导数中含参数单调性及取值范围

1、一含参数函数求单调性(求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1) 确定函数定义域 ;(2) 求导数 ;(3) 令导数大于 0,解得增区间 , 令导数小于 0, 解得减区 间. )2ax a 2 1例1(2012西 2)已知函数 f(x) 2ax2a 1，其中 a Rx2 1)当 a 1时，求曲线 y f(x) 在原点处的切线方程；)求 f (x) 的单调区 间)解：当 a1时， f (x)2xx2 1f (x)(x 1)(x 1)22(x2 1)22分由 f (0)()解： f (x)2(x a)(ax 1) 4 分x2 1 当 a 0 时，f (x)2xx2 1所以 f (x)在(0, )

2、单调递增，在 ( ,0) 单调递减当a 0 ， f(x)(x2aa)(x 1) a x2 1得曲线 yf (x)在原点处的切线方程是2xy03分 当 a 0 时，令 f (x) 0 ，得 x15分x( , x1)x1(x1,x2)x2(x2, )f (x)00f (x)f (x1)f(x2 )a， x2， f(x) 与 f (x) 的情况如下： a故 f (x) 的单调减区间是 ( , a) ， ( , ) ；单调增区间是 ( a, ) 7 分 aax( , x2)x2(x2,x1)x1(x1, )f (x)00f(x)f (x2)f(x1 ) 当 a 0 时， f(x) 与 f (x) 的情

3、况如下：11的单调增区间是 ( , ) ；单调减区间是 ( , a)，( a, ) 9分所以 f (x)aa当a 0时，由()得， f(x)在(0, )单调递增，在( , ) 单调递减，所以 f(x) 在 (0, ) 上存在最大值 aa12f( ) a20 ax0 为 f (x) 的零点，易知 x01 a22a，且 x01从而 x x0时， f (x) 0； x x0 时， f (x) 0 a若 f (x) 在 0,) 上存在最小值，必有f (0)0 ，解得1 a 1所以 a0 时，若 f(x) 在 0,) 上存在最大值和最小值， a 的取值范围是(0,1 12 分当a0时，由()得， f(x

4、)在 (0, a) 单 调 递 减 ， 在 ( a,) 单 调 递 增 ， 所 以 f (x) 在 (0,) 上存 在 最 小 值f( a)1若 f (x) 在 0,) 上存在最大值，必有 f (0) 0 ，解得 a 1 ，或 a1所以 a 0 时，若 f(x) 在 0, ) 上存在最大值和最小值， a 的取值范围是 (, 1 综上， a 的取值范围是 ( , 1 U (0,1 14 分例2设函数 f ( x)= ax ( a+1)ln( x+1) ，其中 a-1，求 f ( x)的单调区间 .1),1)当 1a 0 时， f (x) 0, 函数 f(x) 在 ( 1, ) 上单调递减，2)当

5、 a'10时，由 f'(x) 0,解得 x 1. a解析】 由已知得函数 f (x) 的定义域为 ( 1)，且 f '(x) ax 1(ax1f '(x)、 f(x)随 x的变化情况如下表x( 1,1a) a1 a1( , ) af '(x)0+f (x)极小值Z从上表可知当1'x ( 1,1)时， f'(x)0,函数 f (x)在(11, ) 上单调递减 .aa当1 当 x ( ,) 时，f ' (x) 0, 函数 f (x) 在(1,) 上单调递增aa综上所述： 当1a0时，函数 f(x) 在( 1,) 上单调递减 . 当 a

6、0时，函数 f (x)在 (1,1)上单调递减，函数 f(x)在 (1,)上单调递1,a) a增.3 已知函数 f(x) x 2a 1,其中 a 0.I )若曲线 y f(x) 在 (1, f (1)处的切线与直线 y 1平行，求 a的值；II )求函数 f (x)在区间 1,2上的最小值 .3 3 3解： f (x) 2x2a 2(x a )2 2 ， x 0. xxI )由题意可得 f (1) 2(1 a ) 0 ，解得 a 1 ，此时 f (1) 4 ，在点 (1, f (1) 处的切线为 y4 ，与直线 y 1 平行故所求 a 值为 1.II )由 f (x) 0 可得 x a ， a

