第1章13131二项式定理

1、1.3二项式定理1.3.1 二项式定理学习目标核心素养1. 能用计数原理证明二项式定理.2. 掌握二项式定理及其二项展开式的通 项公式.(重点)3. 能解决与二项式定理有关的简单问 题.(重点、难点)1. 通过二项式定理的学习，培养逻 辑推理的素养.2. 借助二项式定理及展开式的通 项公式解题，提升数学运算素养.自主预习空量处0 曲込皿皿阴TBTM * 1新知初探_J1. 二项式定理(a+ b)n = C0an+。缶咕+ c!an_2b2 + + C$akbk+ Cgbn(n N*).(1) 这个公式所表示的规律叫做二项式定理.(2) 展开式：等号右边的多项式叫做(a+ b)n的二项展开式，展

2、开式中一共有n+ 1项.(3) 二项式系数：各项的系数 Ck(k 0,1,2，n)叫做二项式系数.2. 二项展开式的通项公式(a+ b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1二Ckan_kbk思考1:二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？提示二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 汶，C1，Cn，它只与各项的项数有关，而与 a，b的值无关，而项的系数是 指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.思考2：二项式(a+ b)n与(b+ a)n展开式中第k+ 1项是否相同？提示不同.(a+ b)n展开式中第k+ 1项为C

3、kan-kbk，而(b+ a)n展开式中第 k+ 1 项为 Ckbn-kak.匚初试身弄厂I1. (x+ 1)n的展开式共有11项，则n等于()A. 9B. 10C. 11D. 12B 由二项式定理的公式特征可知 n = 10.2. cn 2n + C1 2n 1 + -+ cn 2n k+-+ Cn等于()A. 2nB . 2n 1C. 3nD. 1C 原式二(2 + 1)n= 3n.3. (1 + 2x)5的展开式的第3项的系数为 第3项的二项式系数为4010 丁3 = C55(2x)2 = Cf22x2 = 40x2,第3项的系数为40,第3项的二项式系数为Ci= 10.(2)化简:C0

4、(x+ 1)n cn(x+ 1)n1 + cn(x+ 1芦2+ (- 1)kCk(x+ 1)nk+-(-i)ncn.解(1)法出-2jx)= C0(G)4 - c1(以)3i+C2x)234+ c11 E 艺LIHT 虑二项式定理的正用和逆用例 1】(1)求 x 21x4的展开式;厂 114 11423116应 + C4/xFX 2x+ 2 2x+16?法二：Vx41432=16x2 （16x4- 32x 4 ,x4的展开式；(2)化简(x 2)5 + 5(x 2)4+ 10(x 2)3 + 10(x 2)2 + 5(x 2). ( 厂 1 4 解糾xC0(3G)4 + C4(3)3 ；- 土

5、J+ &(3冈2 :-需 + C4(3x)爸+ 1 4C4=81x2 108x+ 54 2 + 支CCAAOQQoAc原式=C5(x 2) + C5(x 2) + C5(x 2) + C5(x 2) + C5(x 2) + C5(x 2) + 24x2 8x+ 1）2311二 x 2x+ 22（+ 融.（2）原式二 cn（x+1）n+cn（x+ 1）n1（ 1）+cn（x+ 1）n2（1）2+ +cn（x+ 1）nk（- 1）k+cn（1）n= （x+1）+（ 1）n=xn.1W IT n二项式定理的双向功能1 正用：将二项式（a+ b）n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用

6、是展开对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.2 逆用：将展开式合并成二项式（a+ b）n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各1. （1）求二项式3 x项幕指数的规律以及各项系数的规律.55=(x 2)+ 15 1 = (x 1)5 1.求展开式中的特定项【例2】已知 x |n展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.(1) n的值；(2) 求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.解(1)因为 T3=瑞,x)n2 2 2=4Cnx ,T2=宀(伺1 彳)=-2Cx专,依题意得 4Cn+ 2CrU 162,所以 2Cn+

