第八章向量代数和空间解析几何

1、数学提高班之高等数学第五章多元微分学及应用、基本概念fy(Xo,yo)炉f (X), yoy) f(xo, yo)o1、偏导数：fx(xo,yo) lim f(X，yo) f(Xo，yo)或XXox Xofx(xo, yo)rf (Xolimx oX, yo)f (Xo, yo)Xfy(Xo, yo).f (Xo lim,y)f(xo, yo)或y yoyyo高阶偏导数:2z-2Xfxx(x,y)(二)y x2zfxy(x, y)2z2yfyy (x, y)(二)x yfyx(x, y)2. 二元函数f (x, y)在点(x°,y°)可微定义为:f(Xox,yo y) f(

2、Xo,yo) fx(Xo,y°) x fy(Xo,y°) ylim ox oy o3、方向导数：fI (xo,yo)fx(xo, yo)cosfy(xo,yo)cosf(x, y) f(x, y)x其中cos cos 是方向I的方向余弦4、梯度：gradf (x,y) f (x, y)i f (x, y) j x y5、驻点：若0，则(xo, yo)为f (x, y)的驻点 y 0ABfxy，CACB20,A0,函数在此点取极小值；ACB20,A0,函数在此点取极大值；ACB20,函数在此点不取极值;ACB20,不能确定。考研基本要求:1. 理解多元函数的概念，理解二元函数

3、的几何意义 .2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念4. 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5. 理解多元函数极值和条件极值的概念， 掌握多元函数极值存在的必要条件，了 解二元函数极值存在的充分条件， 会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求 条件极值题型11:求二元函数的定义域求二元函数的定义域基本同一元函数，先写出构成各部分的各简单函数的定义 域，再联立得不等式组即得所求定义域。【例1】求下列函数定义域（1）z 1 x y （ 2） z ln x y 1 z arcsin 仝.xy3题型2:求二元函数的表达式y

4、2【例2】（1）设3 X）%,求 f(x, y)(2)设 z , y f G. x 1)，当1时，z x，求函数f和z【思考题2】（1）设f （x y,xy)x2y y2，求 f (x, y)(2)设 f (x y, xy) x2 3xy5，求 f (x, y)(3)设 zx y f (x y)，当 y0时,求函数f和z【例3】讨论函数f x, y0,xy22 ,x yx2当 P x,yO 0,0时的二重极限.题型3 :求二元函数的极限说明：二元函数的极限是一元函数极限的推广,则和定理，均可推广到二元函数的极限【例4】求下列极限(1)lim 2x,y 0,1 %22 xylim 1,y a2y

5、£x yxy,2(6)lim(x,y) (0,0)x2x2y:【例5】证明:对于函数y20,y20,因此关于一元函数极限的运算法(2) limx,yf (x, y)00叫（严）沁|im拧,y）xy0,0 2 xy 4 x,-0,2 咛2x lim (x,y) (0,0) x4322 2x y2 2 2x y (x y)，但（）f（x,y）不存在【思考题3】讨论下列极限的存在性(1)I x y lim 42(x,y) (0,0) x4y2(2)lim (x2y2)e (x y)(x,y)(,)(3)2 2证明极限(xJ!m(0,0) x2；2(：y)2不存在题型4:讨论二元函数的连续性

6、寸xy 【例6】讨论函数f(x,y) 尹2 2y2Sin(xy) (x,y) (0,0)在(0,0)处的连续0 (x,y)(0,0)说明：利用定义lim f(x,y)f(x0,y0)1X x0yy。题型5:多元函数偏导的存在的判定或求解说明：利用偏导定义【例7】z 2222设 f(x,y)0xy )ln( x y(x,y) (0,0) 求 f(0,0)f(0,0)(x,y) (0,0)，【例8】求下列函数在指定点处的二阶偏导数:(1) Z2arctay，求 三 |(。,。)( 2)1 xyx【例9】(1997,数一)二元函数 f(x,y)z ln(1x2y),，求x y2 y 2 ,(x,y)

