小学奥数-几何五大模型(等高模型)

1、模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底 高 2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大 （小） ，三角形面积也就越大 （ 小）； 如果三角形的高不变，底越大 （小） ，三角形面积也就越大 （ 小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 ，则三角形面积与原来3 的一样 这就是说： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积， 而不仅仅取决于高或底的变化 同 时也告诉我们：一个三角形

2、在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 S1 :S2 a: b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SACD SBCD ；反之，如果 SACD SBCD ，则可知直线 AB平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 （ 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比例 1】解

3、析】你有多少种方法将任意一个三角形分成：6 个面积相等的三角形。 如下图， D 、 E 是 BC 的三等分点， 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形； 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：如下图，答案不唯一，以下仅供参考：例 2】如图， BD长12厘米， DC长4厘米， B、C和 D在同一条直线上。 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？解析】因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD 、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等

4、。于是：三角形 ABD 的面积 12 高 2 6 高三角形 ABC的面积 （12 4） 高 2 8 高三角形 ADC 的面积 4 高 2 2 高所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 4 倍；3 三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍。例 3】如右图， ABFE和CDEF都是矩形， AB的长是4厘米， BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米。解析】巩固】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。（ 2009 年四中小升初入学测试题 ） 如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积 是 平方厘米。

5、F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：解析】 根 据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也 等于平行四边形面积的一半，为 50 2 25 平方厘米。巩固】如下图，长方形 AFEB和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形 ABCD的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是BEC1 20 12 120 。2解析】巩固】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。 连接 BH 、 CH 。 AE EB ， S同理， S阴影 AEHS BEH S BFHS CFH ， S CGH =S DGH ，11S长方形ABCD56 28 （平方厘

6、米 ）22图中的分的面积是E、F 、 G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部解析】 根 据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为例 4】如图，长方形 ABCD的面积是 56平方厘米，点E 、F 、G分别是长方形 ABCD边上的中点， H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。解析】 把 另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三角形。这 9 个三角形的底边分别是 在正方形的 3个边上， 它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成

7、了 3个三角形， 右边三角形的面积和第 1第 2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第 4个三角形相等；左边三角形的面积和第 5 个第 6个三角形相等。因此这 3个阴影三角形的面积分别是 ABH 、 BCH 和CDH 的三分之一， 因此全部阴影的总面积就等 于正方形面积的三分之一。正方形的面积是 144，阴影部分的面积就是 48。例 5】E、F、G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积解析】长方形 ABCD 的面积为 36cm2， 是多少？解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：11可得： S EHB S AHB 、 S FHB S CHB 、即 S EHB

8、S BHF S D HG而 S EHB S BHF S DHG1S DHG S DHC ，而 SABCD S AHB S CHB S CHD 36 11( S AHB S CHB S CHD ) 36 18 ；1S阴影 S EBF ， S EBF BE BFS阴影 18 S EBF 18 4.5 13.5H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，1 (1 AB) (1 BC) 1 36 4.5 。2 2 2 8所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法。找 那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：1 11 1 11 136 36 36 36 13.5 。2

9、22 2 22 2S阴影SABCDSA EDS BEF S CFD例 6】长方形 ABCD的面积为 36，E、F 、 G为各边中点， 多少？H为 AD边上任意一点，问阴影部分面积是F解析】那么阴影部分的面积就是AEF与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的 1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形 84（法 2）寻找可利用的条件，连接可得： S EHB S AHB 、ABCD 面积的1133113 ，为 36313.5 。8488即 S EHB S BHF S DHGBH 、 S FHBS CHB 、1( S AHB S CHB而 S EHB S BHF S D H

10、G 所以阴影部分的面积是：HC ，如右上图。S DHG S DHC ，1S CHD ) 36 18 ；11 111S阴影 S EBF ， S EBF BE BF ( AB) ( BC ) 36 4.5 。22 228S阴影 18 S EBF 18 4.5 13.5 。而 SABCDS AHB S CHB S CHD 36 ，巩固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分， 分别与 P点连接 ,求阴影部分面积。解析】法 1 ）特殊点法。由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占

11、正方形面积的P 点与 A 点重合，则阴1 和 1 ，所以阴影部46分的面积为 62 （1 1） 15 平方厘米。46（法 2）连接 PA、 PC。由于 PAD 与 PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的 1 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面4积的 1 ，所以阴影部分的面积为 62 （1 1） 15 平方厘米。6 4 6例 7】如右图，E在AD上，AD垂直 BC，AD 12厘米， DE 3厘米求三角形 ABC的面积是三角形 EBC 面积的几倍？解析】 因为 AD垂直于 BC，所以当 BC为三角形

