嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略1

1、嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要：本文主要了嫦娥三号软着陆轨道设计与在软着陆过程中的控制策略。针对问题一，本文先判断远月点和近月点所在平面，应该绕月平面应该与南北极轴通过开普勒定律和能量守恒定律近月点的速度为 和远月点的速度为 ，然后建立空间极坐标系求出近月点和远月点的位置。针对问题二，将附件中的六个阶段重新划分为四个阶段，建立总燃料消耗量目标规划函数，在粗避障和精避障阶段将避障区域用附件中的高程图做分割矩阵，找出区域内所有点与中心点海拔的均方差作为地势判断依据之一，方差最小的区域即为最平整的区域，再根据变异算法确定最优着陆地点，最终确定着陆轨道。针对问题三，误差主要分为模型误差和计算误差

2、。本文认为造成模型误差的有三点：月球的重力g,月球的近月点速度V以及嫦娥三号在着陆过程中燃烧的燃料的变化。造成计算误差的原因有：在计算过程中把变力当做恒力计算造成的误差，计算时四舍五入造成的误差。问题重述：问题一：根据附件1，确定出嫦娥三号的准备着陆轨道，以此判断出近月点和远月点位置，再求出嫦娥三号的速度及其方向。问题二：根据附件2，再结合附件1，确定出着陆轨道，分析在什么情况下是最优控制策略可以从燃料消耗最少和等方面分析嫦娥三号在6个阶段的最优控制策略。问题三：对于问题二所设计的着陆轨道和控制策略分析做相应的误差分析和敏感性分析。模型假设：1、 下落轨道和运行轨道在同一平面上；2、 粗避障和

3、精避障目标点固定；3、 忽略其他引力；4、 F推为恒力；问题一分析（1） 嫦娥三号的运行轨道为椭圆，月球球心是椭圆的焦点之一，设椭圆长半轴为a，短半轴为b，焦距为2c,月球半径为R，则a应该满足的条件为：2a=15+100+2R；（2） 由题意可知，嫦娥三号从远月点到近月点的过程中，轨道由圆形轨道最后一次成功变轨为椭圆形轨道，在此过程中，无推力作用。运用开普勒三大定律、能量守恒和万有引力定律，计算出近月点及远月点的速度；（3） 我们以月球球心作为原点，仿造地球经纬度建立坐标系，球心与零度经线和零度纬线的连线为XOY坐标轴的坐标系，并以月球的自转轴为Z轴建立空间直角坐标系，根据着陆点的经纬度以及

4、月球半径求出近月点的经纬度，最后根据近月点与远月点的位置关系，可得出远月点的具体位置。 （图1）(图2）J为近月点，Y为远月点，P为着陆点O为月球球心已知条件：（1） 、嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t；（2） 、嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m；（3） 、着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；（4） 、月球平均半径、赤道平均半径和极区半径分别为1737.013km、1737.646km和1735.843km；（5） 、月球的形状扁率为1/963.7256，月球质量是7.34771022kg；（6） 、月球与地球距离远地点：

5、406610km，近地点：356330km，平均距离为384400km；（7） 、地球质量是5.981024kg;问题一的模型建立：一，求解速度模型 嫦娥三号在近月点时的速度 嫦娥三号在远月点时的速度 近月点与月球表面的距离 远月点与月球表面的距离R 月球半径M 月球质量m 嫦娥三号质量G 万有引力常数Y 远月点到月心的距离J 近月点到月心的距离由图一可知， 由、可得：由于速度方向为轨迹的切线方向相同，可以得出和的方向都与椭圆的长轴相垂直。 将Y、J两点分别细分为n个极短的时间间隔相同的,嫦娥三号与月球连线在相同的时间内扫过的面积为： 由开普勒第二定律可知:则=化简可得 由嫦娥三号运动的受力分

6、析可知：嫦娥三号运动的总机械能等于其动能与月球引力势能之和，而嫦娥三号在运动过程中只受到月球万有引力作用，遵循机械能守恒定律，故当嫦娥三号经过近月点与远月点时两点机械能相等，则 将带入中，根据椭圆的性质解得： 将、带入各式最终解得： 二，求解坐标模型近月点与远月点投影到月球上有其唯一对应的经纬度，且根据地球经纬度的关系可推断得出：近月点与远月点在月球上相对应，求出近月点的具体位置可推出远月点的经纬度。由于假设近月点，远月点和嫦娥三号月球着陆点在同一个平面内，且近月点的位置与远月点的位置和球心在同一条直线上，也就是说近月点和远月点之间相差，而近月点与嫦娥三号月球着陆点的经度相同。根据空间直角坐标