7、(0,0)x y0,(x,y)(0,0)在点(0,0)处2|(1,1)(A)连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)不连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在【例10】(1994数)二元函数f(x,y)在点(x°,y。)处两个偏导数fx(X0,y。), fy(x0,y。)存在时f(x, y)在该点连续的(A) 充分条件而非必要条件(B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件又非必要条件【例11】(2005数一)设函数v) = <p(r + r) + V- v) + fV一具屮函数°处仃阶导数.厚AJx-y冇阶导数，则必仃GV* 1 十c

8、tv"G 广【例12】设f (x, y)2 2(x y )sinp 2 x y0,(A)偏导数不存在(C)偏导数存在且连续(B)不可微(D)可微_ d2if c2n题型6 :讨论二元函数的可微性 说明：利用可微定义：f(x°x,yo y) f(x°,y。) fx(x°,y。)x fy(x°,y。)ylim x 022y o x y0，则在(0,0)处 f (x,y)0题型7:多元函数连续、可导与可微的关系【例13】(2002数一)(1) 考虑二元函数f(x.v)的下面4条性两1 f (x, v)在点(xQ, y0)处连续: f(x.y)在点(m

9、w)处的两个偏导数连续;/(.t. v)在点(.x(y. y0)处可微;八/ (h r)在点(a0 . ya)处的两个偏导数存在.若用“尸二0”表示叮由性质尸抵出则冇(A) nn(B)nn(C)n=(mnn【例14】(2001数一)(2) 设函数/(x.y)在点(00)附近冇定义，且/；(0.0) = 3,/ A0,0)= U则(A) (1-= dx + dv.1(0.0) *(B) I川而r = /(A,r)在点(0.0./(0.0)的丛向量为3丄1；二 f ( % vA(C) |川线. 5丿在点(G0J(0,0)的切问虽为1,0勻V -(J<D)曲线厂"' *在点(

10、0,0,/*(0,0)的切沏皐为1=0C【思考题 4】(1) (1)设 f(x,y) x2 (y 1)arcsinJ',求|(21 x xxy，求 fop(2) 设 z f (x, y)(3) 设(x)为任意一个x的可微函数,f(0,0)y2知一xF2fy x y，则 F(x,y)是(A)f(x,y)(x)(B)(C)f(x,y)(x)(y)(D)题型8:求函数的方向导数或梯度(y)为为任意一个y的可微函数，若已f(x,y) (y)f(x,y) (x) (y)【例15】 求函数z xe2y在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数【例16】(1996数一，二)函

11、数u ln(xy2 z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3, 2,2)点方向的方向导数为_【例17】求函数uxyz在 F0(1,1,1)处沿方向 l(cos ,cos,cos )上的方向导数,并求其梯度的大小【例18】(2005数一)设函数u(x,y,z)21x_2 212 18，单位向量n1 1,1,1.3贝 U 1(123)n【例19】(2001数一)(2)设厂二 4"十 丁 十二、则 div(gradr) 二(1严2*2)1 1【思考题5】(1)求函数z 1 (x2 y2)在点P0 ( - , _)处沿x2 y2 1的内法线V2 V2方向上的方向导数和梯度。1 1(2)求

12、函数u /在非原点F0(X0,y°,Z0)处梯度的大小和方向r /x2 y2 z2题型9:多元函数极值的判定或求解【例20】(2003数一)U.知巒数/(龙)在点(0刖的某个邻域内连续”limf (h F)- 可(A) 点(0Q不是f (x7 v)的极仇点.(B) 点(00是/(a r)的极大值点.(C) 点(00)址f(A. V)的极小们点.(F)朋据所给条件无法判断点(60)是否为的极们点【例21】(2006数一)(10)设yx龙)与°(龙,巧均为可微函数,且<p (.V, y) r 0.己知代，片)是刃瓠y)在约束条件侃紅"二0下的一个极值点，下列选项