12、ABC和三角形 EBC的底时， AD 是三角形 ABC 的高，ED 是三角形 EBC 的高，于是：三角形 ABC 的面积 BC 12 2 BC 6 三角形 EBC 的面积 BC 3 2 BC 1.5 所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍例 8】 如 图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与 BEC 等积的三角形一解析】共有哪几个三角形？巩固】解析】如图，在 ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 中点，连结 BE、 CE，那么与 ABE 等积的三角形一共 有哪几个三角形？巩固】D解析】DBC ， ABO 与 DC

13、O例 9】（ 第四届”迎春杯” 的面积是多少？试题 ）如图，三角形 ABC的面积为 1，其中 AE 3AB，BD 2BC ，三角形 BDE如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？解析】 连接 CE， AE 3AB， BE 2AB， SBCE 2S ACB 又 BD 2 BC ， S BDE 2S BCE 4S ABC 4 例 10】 （2008 年四中考题 ）如右图， AD DB，AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， ABC 的面积是 平方厘米解析】 连接 CD 根据题意可知， DEF 的面积为 DAC面积的 1， DAC的面积为 ABC面

14、积的 1 ，所 321 1 1 以 DEF 的面积为 ABC 面积的 1 1 1 而 DEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ABC 的面积为23615 30（ 平方厘米 ） 6巩固】图中三角形 ABC的面积是 180 平方厘米， D是 BC的中点， AD 的长是 AE长的 3倍， EF的长是 BF 长的 3 倍那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？DC解析】ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，有SABD BD 1 ,S ABC BC 211AE1所以 S ABD = S ABC 180 90（ 平方厘米 ） 同理有 S ABE S ABD 90 30（ 平方厘米 ） ， 22AD3

15、FE3S AFE S ABE 30 22.5 （ 平方厘米 ） 即三角形 AEF 的面积是 22. 5 平方厘米 BE4巩固】如图，在长方形 ABCD中， Y是BD的中点， Z 是DY的中点，如果 AB 24厘米， BC 8厘米，求三角形 ZCY 的面积解析】 Y是BD的中点， Z是 DY的中点，11ZY DB ，22S ZCYDCB又 ABCD 是长方形，1 1 1SZCY 14 S DCB 41 12 S ABCD 24 （平方厘米 ）巩固】如图，三角形 ABC的面积是 24，D、E和F分别是 BC、AC和AD的中点求三角形 DEF 的面积解析】 三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面

16、积的一半 24 2 12 ， 三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半 12 2 6 三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积 6 2 3巩固】如图，在三角形 ABC中， BC 8厘米，高是 6厘米， E、F分别为 AB和AC的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？解析】 F 是 AC 的中点 S ABC 2S ABF 同理 S ABF 2S BEF S BEF S ABC 4 8 6 2 4 6（ 平方厘米 ） 例 11】 如图 ABCD 是一个长方形，点 E、 F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是 个平方单位，求三角形 E

17、FG 的面积是多少个平方单位解析】巩固】解析】如 右图分割后可得， S EFG S矩形DEFC（97 迎春杯决赛 ） 如图， 长方形 那么，阴影部分的面积是多少？平方单位） ABCD 的面积是 1 ，M是 AD边的中点，N在 AB边上，且2 AN BN .连接BM ，因为 M 是中点所以 ABM 的面积为 1 又因为42ANBN ，所以 BDC 的面积为1 1 14 3 12，又因为 BDC 面积为 1 ，所以阴影部分的面积为：21112152 12例 12 】 如图，大长方形由面积是 形组合而成求阴影部分的面积12 平方厘米、 24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方12c

18、m236cm224cm224cm248cm21，解析】 如 图，将大长方形的长的长度设为241 1 1所以 MN 1 1 1 ，阴影部分面积为3 4 12则 AB 121 ， CD12 36 411(12 24 36 48) 5(cm ) 2 121，24 48 32例 13】 如图，三角形 ABC中，DC 2BD ，CE 3AE ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形 ABC 的面积是多少？AD解析】 CE 3AE ， AC 4AE ， S ADC 4S ADE ；又 DC 2BD ， BC 1.5DC ， S ABC 1.5S ADC 6S ADE 120 ( 平方厘米 ) 例