7、 0 ，当 0 a 1 时， f (x) 0 在 (1,2上恒成立 ， 所以y f (x) 在1,2 上递增，3所以 f(x) 在 1,2 上的最小值为 f (1) 2a 2 .当 1 a 2 时，x(1,a)a(a,2)f (x)0f (x)极小2由上表可得11y f (x) 在 1,2 上的最小值为 f (a) 3a 1 .当 a2时， f (x) 0 在1,2) 上恒成立，所以 yf(x) 在 1,2 上递减 .12所以133综上讨论， 可知：当 0 a 1时， y f (x) 在 1,2 上的最小值为 f (1) 2a 2 ；当1a 2 时， y f (x)在 1,2 上f(x) 在

8、1,2 上的最小值为 f (2)a3 5 .2的最小值为 f (a) 3a 1；当 a 2 时， y练习 1 已知函数 f(x) aln x12x1(a R 且 a 0) . (2012 海淀一模)2)求 f (x) 的单调区间；)是否存在实数 a ，使得对任意的 x1, ，都有 f (x) 0？若存在求a的取值范围；若不存在，请说明理由2(2012 顺义 2文)(.本小题共 14 分)2已知函数 f (x) (a 1)x2 2ln x, g(x) 2ax , 其中 a 1 ()求曲线 y f (x) 在(1,f (1)处的切线方程 ;()设函数 h(x) f (x) g(x)，求 h(x)

9、的单调区间 . 3( 2012 朝 1) 18. (本题满分 14 分)已知函数 f(x) ax2 1 ex, a R.()若函数 f (x)在 x 1时取得极值，求 a 的值； ()当 a 0时，求函数 f (x) 的单调区间 .二参数范围有单调性时分离常数法1 例(东 2)已知函数 f(x)x2 2x aex.2()若 a 1，求 f(x)在 x 1处的切线方程；)若 f (x)在 R上是增函数，求实数 a的取值范围1 2 x 3解：1)由a 1， f (x) x 2x e ， f(1) e， 1分22所以 f (x) x 2 ex. 3分又f (1) 1 e，3所以所求切线方程为 y (

10、 e) (1 e)(x 1)即2(1 e)x 2y 1 0. 5分21 2 x x()由已知 f (x) x2 2x aex ，得 f (x) x 2 aex .2因为函数 f (x) 在R 上是增函数，所以 f (x) 0 恒成立，即不等式x 2 aex 0 恒成立9分整理得 axe令 g(x)x 2 x 3 x , g (x) x ee11 分x,g （x）,g（x） 的变化情况如下表：x(,3)3(3, )g (x)0+3由 此 得 a g（3） = e ，即 a 的 取 值 范g(x)极小值围是 , e 3 . 13 分练习 1（ 2012 怀柔 2）设，函数（）若是函数的极值点，求实

11、数的值； （）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围解：（）因为是函数的极值点，所以，即，所以经检验，当时，是函数的极值点即 6 分（）由题设， ，又，所以，这等价于，不等式对恒成立令（），则， 10 分所以在区间上是减函数，所以的最小值为 12 分所以即实数的取值范围为 13 分22（2012石景山 1）已知函数 f（x） x2 2aln x（）若函数 f （x）的图象在 （2, f（2） 处的切线斜率为 1，求实数 a的值；（）求函数 f （x） 的单调区间；2（）若函数 g（x） f （x）在1,2 上是减函数，求实数 a的取值范围x分类讨论求参数1例 2（2012昌平 1）已知函数

12、. f （x） ln x ax（ a为实数）I ）当 a 0时， 求 f （x） 的最小值；II )若 f (x) 在2, )上是单调函数，求 a的取值范围解： () 由题意可知： x 0当a 0时 f (x)x1当0 x 1时， f (x) 0 .2 分当 x 1时，f (x) 0 .4 分1分故 f ( x) min f(1) 1.5 分1 1 ax2 x 1() 由 f (x) 2 a 2x x2x 2由题意可知 a 0时， f (x)x 1 ,在2,) 时， f (x) 0 符合要求.7 分2当 a 0时，令 g(x) ax2 x 1故此时 f (x) 在 2, ) 上只能是单调递减4

13、a211f (2)0即0 解得 a.9 分444a 2 11当a0时，f (x)在2, ) 上只能是单调递增f (2)0 即 0,得 a44故a0.11 分综上 a(, 10, ).13 分4根据性质求范围 )2(零点例(2012昌平2)已知函数 f(x) 4ln x ax2 6x b ( a ， b为常数)， 且 x 2为 f (x)的一个极值点() 求 a的值；() 求函数 f (x) 的单调区间；() 若函数 y f (x) 有 3个不同的零点，求实数 b 的取值范围解： () 函数 f ( x)的定义域为( 0，+)41分 f ( x) =2ax 62分()由() 知 f (x) 4l