13、正确的是【D (A)若人(ro ? o ) = °,贝吸(兀0丿0)=0(E) 若夭(5小)- g Wy (©£)"<C)若上H 0, w/cv0.儿)二 0<D)若£ (x&,yG)#039lfy (%,儿)H0二、基本运算1、求偏导运算(1) 导数定义求导:fx(x,y) limx,y) f(x,y)x 0xfy(x,y) lim f(x，y y) f(x，y)y 0y(2) 求-Z时，只须将z f (x,y)中的y固定(看作常数),仅对x求导；求一时，xy固定x，仅对y求导。(3) 多元复合函数求导： 复合函数的中间变

14、量均为一元函数的情形函数u (t)及V (t)都在点t可导 函数z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数z f (t)(t)在点t可导 且有dz z du z dvdtu dt v dt 复合函数的中间变量均为多元函数的情形如果函数u (X y) v (x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数z f (uv)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数z f (x y) (x y)在点(x y)的两个偏导数存在 且有鼻鼻鼻二 二二x u x v x y u y v y(4)隐函数求导：O1设方程F(x,y) o确定了函数y y(x)，则dyFxdxFy设方程F(x

15、, y,z)o确定了隐函数z z(x, y)， 则-z旦，旦xFzyFz方程组的情形：方程组F(x, y,u,v)G(x, y,u,v)可以确定一对二元函数u u(x y)v v(x y)从而偏导数x卫由方程组xFx FuFv0,x x 确定，偏导数Gx GuGv0.yx xFyFu-uFv vo,亠由方程组yy确定.ygyGuuGvo.yy2、求全微分运算算 -元函数dz f(xo,yo)dx f(xo,y°)dyf(x,y)在点(xo，yo)的全微分为3、求方向导数或梯度或相关问题考研基本要求:1.会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变 性.2.

16、掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.3. 会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.5. 掌握方向导数与梯度的计算方法.题型10:求简单多元显函数的偏导【例22】设z2zx y【思考题6】求下列函数的二阶偏导数2 2z z ,x x y(A)z4,22y 4x y(B) zxy(C) zxsin(x y)题型11:多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解 说明：求复合函数的偏导数时要注意两点(1)搞清函数的复合关系;(2)对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。dzdt提问：

17、设z f(t v)，V(t)，则竺=?dt【例24】sin x,求全导数dzdx【例25】U In V，u求二和二x y【例26】f (x, xy)，其中在=f ( u,v)可微，求 ，x说明:-是壬关于匚的抽象形式表出的函数,所耳与注不能表示为【例23】设zarctan(xy2)， x 3t,y 4t2，求全导数具体的解析式一般，我们可以运用下述简单记号：记宀二，T护2护金【例27】设-?具有二阶连续偏导数，求 二 F说明:X及山看作与y同样结构的二元复合函数，并任意正确运用求导的乘法法则.【例 28】设 f(t),t (xy, x2y2)，其中f,具有连续的二阶导数及偏导数,【例29】(1

18、998数一)设z1 f(xy) yf(x y)，求xx y【例30】(1993数二)设zx3f2z(xy,y), f具有二阶连续偏导数，求xx y【例31】(2000数一)设zf (xy,-) g丄，其中f具有二阶连续偏导数, y x有二阶连续导数，求【例32】(2001数一)设函数zf(x, y)在点(1,1)处可微,且 f(1,1)1,x|(1,1)2,|(1,1) 3,y-J(x) f (x, f (x,x).求 一 3(x)|x 1。dx【例33】(2006 数一)(18) (12分)设函数/(")在(0,+切内具有二阶导数,且 Z-/(v2+y2)式三亠雪亠(I)验证广(町