19、 14】 （2009 年第七届”希望杯”二试六年级 ）如图，在三角形 ABC中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE、 三角形 BCD的面积分别是 89，28，26那么三角形 DBE 的面积是 B解析】 根 据题意可知， S ADC S ADE S DCE 89 28 117 ， 所以 BD : AD S BDC : S ADC 26 :117 2 :9 ， 那么 S DBE : S ADE BD : AD 2:9 ，2 2 2 7 故 S DBE 89 (90 1) 20 19 DBE 9 9 9 9例 15】 （第四届小数报数学竞赛 ） 如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了

20、两部分三角形解析】D如右图，作AB 的平行线 DEB E C三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的面积相等，三角形 DEC 的面积就BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米， 它们的差是 5 分米求梯形 ABCD 的面积是三角形 BDC 与三角形 ABD的面积差 （ 10平方分米 ） 从而，可求出梯形高 （三角形 DEC的高）是：2 10 5 4 （分米 ） ，梯形面积是： 15 4 2 30（ 平方分米 ） 例 16】 图中 AOB的面积为 15cm 2 ，线段 OB的长度为 OD的3倍，求梯形 ABCD 的面积D解析】 在 A

21、BD中，因为 SAOB 15cm2，且 OB 3OD ，所以有 SAOD SAOB 3 5cm2因为 ABD和 ACD等底等高，所以有 SABD S ACD从而 S OCD 15cm ，在 BCD 中， S BOC 3S OCD 45cm ，所以梯形面积： 15 5 15 45 8（0 cm ）例 17 】 如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法， 如右上图把顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A处， ABD 与 ABD 面 积相等， 从而 ADC 面积与原四边形 ABC

22、D 面积也相等 这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角形 ADC 问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过A 作一条和 DB 平行的直线与 CB的延长线交于 A 点 具体做法： 连接 BD ； 过A作 BD的平行线，与 CB的延长线交于 A 连接 AD ，则 ACD 与四边形 ABCD 等积例 18 】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形 面积的 15%，黄色三角形面积是 21cm2 问：长方形的面积是多少平方厘米？解析】 黄 色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿 色三角形的面积和为长

23、方形面积的 50%，而绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，所以黄色三角形 面积占长方形面积的 50% 15% 35% OAB的面积是 2cm 2 ，求 OBD 的面已知黄色三角形面积是 21cm2 ，所以长方形面积等于 21 35% 60（ cm2）例 19】 O是长方形 ABCD内一点，已知 OBC的面积是 5cm2 ， 积是多少？1解析】 由 于 ABCD 是长方形，所以 S AOD S BOCSABCD ，而 S ABD1 SABCD ，所以 S AOD S BOC S ABD ，则 S BOC S OAB S OBD ， 所以 S O BD SB OC S OAB 5 2 3cm

24、例 20 】 如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若 PBD 的面积为 8 平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？解析】 根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平行四边 形 BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差如右上图，连接 CP 、 AP1由于 S BCP S ADP S ABP S BDP S ADPSABCD ， 所以 S BCP S ABP S BDP 216（ 平方分米 ）11而 S BCPSBCFE ， SA BPSABHG ，所

25、以 SBCFE SABHG 2 S BCP S ABP 2S BDP例 21】 如右图，正方形 ABCD的面积是 20，正三角形 BPC的面积是 15，求阴影 BPD 的面积解析】 连接 AC交 BD于O点，并连接 PO 如下图所示，可得 PO / / DC ，所以 DPO与 CPO面积相等 （ 同底等高 ） ，所以有：SB PO S CPO S BPO SP DOS BPD ，因为 S BOC1 SABCD 1 20 5 ，4 ABCD 4所以 S BPD 15 5 10 巩固】如右图，正方形 ABCD的面积是 12，正三角形 BPC 的面积是 5，求阴影 BPD的面积并连接 PO 如右上图

26、所示，解析】连接 AC交 BD于O点，可得 PO / / DC ，所以 DPO与 CPO面积相等 （ 同底等高 ），所以有 :S BPO S CPO S BPO S PDO S BPD ，1因为 S BOCSABCD 3 ，所以 S BPD 5 3 2 4例 22】 在长方形 ABCD 内部有一点 O ，形成等腰 AOB的面积为 16，等腰 DOC 的面积占长方形面积 的 18%，那么阴影 AOC 的面积是多少？解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去DOC 的面积 （ 长方形面积的 18%） ，再减去 AOD的面积，即可求出 AOC 的面积11根据模型可知 S COD S AOB SABCD