14、n x x2 6x b2(x 2)(x 1)242x 2 6x 46分x) =2x 6x由 f ( x) > 0可得 x >2 或 x <1，由 f ( x) < 0可得 1< x <2 函数 f ( x )的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2 ，+ )，单调递减区间为 (1 , 2 )() 由()可知函数f (x)在(0，1) 单调递增，在(1 ， 2)单调递减，在(2 ，+)单调递增且当 x =1 或 x =2 时，f ( x) = 0 10 分 f (x) 的极大值为f (1) 4ln116bb511 分f ( x )的极小值为 f (2) 4ln

15、 2 412 b4ln 2 812 分f (1) b 5 0由题意可知f (2) 4ln2 8 b5b84ln214 分最值例(2012海 2)已知函数f (x)xa22x2 3a2a 0，a R ).)求函数 f ( x)的单调区间；)当a 1时，若对任意 x1,x23, ) ，有 f (x1)f (x2) m成立，求实数m的最小值 .解：f '(x)(x a)(x 3a)(x2 3a2 )2令f '(x)0，解得 xa或 x3a .2分x(,3a3a)( 3a,a) a(af '(x)00f(x)极小值极大值)当 a 0时， f '(x) ， f (x) 随

16、着 x的变化如下表)4分(a, ),a)当 a 0 时， f '(x) ， f (x) 随着 x 的变化如下表x( ,a)a(a, 3a)3a( 3a,f '(x)00f (x)极小值极大值函数 f (x) 的单调递增区间是 (a, 3a) ，函数 f(x) 的单调递减区间是( 3a, ) . 6 分)当 a 1时，由()得 f (x) 是 ( 3,1) 上的增函数，是 (1,) 上的减函数又当 x 1 时， f (x)x1x2 30.8分所以 f (x)在 3,) 上的最小值为 f ( 3)62)， f (x1)f (x2 )f (1) f ( 3) .3) ，使 f(x1

17、)f (x2 )2 m 恒成立的实数 m 的最小值为3，最大值为 f (1)1210 分所以 对任意 x1,x2 3,所以 对任意 x1,x2 3,13 分1 3 2 2x3 2ax2 3a2x a(a R).3)当 a 1 时，求曲线 yf(x)在点 3,f(3) 处的切线方程；)求函数 f (x) 的单调区间和极值；()若对于任意的 x (3a,a)，都有 f(x) a 1，求 a的取值范围 .1 3 2 极值例4(2012丰台 1)已知函数 f(x)x不等式 例 3(2012 房山 1)设函数 f(x) ax2 1 (a R)3()若曲线 y=f(x) 在(1 ， f (1) 处的切线与

18、直线 x+y+1=0平行，求 a 的值；()若 a>0，函数 y=f( x)在区间 (a，a 2-3) 上存在极值，求 a 的取值范围；)若 a>2，求证：函数 y=f(x) 在(0，2) 上恰有一个零点1单调性) 已知函数 f (x) x3 mx2 3m2x 1(m 0) .3m 的取值范围)若 m 1，求曲线 y f(x)在点(2, f (2)处的切线方程；要使 f (x) 在区间 (2m 1,m1) 上单调递增，应有 m 1 3m 或1解得 m 或 m 142m1 m ，11 分解：()当 m1 时，f (x)13 x2 x3x1，f (2)85461333f '(x

19、)x2 2x3，f'(2)4435 3 分所以所求切线方程为5y35(x2) 即15x3y250 5 分2() f '(x) x22mx3m2)若函数 f(x)在区间 (2m 1,m 1)上单调递增，求实数令 f '(x) 0，得 x3m或x m. 7分x( , 3m)3m( 3m,m)m(m, )f '(x)+00+f (x)单调增极大值单调减极小值单调增由于 m 0， f (x) ， f(x) 的变化情况如下表：所以函数 f (x) 的单调递增区间是 (3m) 和 (m,).9分13 分12分1 2m 1 ，所以 1 m 2 基本性质2012 朝 2)设函数 f (x) aln x2a2(a即实数 m 的取值范围 m 1）已知曲线 y f（x）在点（1,f（1）处的切线 l的斜率为 2 3a ，求实数 a的值；（）讨论函数 f （x）的单调性；（）在（）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有 f （x） 3 x单调区间 （2012 门头沟 2）已知函数在处有极值 （I ）求实数的值；（II ）求函数的单调区间 （2012 东 1）已知 x 1是函数 f （x） （ax 2）ex 的一个