19、一丄如_0一甘f II)若/(!) = 0/(1) = 1求函数“对的表达式【思考题7】(1)设 z eax(u v),uasinx y,vcosx y，求丄和二x y(2)设 u(x2y2)，其中可导，求证y 0x(3)设"曲-护：尹)，求a/如(4)( 1995 数一、二)设 u f (x,y,z),(x2,ey,z)0, y sin x,其中 f,具有连续的一阶偏导数，且一0，求屯zdx(5) (2007数一)设 f (u,v)为二元可微函数，z f (xy, yx)，则一zxx(6) (1988，数一、二)设 u yf yxg -，其中f,g具有二阶连续偏导数, x2u2x2

20、 u y-(7)(1987 数二)设 zf (u, x, y), u2xey,其中f具有二阶连续偏导数，求一-x yx y(8)(9)f (, Y),求 du,y zf (2x y) g(x, xy)，其中f (t)二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导数，求2(10)( 1996数一、二)设变换u x 2y，可把方程6韦v x ayx2为一-0，求常数a。u v题型12|:与全微分有关的命题 说明：若 z f (x, y)在(Xo，yo)可微，则 dz f(Xo,y°)dx f(Xo,y°)dy【例34】(1991数一、二)求由方程 xyz , x2 y2 z2、2所确

21、定的函数z z(x, y)在点(1,0，-1 )处的全微分【例 35】已知(axy3 y2cosx)dx (1 by si nx 3x2y2)dy 为某一函数 f (x, y)的全微 分，则a,b的值分别是(A) -2 和 2( B) 2 和-2( C) -3 和 3( D) 3 和-3【思考题8】(1)求z In x2 y2的全微分(2)求下列方程确定函数的全微分CD f(x y, y z, z x) 0,求 dz C5 z f (xz, z y),求 dz1 x (3) 若 u ()z,则du(w)y题型13:多元隐函数的导数或偏导的求解或判定【例36】(1)若函数u sin(y 3z),

22、其中z是由方程z2y xz31确定的x,y的函数，则Uxd2s（2）设-/由方程：'1:''-确定，求门.【例37】设x+y+z 0，x2 y2 z2 1求史 dxdzdxux e usi nv u vu 【例38】设ye ucosv,求x , x.又函数y y（x）及z z（x）分别有【例39】设u f (x, y,z)有连续的一阶偏导数,F列两式确定exyxy2和exx zsin t0dt,求虫 tdx例 40】设xyvzuvu求一，一，-xxz说明：隐函数偏导数的计算完全归结为复合函数求偏导，计算前，首先要明确函 数关系；哪些是自变量，哪些是因变量。一般说来，有几

23、个方程就确定几个因变 量，其余的都是自变量。至于哪些是因变量或自变量，这可由题目本身的分析决 定）（答案：上亠丄亠上二）x 2uz 1 x 2uz 1 z 2uz 1【例41】（1999数一）m设（订二二二（V）绘由方程二二.gw）和f（w）二o所确定的函数.其中/和F分别4仃一阶连饗铲数和一阶连皱僧导数.求£1ax【例42】（2005数一）C10）设有二尤力觀0-二11V +尹二1,根摇隐换数存在圧理，心在点（0丄u的个邻域#在此邻域I勺i妄力J2只膛确定个H仃连绒備导数的隐甫数7（x,yX(C)町确K两个員有连续偏导数的隠甫数x=x（y.2l尸工（扎y）. 皿确定曲牛具看连续偏导

24、数的隐函数y=y仪可和2=2（x.y）. 町确定两个H有连缕偏导数的隐函数x=x（y,z）fll y=y（x.z）.【思考题9】（1）函数y y（x）由方程In . x2 y2arctan'所确定，则xd2ydx2(2)设 z z(x, y)是由方程 e xy 2z e0所确定的二元函数，求dz及(3)设函数zz(x, y)由方程 F (x , yy-)0所确定，证明:xz xy(4)设函数1；'(x a)2 (y b)2 (z c)2，证明：当r0时,22uu有r2xy(5)设 xr cos2 z cos , y r cos sin ,z rsin ，求一x(提示 题型14