27、 ，所以 SABCD 16 （ 18%） 50 ，22又 AOD 与 BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以 形面积的 1 ，4AOD 的面积等于长方所以 S AOC1S ACD S AOD S COD2 SABCD25%SABCD 18% SABCD25 12.5 9 3.5 例 23】 （ 2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中， E、 F分别是其两腰 AB 、CD的中点， G是EF 上的任意一点， 已知 ADG 的面积为 15cm2，而 BCG的2 cm面积恰好是梯形 ABCD 面积的 7 ，则梯形 ABCD 的面积是20解析】

28、 如果可以求出 ABG与 CDG 的面积之和与梯形 ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占梯形 ABCD面积的多少，从而可以求出梯形 ABCD 的面积如图，连接 CE、 DE则S AEG S DEG ， S BEG S CEG ，于是 S ABG S CDG要求 CDE与梯形 ABCD的面积之比，可以把梯形 ABCD绕F点旋转180 ，变成一个平行四边形图所示：（也可以根据从 中 容 易 看 出 CDE 的 面 积 为 梯 形 ABCD 的 面 积 的 一 半 1 1 1 1S AED S AFD S ADC ， S BEC S AED S ABC S ADCSABCD 得来 )1 7

29、 3那么，根据题意可知ADG的面积占梯形 ABCD面积的 1 1 7 3 ，所以梯形 ABCD 的面积是2 20 2015 3 100cm 2 20 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半， 这是一个很有用的结论 本题中，如果知道这一结论， 直接采用特殊点法， 假设 G 与 E 重合，则 CDE 的面积占梯形面积的一半，那么 ADG 与 BCG 合起来占一半例 24】 如图所示，四边形 ABCD与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等FF解析】 本 题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高

30、的平行四边形面积的一半证明：连接 BE（ 我们通过 ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起）在平行四边形 ABCD 中，1SABEAB AB 边上的高，2 S ABE12SABCD同理， SABE 1 S AEGF ，平行四边形 ABCD与 AEGF面积相等 2【巩固】如图所示，正方形 ABCD的边长为 8厘米，长方形 EBGF的长 BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘 米？解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （ 长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形 ） 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接 AG （我们通过 ABG把这两个长方形和正方

31、形联系在一起）1在正方形 ABCD中， SABGAB AB 边上的高，2 SABG 1S ABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）2同理，S ABGSEFGB 2正方形 ABCD 与长方形EFGB面积相等长方形的宽 8 8 10 6.4 （厘米 ）例 25】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6， AE 1 .5， CF 2长方形 EFGH 的面积为解析】 连接 DE， DF，则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍 三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，SDEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5 , 所以长

32、方形 EFGH 面积为 33例 26】 如图， ABCD 为平行四边形， EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的 面积DCFCAA E B解析】 连 结 AF、 CE S ADE S ACE ； S CDFS ACF ；又 AC与 EF 平行，S ACE S ACFS ADE S CDF 4 （ 平方厘米 ） 巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线 CF交 AB于E ，交DA延长线于 F ，若SADE 1 ，求BEF的面积解析】 本 题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等 ）和等量代换的思想连接 AC A

33、B CD ， S ADE SACE同理 ADBC， SACF SABF又 S ACFS ACE S AEF ，S ABFS BEFS AEF ，S ACESBEF ，即 S BEFS ADE1 例 27 】图中两个正方形的边长分别是6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米例 28 】 如图，有三个正方形的顶点 厘米，求阴影部分的面积D、G、 K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为 10解析】 对 于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角 线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化如右图所示，连接 FK、

34、GE、BD，则 BD / /GE / /FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可 得 S DGE S BGE ， S KGE S FGE ，所以阴影部分的面积就等于正方形 GFEB 的面积，即为 102 100 平 方厘米巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是F解析】 这 道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系连接AD （见右上图 ），可以看出，三角形 ABD与三角形 ACD的底都等于小正方形的边长， 高都等于大正 方形的边长，所以面积相等因为三角形 AGD 是三角形 ABD与三角形 ACD的公共部分，所以去掉 这个公共部分， 根据差不变

