第5讲(教师)角平分线(北师大版)

1、第5讲角平分线学习目标：能够证明角平分线的性质定理、判定定理。能够利用尺规作已知角的平分线。能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。重点：角平分线的性质定理、判定定理。难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。学习过程知识精讲.知识点角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。1、点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。A2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质:文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何表达: 0P平分/ MON（/ 1 = /2）, PUOM PB丄 ON （已知） PA=

2、 PB （角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何表达： PA丄 OM PB丄 ON PA= PB （已知）/ 1 = Z 2 （OP平分/ MON（角平分线的判定） 思考：这一判定定理的根据是什么？3、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。4、 点P是厶ABC的三条角平分线的交点，且PE丄BC于E, PF丄AC于F, PD丄AB于D,则有二、典型例题A例1.如图所示，在 ABC中，/ C= 90° , AC= BC DA平分/ CAB交BC于D,DE丄 AB 于 E, AB=

3、10 求 BDE的周长例2、如图，在四边形 ABCD中, AB/ CD点E是BC的中点，DE平分/ ADC求证: AE是/ DAB的平分线.过点E作EHL AB于点H,反向延长 EH交DC的延长线于点 G,过点E作EF丄AD 于点F,/ AB/ CD EHL AB, EG! DC点E是BC的中点， CE=BE在厶 CGEM BHE中,/ GCE=ZBCE= EB/ CEG=Z BEH CGEA BHE GE=EH/ DE平分/ ADC GE=EF GE=EH EF=EH AE是/ DAB的平分线.例3、如图所示,已知 ABC的角平分线BM CN相交于点P,那么AP能否平分 / BAC?请说明理

4、由由此题你能得到一个什么结论？C思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的 平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系.例 4、如图 4 ,在厶 ABC中，/ ABC=100 , / ACB=20 , CE平分/ ACB D是 AC上一点，若/ CBD=20，求/ ADE的度数.图4分析：由于CE平分/ ACB可过点E作/ ACB的两边的垂线，通过证明DE是/ ADB 的平分线解决问题解：作 ENCA EMLBD, EP丄CB,垂足分别是 N、M P.因为/ ABD玄 ABC-/ CBD=100 -20 ° =80°,/ PBA=1

5、80 -100 ° =80°, 所以/ PBA=/ ABD因为 EML BD于 M EPL CB于 P,所以 EP=EM又 CE平分/ ACB ENL CA EPL CB 所以 EN=EP所以EN=EM所以ED平分/ ADB1 1所以/ ADEd / ADBj X 40° =20° .需要添加辅助线构造全等三角形的题目，较为常用的构造法有：(1 )作平行线.(2) 作垂线.(3) 延长特殊线段构造相等线段 (4) 连接图形中的特殊点.(5 )求作特殊图形的对角线.二 探究1、如图，CDL AB, BE! AC,垂足分别为 D、E , BE CD相交于 O

6、,且/ 1 = / 2。求证：OB = OCo2、如图，AB = AC, DE%A ABC的AB边的垂直平分线, D为垂足，DE交BC于E。 求证：BE + EC = AB o/ DE是AB的垂直平分线,/ :.AE= BE/ AE+ EC= AC。卜 f :.BE+ EC= AC又 AB=AC一 BE+EC=ABBC3、如图，在厶 ABC中，AC = BC , / C = 90 ° , AD是厶ABC的角平分线,DEI AB, 垂足为Eo(1) 已知CD = 1 cm ,求AC的长；(2) 求证：AB = AC + CD oC D 3(1 )解：I/ C=90°,人。是厶

7、ABC的角平分线， DEI AB, DE=CD=1/ AC=BC / C=90°, / B=45°, BDE是等腰直角三角形， bd=/2deV , AC=BC=CD+BD=+1(2)证明：在厶 ACDD AED中，AD= ADDE= CD ACDA AED( HL), AC=AE BDE是等腰直角三角形， BE=DE=CD/ AB=AE+BE AB=AC+CD4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。5、如图，求作一点 P,使PC = PD,并且点P到/AOB两边的距离相等。B6、（ 1）利用角平分线的性质，找到 ABC内部距三边距离相等的点。(2)在右图 ABC所在平面中，

8、找到距三边所在直线距离相等的点。三 提升1、如图，CDL AB, BEL AC,垂足分别为 求证：/ 1 = / 2。CD、E, BE CD相交于 0,且 OB = 0GACPDL AB, PEL BC, PFL AC,贝UPD=2cm 若使 PE=2cm 贝y PE与2、如右图，已知 BEL AC于E, CFL AB于F, BE、 求证：AD平分/ BAC证明： BEL AC于 E, CFL AB于 F,/ BFD=/ DEC=90 ,在厶BDF和厶CDE中，二時 -CD£(对序角相琴BDCDr BDFA CDE( AAS, DE=DF又 BEL AC, CFL AB, AD平分/