25、:求函数的方向导数或梯度或相关问题【例43】(2002数一)八、及有一小山，取它的底面所在的平面为心坐标面#比底部所占的区域为D - V)|+ 口7耳小山的高底惭数为力(f)二 75 -y: i ”(1) 设放(帀为性域D上一点，问)在该点沿平血上什么方向的方向导数最大？ 卄记此方向导数的燉大值为g(.vo+.v0,试写出畫(耳)的农达式.(2) 现欲利用此小11开展華岩活动,为此需要在山脚寻找一上山度毘人的点作为華登的起点,也就是说.要化D的边界线找出伙呂(丫)达到最大侏的点*试确定辜發 起点的位西.【例44】曲面2x2 3y2 z2 6上点P(1,1,1)处指向外侧的法向量为n。求函数u也

26、 在点P处沿方向n的方向导数。z【思考题10】设在xoy平面上，各点的温度T与点的位置间的关系为T 4x2 9y2，点 F0(9,4)，求：(1) grad |p° ； (2)在点 P。处沿极角为 210o 的方向丨的温度变化率；(3)在什么方向上在点Po处的温度变化率取得：1°最大值；2°最小值；3°零，并求此最大、小值；题型15:已知一二元函数的梯度，求二元函数表达式【例45】(1998数一)四*确定常数几，便在右半平itn.V>o Jb的向比4(丫)二2期(J +疋丨J + j为某一元函数讥X)的梯度#并求三、应用提高：1、空间曲线的切线与法

27、平面：(1) 若空间曲线 的参数方程为x x(t), y y(t)， z z(t)则在曲线上点P( xo, yo, zo)的切线方程为：X Xoy y° Z z°x'(t0)y'(to)7(i7y法平面 方程为,x'(to)(x xo) y'(to)(y yo) z'(to)(z zo) 0。其中x(to) Xo,y(to) yo,z(to) Zo。(2) 若空间曲线的方程为y (X)，z (x)(提示：曲线方程可看作参数方程 x x y (x) z (x) 切向量为T (1(x)(x)3)若空间曲线的方程为F(x，y，z)0，G(x

28、, y,z) 0提示：两方程确定了两个隐函数y (x)，z (x)，曲线的参数方程为x x，y (x)，z (x)由方程组可解得dx点M(xo,yo,zo)处的切向量为F f F dzFx FydX Fzd dy dzGx GydX GzdXFzFxFxFyGzGxdz(X)GxGyFyFz，dxFyFzGyGzGyGzTi(1,(x)(Xo)(x)点M(xo,yo, Zo)处的切向量可取FyFzFzFxFxFyGyGz5oGzGxoGxGyT=Oo2、空间曲面的切平面与法线:(1)设曲面的方程为F(x, y,z)则在曲面上点M o(xo，yo，zo)处的切平面方程为Fx(Xo,yo, Zo)

29、(xXo)Fy(xo, yo,Zo)(yyo) Fz(xo, yo,Zo)(z Zo) o法线方程为x XoyozZoFx(Xo, yo,Zo)Fy(Xo,y°,Zo)Fz(Xo, y°,Zo)(2) 设曲面的方程为Zf(x,y)，则在 上的点Mo(Xo，y°，Zo)处的切平面方程为fx(x, y)(xXo)fy(x, y)(y yo) (z z°) oXo法线方程为fx(xo, yo)yofy(xo, yo)ZZo13、多元函数极值(1)可微函数的无条件极值AC B2 o,A o,函数在此点取极小值;(2)多元函数的最值：步骤O 1在D的内部求出函数z

30、 f(x, y)的驻点 及 偏导 数不存在的点O求出函数z f (x, y)在D的边界上的最大值点和最小值点。O比 较函数z f (x, y)在我们得到的点上的函数值，就可得到z f (x, y)在有界闭域 D上的最值。4、实际问题中的最值问题：需借助函数最值得计算方法，结合实际问题意义确定。5、经济应用问题考研基本要求：1、了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程2、会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数 的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题 .题型16:求空间曲线在其上某点处的切线和法平面方程txeu cosudu0【例46】