35、性质， 剩下的两个部分， 即三角形 ABG与三角形 GCD 面积仍然相等 根 据等量代换，求三角形 ABC的面积等于求三角形 BCD 的面积，等于 4 4 2 8巩固】 （2008 年西城实验考题 ）如图， ABCD与AEFG均为正方形，三角形 ABH的面积为 6平方厘米，图 中阴影部分的面积为 解析】 如图，连接 AF，比较 ABF与 ADF ，由于 AB AD，FG FE，即 ABF与 ADF 的底与高分 别相等，所以 ABF与 ADF 的面积相等，那么阴影部分面积与 ABH 的面积相等，为 6平方厘米巩固】正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，且正方形FE则图中阴影面积为多少平方厘米？

36、解析】方 法一：三角形 BEF 的面积 BE EF 2 ，梯形 EFDC 的面积 （EF CD） CE 2 BE EF 2 三角形 BEF 的面积， 而四边形 CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形 DHF 的面积 三角形 BCH 的面积， 进而可得，阴影面积 三角形 BDF 的面积 三角形 BCD 的面积 10 10 2 50（ 平方厘 米 ） 方法二：连接 CF ，那么 CF 平行 BD ，所以，阴影面积 三角形 BDF 的面积 三角形 BCD 的面积 50（平方厘米 ） 巩固】 （人大附中考题 ）已知正方形 ABCD边长为 10，正方形 BEFG边长为 6，求阴影部分的面积解析】 如果

37、注意到 DF 为一个正方形的对角线 （ 或者说一个等腰直角三角形的斜边） ，那么容易想到 DF 与CI 是平行的所以可以连接 CI 、 CF ，如上图1由于 DF 与 CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等而 DFC 的面积为 10 4 1 20 ，所 2以 DFI 的面积也为 20例 29】 （ 2008年”华杯赛”决赛）右图中， ABCD和CGEF是两个正方形， AG和CF相交于 H，已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形 CHG的面积等于 6平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积【解析】 连接 AC、GF，由于 AC与GF 平行，可知四边形 ACGF构成一个梯形 文案

38、大全由于 HCG 面积为 6 平方厘米， 且 CH 等于 CF 的三分之一， 所以 CH 等于 FH 的 1 ，根据梯形蝴蝶2 定理或相似三角形性质， 可知 FHG的面积为 12平方厘米， AHF 的面积为 6平方厘米， AHC的 面积为 3 平方厘米那么正方形 CGEF的面积为 6 12 2 36平方厘米，所以其边长为 6 厘米又 AFC 的面积为 6 3 9平方厘米，所以 AD 9 2 6 3 （厘米） ，即正方形 ABCD的边长为 3 厘 米那么，五边形 ABGEF 的面积为： 36 9 32 1 49.5 （ 平方厘米 ）2例 30】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题 ）如下图， E 、

39、 F分别是梯形 ABCD的下底 BC和腰 CD上的 点， DF FC ，并且甲、乙、丙 3个三角形面积相等已知梯形ABCD的面积是 32 平方厘米求图中阴影部分的面积解析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底 DF FC所以 A到CD的距离与 E 到CD的距离相等，即 AE 与 CD平行，四边形 ADCE是平行四边形，阴影部分的面积 平行四边形 ADCE的面积的 1 ，所以 2 阴影部分的面积 乙的面积 2设甲、乙、丙的面积分别为 1份，则阴影面积为 2 份，梯形的面积 为 5份，从而阴影部分的面积32 5 2 12.8（ 平方厘米 ） 例 31】 如图，已知长方形 ADEF的面积 16 ，三角

40、形 ADB的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，那么 三角形 ABC 的面积是多少？D B EFC解析】 方法一：连接对角线 AE ADEF 是长方形SA DES AEF S ADEFDBS ADB 3FC S ACF 1DES ADE 8EF S AEF 2BEDE DB5， CE FE CF1DEDE8， EF EF2 S BEC 1 5 1 16 52 8 2 2 S ABC S ADEFS ADB S ACF S CBE132方法二：连接 BF ，由图知 SABF 16 2 8 ，所以 SBEF 16 8 3 5 ，又由 SACF 4 ，恰好是AEF 面 积的 一半 ，所 以 C