7、系和极坐标的关系，可将极坐标转化为空间直角坐标，设为月球维度，为月球经度，为嫦娥三号距着陆点的距离，则: 空间直角坐标中近月点着陆点两点间的距离公式：已知嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，经查资料数据可得，月球上每千米对应的纬度数是0.04927度，嫦娥三号从15000m-3000m飞行了430km.由于此时水平速度很大，可以将这段抛物线看成水平路径,经过粗避障和精避障共移动45.5km，则+45.5=475.5km。令，全带入式中，可得着陆点空间直角坐标： 最终解得嫦娥三号从近月点到月球着陆点所经过的纬度为：（度）近月点纬度=着陆点纬度+嫦娥三号所经过纬度

8、则近月点的纬度为67.547885N 保留两位小数为67.55N远月点经度+近月点经度= 远月点纬度+近月点纬度=故远月点的经度为160.49，纬度为22.45。由于近月点与远月点在同一平面内则经度为西经W，两点相对则远月点纬度为南纬S。即：近月点19.51W,67.55N 远月点160.49W,22.45S故：嫦娥三号分别在近月点与远月点的速度为： ；嫦娥三号在近月点的速度和远月点的速度的方向都与椭圆的长轴相垂直，且方向相反；近月点19.51W,67.55N 远月点160.49W,22.45S。问题二分析 由于月球表面没有大气，着陆器的速度必须完全由制动发动机抵消才能实现安全软着陆，所以减少

9、燃料消耗是关键所在，附件2中，分为6个阶段依次为主减速、快速调整、粗避障、精避障、缓慢下降、自由下降。 我们根据题意，将6个阶段重新划分为4个阶段，依次为第一阶段（主减速和快速调整）、第二阶段（粗避障）、第三阶段(精避障)、第四阶段（缓慢下降和自由下降）。 在第一阶段，利用最优控制减少燃料消耗推导。 在第二阶段，粗避障阶段，嫦娥三号悬停在月球表面约2400米上方，对星下月表进行二维和三维成像，利用变异算法的思想，从三维图像高程图中得知该点的海拔高度，再分别扫描这些点附近的地貌，我们用分割矩阵，找出区域内所有点与中心点海拔的均方差作为地势判断依据之一，将此时地势最平坦的地方作为全局最优降落区域。

10、 在第三阶段，精避障阶段，嫦娥三号悬停在月球表面约100米上方，由于在第二阶段已选定了平坦区域，也是用第二阶段采取变异算法的思想，对采取数据进行高分辨率三维成像，对选取的区域进行更进一步的判断，选取地势更为平坦（即矩阵方差最小）的区域作为最优降落地点。 在第四阶段，卫星先是水平速度为0米/s，推力方向向下，进行缓慢降落，然后在离地面4m时，卫星将暂时处于悬停状态，关闭推进器，卫星呈自由落体降落，确保软着陆成功。问题二的模型建立与求解一、对于第一阶段（主减速和快速调整），此时，反推发动机就要点火工作，着陆器的大部分燃料消耗在这个阶段。利用总燃料消耗量函数值最少，达到第一阶段最优控制策略。首先嫦娥

11、三号在第一阶段的受力情况如下图，假设受力与竖直方向的夹角为：图3主减速阶段受力分析图 图4 没有质量变化时的受力分析利用动量守恒定律可得：0TF推sindt=m1v水1-m2v水2 (2)0T(F推cos-(m1-0tF推2940dt)g)dt=m2v竖1 (3)嫦娥三号在此过程中有燃料的消耗，故分为两种情况，一种为有质量变化，另一种为没有质量变化。由于主减速阶段燃料消耗很大，故作为有质量变化；而快速调整阶段速度很小，质量变化很小，故作为质量不变。1.则有质量变化（主减速阶段），推力大小 F推=mvem=F推2940 m2=m1-0TF推2940dt此阶段的燃料的消耗量为m1-m22.没有质量

