方程的解（也称时间响应函数）为. GM(1,1)模型的时间响应函数序列为.还原值定义4.1.称GM(1,1)模型中的参数为发展系数，为灰色作用量。反映了 与的发展态势。一般情况下，系统作用量应是外生的或者前定的，而GM(1,1)是单序列建模，只用到系统的行为序列（或称输出序列，背景值），而无外生作用序列（或称输入序列，驱动量）。GM(1,1)模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确定内涵是灰

31、色的，灰色作用量是内涵外延化的具体表现，它的存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模的分水岭，也是区别灰色系统观点与灰箱观点的重要标志。定理.GM(1,1)模型可转化为，其中.残差（，）模型当（，）模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立（，）模型，对原来的模型进行修正，以提高精度。定义.设为原始序列，为的-序列，（，）模型的时间响应式则称为导数还原值。命题.设为导数还原值，为累减还原值，则由此命题知，（，）模型既不是微分方程，也不是差分方程。但当充分小时，有。这说明了微分与差分的结果十分接近，因此（，）模型既可以看成微分方程，也可以看成差分方程。鉴于导数还原值与累减还原值不一致，为减少往返运算

32、造成的误差，往往用的残差修正的模拟值。定义.设其中为的残差序列。若存在，满足.的符号一致。.，则称为可建模残差尾段，仍记为命题.2设为可建模残差尾段，其-序列为的（，）的时间响应式为则残差尾段的模拟序列为其中定义.3若，则相应的残差修正时间响应式称为累减还原式的残差修正模型。定义.4若，则相应的残差修正时间响应式称为导数还原式的残差修正模型。例4.2.1湖北省云梦县油菜发病率数据为建立GM（1，1）模型，得时间响应式为作累减还原，得检验其精度：列出误差检验表如下。序号原始数据模拟数据残差相对误差22035.6704-15.670478.3540%34033.43036.567916.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.368210.6318.26.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.519.8974-4397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.478616.5120% 由表可以看出，模拟误差较大，进一步计算残差平方和平均相对误差 残差平方和