41、 是 EF 的中 点 ，因 此 SBCE S BC5F 2 2.，5 所 以S ABC1 6 3 4 2 . 5 6例 32】 如图，在平行四边形 ABCD中， BE EC，CF 2FD 求阴影面积与空白面积的比1解析】 方法一：因为 BE EC， CF 2FD ，所以 SABE 1 S四边形ABCD ， 41S ADFS四边形 ABCD 6因为 AD 2BE ，所以 AG 2GE ，所以 SBGE13S ABES四边形 ABCD ，12S ABG2SABE31S四边形6ABCD同理可得，S ADHS四边形 ABCD ，8SDHFS四边形24ABCD因为 SBCD 1 S四边形ABCD ，所以

42、空白部分的面积2 所以阴影部分的面积是 1 S四边形ABCD 3111112，() S四边形 ABCDS四边形 ABCD ，21224683121: 2 1: 2，所以阴影面积与空白面积的比是 1:233例 33】（ 第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛） 如图所示，三角形ABC中， D是 AB边的中点，E是 AC边上的一点，且AE 3EC ， O 为 DC 与 BE 的交点若CEO的面积为 a 平方厘米，BDO的面积为 b平方厘米且 b a是 2.5平方厘米，那么三角形 ABC的面积是 平方厘 米解析】 根据题意可知 AD:BE:EC 8:6:9 ，则 S ABD 8，S ABE 3S AB

43、D，S ABE 6 ABE 4 ABD1而 S ABD S ABE S AOD S BOE 10 平方厘米，所以 S ABD 10 ，则 S ABD 40 平方厘米 4又 S BCD 9 6 15 ，所以 S BCD 15 40 75 平方厘米S ABD 8 8 8 所以 S梯形ABCD S ABD S BCD 40 75 115( 平方厘米 ) 【巩固】 （第五届小数报 数学竞赛初赛 ）如图， BD是梯形 ABCD的一条对角线， 线段 AE与DC平行， AE 文案大全与 BD相交于 O 点已知三角形梯形 ABCD 的面积2BOE的面积比三角形 AOD的面积大 4平方米，并且 EC 2BC 求

44、5解析】 连接 AC 根据差不变原理可知三角形ABE的面积比三角形 ABD大 4 平方米，而三角形 ABD与三角形 ACD面积相等，因此也与三角形 ACE 面积相等，从而三角形 ABE的面积比三角形 ACE的大 4 平方米2 2 2但 EC 2 BC ，所以三角形 ACE的面积是三角形 ABE的 2 2 ，从而三角形 ABE的面积是 5 5 2 313，35， 49那么图中4 1 2 12（平方米 ），梯形 ABCD的面积为： 12 1 2 2 28 （平方米 ） 33例 35 】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 阴影部分的面积是多少？解析】 三角形 ABC 的面

45、积 三角形 CDE的面积 （13 35 49） 长方形面积 阴影部分面积；又因为三角1形 ABC 的面积 三角形 CDE 的面积 1 长方形面积，所以可得：2阴影部分面积 13 35 49 97 例 36 】 图中是一个各条边分别为 5 厘米、 上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分12厘米、 13 厘米的直角三角形将它的短直角边对折到斜边（ 即未被盖住的部分 ） 的面积是多少平方厘米？解析】 如 下图，为了方便说明，将某些点标上字母有 ABC 为直角，而 CED ABC ，所以 CED 也为直角 . 而 CE CB 5 . ADE 与 CED 同高， 所以面积比为底的比， 及 S ADE =

46、AE =13-5=8，设 ADE 的面积为“8”，则 CED的面积为“ 5” CED S CED EC 5 5是由 CDB折叠而成，所以有 CED、 CDB面积相等， ABC 是由 ADE、 CED、 CDB组成， 所以 S ABC=“8”+“5”+“5”=“18”对应为 1 5 12 30，所以“ 1”份对应为 5 ，那么 ADE的 23面积为 8 5 =131 平方厘米即阴影部分的面积为33131 平方厘米3EC 2DE ， F 是 DG 的中点阴影部分的面积是DBF 、 BFG的面积相等，设为 x平方厘米 ; FGC、 DFC 的面积相等，设 为 y 平方厘米，那么 DEF 的面积为 1

47、 y 平方厘米3解析】 如下图，连接 FC ，DECGSBCD2x 2 y ，1S BDE=x+1 1 1 1y=l 1 1 所以有3 式左边多 2x ，式右边比式右边大2 55y y 0.25 平方厘米3 312x y 0.5 x3x yy 0.15 比较、式，式左边比11330. 5，有 2x 0.5，即 x 0.25, y 0.25 而阴影部分面积为例 38 】 (2007 年六年级希望杯二试试题伯常走这两条小路，他知道)如图，三角形田地中有两条小路 AE和 CF ，交叉处为 D ，张大 DF DC,且 AD 2DE 则两块地 ACF和CFB的面积比是 由 DF DC 得 SBDC S