12、变化（快速调整阶段）：由于 v水2值较小，可以通过姿态调整发动机进行微调,假设此阶段质量的变化较小，则可以假设质量基本保持不变。通过受力分析，可得到以下分析式：F推-m2g=m2at2=v竖2/a最后得到燃料消耗为 m3=F推t2/ve=m2(g+a)v竖2/(ave)=m2v竖2(1+g/a)/ve (4)3计算第一阶段最少的燃料消耗。可以得出总燃料消耗量目标规划函数：M=m1-m2+m3 =(m1-0TF推2940dt)v竖2(1+g/a)/ve+0TF推2940dt (5)二、对于第二阶段（粗避障阶段），利用附件3，将2.4km时高程图用matlab软件分析得到矩阵数据避开障碍物。根据高

13、程图先读取出海拔高度，将此区域图片看做23002300的矩阵，进一步分割为2323个100100的矩阵。根据组成地面高度的矩阵，求解计算每一个矩阵的方差。方差的大小代表地面的平坦程度，方差最小的区域即为最平整的区域。故利用附录变异算法求出最优着陆区域为（2183,899）。 三、对于第三阶段（精避障阶段），利用附件4高程图用matlab软件分析得到矩阵数据避开障碍物。同理，将高程图剖分为5m*5m的方格，根据海拔数据资料，计算以方格为单位的每块区域的方差，方差最小的区域即为最平整的区域，即探 测器最佳位置为（544,280）四、对于第四阶段（缓慢下降和自由下降），主要是消除水平速度，保证着陆器

14、姿态垂直月面，平稳缓速下降，控制着陆月面的速度和姿态满足要求自由下降到月面。五、轨道的确定通过之前对轨道六个阶段的分析，上文对着陆轨道的六个阶段进行分析，主减速阶段嫦娥卫星的速度vx和质量v1变化最大，对轨道的计算也最为重要。对于缓速下降和自由落体阶段，由于发动机已经关闭，则对于最优控制和轨道设计不必过多分析。 最终确定着陆轨道。问题三：误差分析与敏感度分析一，误差分析误差主要分为模型误差和计算误差。我们认为误差来自于月球自转影响、发动机推力是否恒定、地球引力影响、数值求解过程中的约去项等。在问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向中，运用了能量守恒定律，

15、为了便于计算，把月球的重力g假设为恒力，造成了模型上的误差。计算速度大小时四舍五入，造成了计算误差。在问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略中，嫦娥三号在距离月球面3000米到2400米之间，嫦娥三号进行了快速的姿态调整，姿态调整期间所用的时间不计，所用燃烧的燃料不计，在嫦娥三号到达月球表面时为避障所产生的燃料误差不计，这造成了模型误差。由分析可知，嫦娥三号的燃料消耗与质量有关系：比冲量的值越大，嫦娥三号的质量变化越大，燃料消耗越大。二，敏感度分析在精确避障阶段的避障原则下，嫦娥三号在降落时占地面积大小对轨道降落的敏感度有影响。通过实验可知，占地面积影响嫦娥三号的顺利着陆，占

16、地面积越小，可顺利着陆的概率越大。参考文献：1 .开普勒定律,2015.04.202 赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，第4版，2014.3 叶培建,彭兢.深空探测与我国深空探测展望.中国工程科学，2006.4 徐全智，杨晋浩.数学建模入门.成都：电子科技大学出版社，1996.附录：function SM01(N)Z=imread(FJ3.tif);%读取图片（FJ3.tif）中的海拔高度 Z=double(Z);%把所读取的海拔高度转化为实数，即把Z中的数值变为实数M L=size(Z);%把Z矩阵的行和列读出来for i=1:M-N for j=1:L-N A=Z(i:i+N-1,j:j+N-1); mu=sum(sum(A)/N/N;%计算均值 S(i,j)=sum(sum(abs(A-mu);%定义月面平整度函数 endendm,n=find(S=min(min(S);% 搜寻S矩阵中最小值m+N/2,n+N/2 SM01(80)ans = 2183 889function SM02(N)Z=imread(FJ4.tif);%读取图片（FJ4.tif）中的海拔高度 Z=dou