9、 BAG3、填空：(1)如图1,点PABC三条角平分线交点，PDPEPF.(2)如图2 , P是/ AOB平分线上任意一点，且OB的关系是(3)如图3 , CD为Rt ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交 CD CB于点E、 F , FG丄 AB,垂足为 G 贝U CFFG / 1 + / 3=度，/ 2+ /4=度，/ 3/ 4 , CECF.图1图2图34、已知：如图在 ABC中，/ C=90° , AD平分/ BAC交BC于D,若BC=32且 BD： CD=9： 7 , 求: D至U AB边的距离.J过点D作DEI AB,贝U DE是点D到AB的距离/ BD CD=9 7

10、, CD=BC< 7/16=32 X 7/16=14 ,/ AD平分/ CAB DE=CD=147 £）C 32x= 14分析：画图分析（如下图），由题意可得：9十7,由角平分线性质可得：故点D到且B边的距离为14.故填14.练习1. 在 Rt ABC中，/ C= 90°, AD是角平分线，若 BC= 10, BD： CD= 3 : 2，则点D到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 102. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条高的交点B.三条中线的交C.三条角平分线的交点D.不能确定3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B C,现计划修一个油库,

11、要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处 B.二处 C.三处D.四处 ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是厶ABC两条外角平分线的交点，过点 P 作 PEI AB, PDL BC, PF丄 AC, PE=PF PF=PD PE=PF=PD点P到厶ABC的三边的距离相等， ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点 有3个；综上，至U三条公路的距离相等的点有4个.可供选择的地址有 4个.故选D.点P到AB BC CD距离都相等， BP、CP分别是/ ABC和/ BCD的平分线， 丄2/ CBP=2 / A

12、BC / BCP总 / BCD 丄/ CBP+Z BCP (/ ABC+Z BCD ,/ AB/ CD/ ABC+Z BCD=180 ,2 Z CBP+Z BCP X 180° =90°, Z P=180° - (Z CBP+Z BCP =180° -90° =90°.故答案为：90°.5、如图，已知 AB/ CD 0为Z CAB Z ACD的平分线的交点.OE!AC,且OE=2则两平行线AB CD间的距离等于/ AB/ CD MN! AB即 OML AB,ON! CD/ OA平分Z BACOEL AC,OML AB OM=

13、OE=2/ OC平分Z ACDOEL AC,ONL CD OE=ON MN=OM+ON=41、填空(1 )、如图，若点P在Z AOB的角平分线上，PE!OA PD丄OB则有(2)、如图，若 PE!OA PD!OB 且 PD = PE,贝U2、女口图，E是线段AC上的一点，AB丄EB于B, AD! ED于D,且Z 1 =Z 2, CB= CB 求证：Z 3 = Z 4。3、如图，在 ABC中，BE± AC AD丄 BQ AD BE相交于点 P, AE = BD。 求证：P在/ ACB的角平分线上。/ AEB=/ BDA=90 .在 Rt ADB和 Rt BEA中AB= ABBD= AE

14、 / BAD玄 ABE / ABD/ BAE , AP=BP AC=BC在厶APC和 BPC中AP= BPAC= BCPC= PC APCA BPC( SSS , / ACP=/ BCP点P在/ ACB的角平分线上.角平分线作法：在角AOB中，画角平分线方法一：1. 以点0为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点 M N。2. 分别以点 M N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。3作射线0P则射线0P为角AOB的角平分线。当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。方法二：1. 在两边OA 0B上分别截取 OM 0A和 ON 0B且使得 0M

15、=0, OA=OB2. 连接AN与BM他们相交于点 P；3. 作射线0P |则射线0P为角AOB的角平分线。1. 已知：如图， AD± BC于D, EF丄BC于F,交AB于G,交CA延长线于 E,/ 1 = / 2求证：AD平分/ BAC填写分析和证明中的空白.而已知/仁/ 2,所以应联想这两个角分别和/1、/ 2的关系，由已知 BC的两条垂线可推出 /，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.证明： AD丄BC, EF丄BC（已知）-/ （）= （两直线平行，内错角相等），= （两直线平行，同位角相等）/ （已知） ，即 AD平分/ BAC（）证明： AD± BC, EF

16、 丄 BC（已知） EF/ AD （在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）/仁/ BAD（两直线平行，内错角相等）/ 2=/ CAD （两直线平行，同位角相等）/仁/2 （已知） / BAD玄 CAD即AD平分/ BAC （角平分线的定义）'2. 如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交/ A的平分线于点 E, EF丄AB垂直平分BC得出Rt CGEA BFE,从而证出 BF=CGEG=EF再根据ED证明：连接EC EB./ AE是/ CAB的平分线， EF丄AB于点F, EGL AC于点G, EG=EF又 ED垂直平分BC, EC=EB Rt CGE Rt BFE, BF=CG3. 已知：如图，AF平分/ BAC BC! AF,垂足为点 E,点D与点A关于点E对称, PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.（1）求证：AB= CD 若/ BAC =2/ MPC请你判断/ F与/ MCD的数量关系，并说明理由.B(1)证明：T AF平分/ BAC|J_/ CAD= / DAB£ / BAC点D与点A关于点E对称 E为AD中点.BC丄AD, BC为AD的中垂线， AC= CDZ CAD= Z DAB在 Rt ACE和 Rt ABE中，/