48、BDF ，解析】 方法一：连接 BD 设 CED 的面积为 1， BED 的面积 x ，则根据题上说给出的条件，即 BDF 的面积为 x 1、 S ADC S ADF ;又有 AD 2DE ， SADC SADF 2SCDE 2、 SABD 2SBDE 2x ， 得 x 3，所以 SACF : SCFB (2 2):(1 3 4) 1:2 而 S ABD x 1 2 2x ；方法二：连接 BD ，设 SCED1(份)，则 SACDSADF2, 设 SBEDx1yx SBFD y 则有 2x y 2x3解得 ，所以 SACF : SCFB (2 2):(4 3 1) 1: 2 y4方法三：过 F

49、 点作 FG BC交AE于G点，由相似得 CD:DF ED:DG 1:1,又因为 AD 2DE ， 所以 AG:GE AF:FB 1: 2，所以两块田地 ACF和 CFB的面积比 AF:FB 1:2例 39】 ( 2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图， BC 45， AC 21， ABC被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI FK 例 37】 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米，B2 解析】由题意可知， BD:BC SBAD:SABC 2:9 ，所以 BD BC 10， CD BC BD 35；又92D I: D C DSI F: SD F C 2 : 5

50、， 所 以 DI 2DC 14 ， 同 样 分 析 可 得 FK 10 ， 所 以 DI FK 14 10 24 巩固】MON 的两边上分别有DEF 的面积都等于 1，A、C、E及B、D 则 DCF 的面积等于F 六个点，2009 年清华附中入学测试题）如图，在角 并且 OAB、 ABC、 BCD、 CDE 、MA解析】 根 据题意可知，1113DF OD ， 4S DCF4S OCD344OD: DF S OED :S DEF 4:1 ，所以DQ 、CP 、例 40 】E、AE 5 ，M 分别为直角梯形 ABCD 两边上的点，且 EB 3 求阴影部分的面积ME 彼此平行，若 AD 5，BC

51、7 ，解析】 连 接 CE 、 DE 由于 DQ 、 CP 、 ME彼此平行，所以四边形 CDQP 是梯形，且 ME与该梯形的两个底平行，那么三 角形 QME 与 DEM 、三角形 PME与CEM 的面积分别相等， 所以三角形 PQM 的面积与三角形 CDE 的面积相等而三角形 CDE 的面积根据已知条件很容易求出来由于 ABCD为直角梯形，且 AD 5，BC 7， AE 5，EB 3，所以三角形 CDE的面积的面积为： 1115 7 5 3 5 5 3 725 所以三角形 PQM的面积为 25例 41】 （2007 年人大附中分班考试题 的中点，已知甲、乙、丙面积和为）已知 ABC为等边三角

52、形，面积为400，D、E、F 分别为三边143，求阴影五边形的面积 （丙是三角形 HBC）A解析】 因为D、E、F 分别为三边的中点，所以 DE 、 DF 、 EF是三角形 ABC的中位线，也就与对应的 边平行，根据面积比例模型， 三角形 ABN 和三角形 AMC的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200 根据图形的容斥关系，有 SABC S丙 SABN SAMC SAMHN ，即 400 S丙 200 200 SAMHN ，所以 S丙 SAMHN 又 S阴影S ADFS甲S乙SAMHN ，所以S阴影 S甲 S乙 S丙 S ADF 143 1 400 43例 42】 (2009 年四中入

53、学测试题 )如图，已知 CD 5， DE 7 ，EF 15， FG 6，线段 AB将图形分成两部分，左边部分面积是 38 ，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是 巩固】 (第四届希望杯 )如图，点 D 、E、 FG 4 厘米， AB 将整个图形分成上下两部分， 方厘米，则三角形 ADG 的面积是多少平方厘米？F 在线段 CG 上，已知 CD 2 厘米，DE 8 厘米， EF 20厘米， 下边部分面积是 67平方厘米， 上边部分面积是 166平解析】 连接 AF ， BD 根据题意可知， CF 5 7 15 27； DG 7 15 6 28；所以，1512217S BEF S CBF ， S BEC S CBF ，