线性代数之行列式的性质及计算

1、第二节行列式的性质与计算§ 2.1行列式的性质a11a12La1n考虑 Da21a22La2 n 将它的行依次变为相应的列，得LLLLan1an2Lanna11a21Lan1DTa12a22Lan 2LLLLa1na2nLann称 DT 为 D 的转置行列式 .性质 1行列式与它的转置行列式相等.（DTD ）b11b12Lb1n事实上，若记DTb21b22Lb2n则 bija ji (i, j1,2,L , n)LLLLLLLbn1bn 2LbnnDT( 1)( p p L p )b1pb2 p L bnp( 1)( p pL p )ap 1ap2 L a p n D .1 2n1n

2、1 2n212n说明 : 行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论 ,对列也同样成立 .性质 2互换行列式的两行 ( rirj ) 或两列 ( cicj ) ，行列式变号 .123123例如086351 .351086推论若行列式 D 有两行（列）完全相同，则 D0 .证明 :互换相同的两行 ,则有 DD ,所以D 0.性质 3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数 k 乘以此行列式，即a11a12La1na11a12La1nLLLLLLLLkai1kai 2Lkaink ai1ai 2LainLLLLLLLLan1an2Lannan1an 2Lann推论

3、： (1)D 中某一行 ( 列) 所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行 ( 列) 所有元素为零，则 D 0 ；性质 4:行列式中如果有两行 ( 列) 元素对应成比例 ,则此行列式等于零性质 5:若行列式某一行 ( 列) 的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和 . 这两个行列式的这一行 ( 列 ) 的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行 ( 列 ) 的元素与原行列式相同 . 即a11a12La1na11a12La1na11a12La1nLLLLLL L LLL L La i1 bi1ai 2 bi 2Lainbina i1ai 2Lainbi1bi 2L

4、bin .LLLLLL L LLLL Lan1an2Lannan1an 2Lannan1an2Lann证 :由行列式定义D ( 1) ( 1)( p1 p2L pn ) a1 pa2 pL ( aipibipi) L anp12n( p1 p 2L pn ) a1 pa2 p2L aipLanp( 1)( p1 p2L pn ) a1p a2 pLbipLanp .1in12in性质 6行列式 D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元rikr j素上，行列式的值不变 ( DD)，即a11a12La1na11a12La1nLLL L ri kr jLLLLa i1ai

5、2Laina i1 ka j1ai 2 kaj 2Lainka jnLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lann计算行列式常用方法 :利用性质 2,3,6,特别是性质 6 把行列式化为上 ( 下) 三角形行列式 ,从而 ,较容易的计算行列式的值例 1:计算行列式2324311112321311(1) D234(2)13131042511131232r1r22324r2 2r1解: (1) D3234r3 3r104251232018808620425r 3 8 r2r44r11232r30r01884358005862003037123201881 ( 1) 58 143 286

6、.00586214329000294666611111111r1ri1 11311ri r10200i 21 3(2) D11316131 i6026(1222) 48.12,3,400111311130002此方法称为 归边法 .例 2:计算 n 阶行列式1 a11L1(1)Dn11a2L1LLL(2) DnL11L1 an(ai0,iL, n)1,2,解: (1)xaLaaxLaLLLLaaLx1a1rir1a1Dna1i2,3,L nMa11c1ai ci11L111La20L00a2L0a3L0LLLMMMM00L00Lan1n11L1aii 2111L101a2L0La1 LLL(

7、箭形行列式 )Lan10Lana2 a3 L an a10a2L0i 2,3,L ,nLLLL00Lana2a3 L an a1a2 Lan (1n 1 ) a1a2 L an (1n 1 )i2 aii 1 ai(2) 注意到行列式各行元素之和等于 x (n 1)a , 有x (n 1)a a La1a L ac1 cix (n 1)a x La1xLaDnLLLL x (n 1)aLLLi 2,3,L ,nLx (n 1)a aLx1aLx1aLari r10xa L0i 2,3,L ,n x ( n 1)a LLLL x (n 1)a( x a) n 1 .00Lxaa11La1kMM0