31、求曲线y 2sin t cost 在 t0的切线和法平面方程3t e【例47】求曲线z 6在点(1，- 2，1)的切线和法平面方程z 0x t【思考题11】(1) ( 1992数一、二)在曲线 yt2的所有切线中，与平面z t3x 2y z 4平行的切线(A)只有一条 (B)只有两条 (C)至少有三条 (D)不存在(2)求曲线2 2x z2 2 y z10在点M (1，1，3)的切线和法平面方程10题型17:求空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程【例48】（2000数一）曲面x2 2y2 3z221在点（1, 2,2）的法线方程为【例49】（2003数一）（2）曲面二二/ + r2与平面2x

32、 + 4r-r二0平行的切平而的力程是*百"【例50】（1993数一、二）f3x3 *=122）由曲线电探，轴養駿一馬得91的義转面在点（0,73）处的指Q外崗的单位诜向量为【例511（ 1988数二）求椭球面x2 2y2 3z2 21上某点M处的切平面 的方程,使过已知直线L：x 6y 3 2z 121 2【例 521（ 1997 数一）rr+r + /)= 0四、（1）设在平而用上*而平而;7耳曲而： -x2 + V相切于点Vv-= 0（L-2.5）,求卩之值.【例531证明曲面S:F（ax by, cx bz） 0上任一点处的切平面与常向量平行,其中a,b,c为常数，a2 b2

33、 c2 0,F（u,v）有一阶连续偏导数。（新P257例4）（分析：曲面法向量naF1 cF2, bFn bF2，与常向量|平行，n I 0，可取I b, a, c）【思考题12】（1）求曲面z ez 2xy 3在点（1，2，0）处的切平面和法线方 程2 2 2 2（2） 试证：曲面x3 y3 z3 a3上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平 方和等于常数a2（3）证明曲面z xf （上）上任一点的切平面都通过坐标原点x题型18|:无条件极值求法【例54】(2004数一)设z f(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确定的函数，求z f (x,y)的极值点和极值。【思考题13】求由

34、方程x2 y2 z2 2x 2y 4z 10 0确定的函数z f (x, y)的极值题型19:条件极值求法提示(1)化为无条件极值求解(2)利用拉格朗日乘数法求解【例55】求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积2 2 2【例56】在第一卦限内作椭球面 笃爲乡1的切平面，使切平面与三坐标面a b c所围成的四面体体积最小，求切点坐标。【例57】(2002数一)八、役有一小山，取它的底血所在的平血为伙”举林rtrt其底韶所占的忸戚为Z)二(兀 v)| 疋 +y2 -.Vi1 < 75j r 小山的岛底函数为"(f)二 75 -x2 - y2 + xy.<1)设M(叼b)为区

35、域D匕一点问fr(.v.y )在读点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的国大#为Ig(.r0.10)的农达式，仁)现欲利用此小山开展率岩活动*为此需要住山寻找一上山度最人的点作为辜賢的起点， 也就址说，要在D的边界线.v? + r-.w = 75上找出使g( v)达到最大侑的点试确宣睾晋 起点的位岂.1111【思考题14】求函数u xyz在附加条件一 一 一 (X 0, y 0, z 0, a 0)下的极值x y z a题型20:最值求法【例58】在半径为R的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者【例59】(1994数二)在椭圆x2 4y2 4上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短。【例60】求二兀函数z f (x, y) x2y(4 x y)在直线x y 6,x轴和y轴所围成的闭域D上的最大值和最小值【例61】（2007数一）求函数f（x,y） x2 2y2 x2y2在区域D （x, y） | x2 y24,y0上的最大和最小值。【思考题15】已知三角形周长为2p，试求此三角形绕自己的一边旋转所构成的 旋转体体积的最大值（2） 抛物面z