7、CrU81,所以 n2= 81, n = 9.(2)设第r + 1项含x3项，则 Tr +1 = C9( , x)9一2 r = ( 2)rc9x,9 3r所以一2 = 3, r = 1,所以第二项为含x3的项：T2= 2C：x3= 18x3.二项式系数为C1= 9.母题探究1. (变结论)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项.解 通项公式为：Tk+1= ( 2)kc9x .9 3k由2 = 0 得 k= 3.展开式中的常数项为(2)3C3= 672.2. (变结论)在本例不变的条件下，求二项展开式的所有有理项.9-3k迄，解由题意可得.故k可取1,3,5,7,9.0W KW 9,Ik

8、®,故二项展开式的所有有理项为1 33T2= ( 2)C9x = 18x ;33 0T4= ( 2)3C3x0= 672;T6= ( 2)5c9x 3= 4 032x 3;T8= ( 2)7c9x 6= 4 60&6;9999Tio= ( 2)9c9x 9= 512x 9.1. 求二项展开式的特定项的常见题型(1) 求第 k 项，Tk= cn1ank + 1bk 1;(2) 求含xK的项(或xpyq的项);(3) 求常数项；(4) 求有理项.2. 求二项展开式的特定项的常用方法(1) 对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2) 对于有理项，一般是先写出通项公式，

9、其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3) 对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整 数，求解方式与求有理项一致.二项式定理的灵活应用探究问题1. (a+ b+ c)2的展开式共有几项？提示(a+ b+ c)2= a2+ b2 + C + 2ab+ 2ac+ 2bc,故其展开式共 6 项.2. 你能借助计数原理的知识说明一下(a+ b+ c)2的展开过程吗？提示(a+ b+ c)2相当于2个(a+ b+ c)相乘，即(a+ b+ c)2 = (a+ b+ c)(a+ b+ c)

10、,故按分步乘法原理及分类加法原理可知： 要出现a2,只有两个括号同时出a；要出现ab,只有1个括号出a,另一个括号 出b,即dab；同理可得其他展开项.【例3】(1)(x2+ x + y)5的展开式中，x5y2的系数为()A. 10B. 20C. 30D. 60(2)(x y)(x+y)8的展开式中 舄的系数为.(用数字填写答案)252思路点拨(1)(x + x+ y)相当于5个x + x+y相乘；(2)(x- y)(x+y)8 = x(x+ y)8 y(x+ y)8,结合题意求解即可.252(1) C (2) 20 (1)(x + x+ y)为5个x + x+y之积，其中有两个取 y,两 个

11、取x2, 一个取x即可，所以x5y2的系数为c5c3ci= 30.故选C.(2) (x y)(x+y)8 = x(x+ y)8 y(x+ y)8，所以展开式中含有 x2y7 的项为 x c8xy7yC8x2y6 = 20x2y7，故 x2y7 的系数为20.观挣方锻1. 两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题(1) 分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.(2) 找到构成展开式中特定项的组成部分.(3) 分别求解再相乘，求和即得.2三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决 (有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结

12、合时要注意合 理性和简捷性.跟踪训练2. (1)(2017高考全国卷)1+ X2 (1 + x)6展开式中X2的系数为()A. 15B. 20C. 30D. 35(2)求(x2 + 3x+ 2)5的展开式中x的系数.(1) C (1)(1 + x)6展开式的通项Tr+1 = C6xr，所以1+步(1+ x)6的展开式中 x2的系数为1X C6+ 1X c4= 30,故选C.(2) 解把(x2 + 3x+ 2)5看成5个(x2 + 3x+ 2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x,4个因式取2得到，即C53x C4 24= 240x,所以(x2 + 3x+ 2)5

13、的展开式中x的系数为240.匚课堂心结:1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项 数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关.2. 要牢记cnankbk是展开式的第k+ 1项，而非第k项.3. 对于非二项式的展开式问题可借助其原理求解.当堂达标固则昼-1. 判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) (a+ b)展开式中共有n项.()(2) 在公式中，交换a, b的顺序对各项没有影响.()Cnan-kbk是(a+ b)n展开式中的第k项.()(4) (a- b)n与(a+ b)n的二项式展开式的二项式系数相同.()答案(1)x x x V2. (x- ,2)10展开式中x6项的二项式系数为()A. C4oB . C4o44C. 4C10D . 4C10B 含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C4。.3. 在(1 x3)(1 + x)