8、a11La1kb11Lb1nak1Lakk例 3:,D1MM,D2MM ,设 DLc1kb11Lb1nc11ak1Lakkbn1LbnnMMMMcn1Lcnkbn1Lbnn证明 : D D1D2.证 : 对 D1 作行运算 rikr j ,把 D1 化为下三角形行列式 :p110D1MOp11L pkk ;pk1Lpkk对 D 2 作列运算 cikc j ,把 D2 化为下三角形行列式 :q110D 2MOq11 Lqnn.qn1Lpnk先对 D 的前 k k行作行运算 rikr j , 然后对 D 的后 n 列作列运算 cikc j ,把 D化为下三角形行列式 :p11MO0pk1Lpkk,

9、DLc1kq11c11MMMOcn1Lcnkqn1Lqnn故 ,Dp11 L pkk q11 L qnnD1 D2. .思考练习1. 计算行列式25 12a1 1 a12 L a1n(1)D3 714(2) Dna2 1 a22La2n(n2)5927MMMM46 1 2an 1 an2Lannabbccaabc2. 证明 a1b1b1c1c1a12 a1b1c1a2b2b2c2c2a2a2b2c23. 证明abacaea2(a1)2(a2)2(a3)2b2(b1)2(b2)2(b3)2(1) bdcdde4abcdef(2)0c2( c2(c2)2(c3)2bfcfef1)d 2( d 1)

10、2( d 2)2(d 3)2abcd4. 计算行列式 Daababcabc da2ab3a2bc4a3b2cda3ab6a3bc10a6b3cd答案152215221522c1c31 734 r2 r1 ,r3 2r10 216 r2 r3 0 1 131.(1)D 429 5 7r4 r10 11 30 21616420120012015221522r3 2 r2 0113 r4 r3 011 311(3)39r4 r2 00300 03 000330003a111Ln1(2) Dnci c1a21 1 L n 1a1a2 , n 2i 2,3,L , nMM MM0,n2an11Ln1a

11、bb cc ac2 c1a bc ac a2. 左边 = a1b1b1c1c1a1a1b1c1a1c1a1a2b2b2c2c2a2a2b2c2a2c2a2abca2cabcacc3 c2a1b1c1a12c12 a1b1c1a1c1a2b2c2a22c2a2b2c2a2c2abacbacabcc2 c3c1 c2c1 c2c1 .2 a1b1a1c12 b1a1c12 a1b1a2b2a2c2b2a2c2a2b2c23.证111111111(1) 左边 abcdef 1r2r1r2 r311abcdef 002abcdef 0204abcdef .11r3r12000210a22a14a46a

12、9ci c1b22b14b46b9(2) 左边c22c14c46c9i 2,3,4d 22d14d46d9a22a126c32c2b22b126右边c22c120c43c26d22d1264. 解: 从第 4 行开始，后行减前行得，a bcdr4r3a bcdabcd0a a bab c0a a b a b c r4r3 0a a b a b cDa 2a b 3a2bc00a2ab00a2a b0r3r20a 3a b 6a3bc00a3ab000aa4§ 2.2行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：a11a12a13a22a23a21a23a21a23a21a22a23a

13、11 a32a33a12 a31a33a13 a31a33a31a32a33可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题： 一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个n1 阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式a11a12La1n定义：在 n 阶行列式 Da21a22La2n中，划去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列，余下LLLLan1an2Lann的元素按原来的顺序构成的n1 阶行列式，称为元素 aij 的余子式 ，记作 M ij ；而A( 1)i j Mij称为元素 aij 的代数余子式 .ija11a12a13a11a12例如三阶行列式a21a22a23中元素 aij 的余

14、子式为 M 23a31a32a31a32a32元素 a23 的代数余子式为 A23( 1)2 3M23M231011111025151 5四阶行列式x2中元素 x 的代数余子式为 A32 ( 1)3 2 0130010301二、行列式按行（列）展开a11a12La1n定理a21a22La2n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的n 阶行列式 DLLLLan1an2Lann代数余子式的乘积之和，即Dai1 Ai1ai 2 Ai 2L ain Ain(i1,2,L,n)或 Da1 j A1 ja2 j A2 jL anj Anj( j1,2,L, n)证（1）元素 a11 位于第一行、第一列，而

15、该行其余元素均为零;a110L0此时 Da21a22L a2n( 1) ( j1 j2 L jn ) a1 ja2 jL anjn( 1)( j1 j2L j n ) a1 ja2 j2L anjnLLLLj1112j1 11an1an2Lanna11( 1) ( j2 L jn ) a2 j2 Lanjna11M 11( j2 j3L jn )而 A11( 1)1 1M11M 11 , 故 Da11 A11 ;a11La1 jLa1nMMMMM（2） D0LaijL0MMMMMan1LanjLann将 D 中第 i 行依次与前 i1行对调，调换 i1次后位于第一行 ;将 D 中第 j 列依次

16、与前 j1列对调，调换 j1次后位于第一列 ;经(i1) ( j1) i j 2次对调后， a 就位于第 一行、第一列，即ijD( 1)i j 2aij M ij( 1)i j aij M ij aij Aij .(3)一般地a11a12La1nLLLLD a i1 0 L0 0 ai 2L0 L0 L0 ainLLLLan1an2Lanna11a12La1 na11a12La1na11a12La1nL LL LLL L LLLLLai 10L00ai 2L0 L00LainL LL LLL L LLL LLan1an2L annan1an 2L annan1an 2L annai1 Ai 1

17、ai 2 Ai 2L ain Ain同理有Da1 j A1 ja2 j A2 jLanj Anj .a11a12La1n推论 n 阶行列式 Da21a22La2n 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对LLLLan1an2Lann应的代数余子式的乘积之和为零，即ai1 As1ai 2 As2L ain Asn0 (i s)或a1 j A1ta2 j A2tL anj Ant0 ( j t)证考虑辅助行列式a11L a1 jL a1 jL a1nD1a21La2 jLa2 jLa2 nMMMMMMMan1LanjLanjLa2 ni 列j列按第 t列展. 而aAa2 jAL a A （ jt

18、). 该行列式中有两列对应元素相等D10，所以1 j 1t2 tnjnta1 j A1ta2 j A2tL anj Ant（ j t) 0 .关于代数余子式的重要性质nD ijD , ij ,nD , ij , 其中 ij1, i，aki Akjaik AjkD ijjk 10 , ij ;k 10 , ij ;0 , ij.在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成 n 个（ n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并

19、结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含 1 个非零元素，再按此行（列）展开 , 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式. 计算行列式常用方法： 化零，展开 .1234例 4:1012计算四阶行列式 D11.301205c3 c1解 : Dc42c112222221000按第 2行展211463146112171217111r1 2121146r2(1)217例 5 已知 4阶行列式30402222,求M41M 42M 43 M 44的值 . 其中 M ij 为 aij 的余子式 .D70005322解:(方法1)直接计算A4

20、i的值然后相加（略）.(i 1,2,3, 4),( 方法 2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.M 41M 42M 43M 441A14A24A34A441 A411 A42 ( 1) A43 1 A44304034034022223422214 11107072828 .0111002111111例 6:计算 n 阶行列式xy 0L 00010L00xyL00002L0(1) Dn MMMMMM (2) DnMMMMM000Lxy000Ln 1y 00L0xn 00L0按第 1列展解： (1) D na11 A11a21A21L an1 An1x y 0L0 0y 0 0L0 00 x

21、yL0 0x y 0L0 0x( 1)1 1 M M M M M My( 1)n 1 M M M M M M0 0 0Lx y0 0 0Ly 00 0 0L0 x0 0 0Lx yxn(1)n 1 yn .按第1列展(2) Dna11 A11a21 A21Lan1 An110L0002L00( 1)n 1 n M M M MM( 1)n 1 n! .00Ln 2000L0n1ab00ab例 7:计算四阶行列式 D40abab00abab.0ab00ab解 :按第 1 行展开，有abab00ababD 4 (a b)( 1)1 1 abab0(a b)( 1)1 40abab ,00a bab00对等式右端的两个3 阶行列式都按第 3 行展开，得D ( a b) 2 ( a b)2 abab24 a2b2 .abab例 8: 证明范得蒙行列式（ Vandermonde)11L1Dnx1x2Lxn( xi x j )(n 2) ,LLLL1 j i nx1n 1x2n 1L xnn 1其中(xi xj ) 表示所有可能的(xix j （ ji的乘积 .)1j i n证 :(用数学归纳法 )n2时, D211x1x2