2020学年上海市杨浦区高考一模数学

1、2020年上海市杨浦区高考一模数学一、填空题(本大题满分54分)共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.若“ab”，则“a3b3”是_命题(填：真、假)解析：函数f(x)=x3在R是单调增函数，当ab，一定有a3b3，故是真命题.答案：真.2.已知A=(，0，B=(a，+)，若AB=R，则a的取值范围是_.解析：若AB=R，A=(，0，B=(a，+)，必有a0.答案：a0.3.z+2=9+4i(i为虚数单位)，则|z|=_.解析：设z=x+yi(x，yR)，z+2=9+4i，x+yi+2(xyi)=9+4i，化为：3xyi=9+4i，3x=9，y=4，解得x=3，y=4.答案：5.

2、4.若ABC中，a+b=4，C=30°，则ABC面积的最大值是_.解析：在ABC中，C=30°，a+b=4，ABC的面积，当且仅当a=b=2时取等号.答案：1.5.若函数的反函数的图象经过点(2，3)，则a=_.解析：函数的反函数的图象经过点(2，3)，函数的图象经过点(3，2)，a=2.答案：2.6.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是_.解析：设截面的圆心为Q，由题意得：OAQ=60°，QA=1，S=·12=.答案：.7.抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依

3、次记作a，b，c，则a+bi(i为虚数单位)是方程x22x+c=0的根的概率是_.解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a，b，c，基本事件总数n=6×6×6=216，a+bi(i为虚数单位)是方程x22x+c=0的根，(a+bi)22(a+bi)+c=0，即，a=1，c=b2+1，a+bi(i为虚数单位)是方程x22x+c=0的根包含的基本事件为：(1，1，2)，(1，2，5)，a+bi(i为虚数单位)是方程x22x+c=0的根的概率是.答案：.8.设常数a0，展开式中x6的系数为4，则=_.解析：常数a0，展开式中x6的系数为4，

4、当时，r=2，解得，.答案：.9.已知直线l经过点且方向向量为(2，1)，则原点O到直线l的距离为_.解析：直线的方向向量为(2，1)，所以直线的斜率为：，直线方程为：x+2y+=0，由点到直线的距离可知：；答案：1.10.若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_.解析：抛物线y=x2的准线：，双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为，焦点在y轴上.双曲线的一条渐近线为x+2y=0，可得，则此双曲线的标准方程为：.答案：.11.平面直角坐标系中，给出点A(1，0)，B(4，0)，若直线x+my1=0存在点

5、P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是_.解析：设P(1my，y)，|PA|=2|PB|，|PA|2=4|PB|2，(1my1)2+y2=4(1my4)2+y2，化简得(m2+1)y2+8my+12=0则=64m248m2480，解得m或m，即实数m的取值范围是m或m.答案：m或m.12.函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x2，0时，f(x)=2x+1，若存在x1，x2，xn满足0x1x2xn，且|f(x1)f(x2)|+|f(x2)f(x1)|+|f(xn1f(xn)|=2016，则n+xn的最小值为_.解析：函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x2，0时，

6、f(x)=2x+1，函数的值域为3，1，对任意xi，xj(i，j=1，2，3，m)，都有|f(xi)f(xj)|f(x)maxf(x)min=4，要使n+xn取得最小值，尽可能多让xi(i=1，2，3，m)取得最高点，且f(0)=1，f(2)=3，0x1x2xm，|f(x1)f(x2)|+|f(x2)f(x3)|+|f(x n1)f(xn)|=2016，n的最小值为，相应的xn最小值为1008，则n+xn的最小值为1513.答案：1513.二、选择题(本大题共4题，满分20分)13.若与都是非零向量，则“”是“”的( )A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条

7、件解析：“”“”“”“”，故“”是“”的充要条件.答案：C14.行列式中，元素7的代数余子式的值为( )A.15B.3C.3D.12解析：行列式，元素7的代数余子式为：D13=(1)4=2×65×3=3.答案：B.15.一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是( )A.5800B.6000C.6200D.6400解析：一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，当另外两名员工的工资都小于530

8、0时，中位数为，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为，8位员工月工资的中位数的取值区间为5400，6300，8位员工月工资的中位数不可能是6400.答案：D.16.若直线通过点P(cos，sin)，则下列不等式正确的是( )A.a2+b21B.a2+b21C.D.解析：直线通过点P(cos，sin)，bcos+asin=ab，其中，a2+b2a2b2，答案：D三、解答题(满分76分)共5题17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中BAC=60°.(1)求半径PB的长度；(2)现知该零件的厚度

9、为3毫米，试求该零件的重量(每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克).V柱=S底·h.解析：(1)在ABP中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB的长度；(2)求出V柱=S底·h，即可求该零件的重量.答案：(1)AB=55，AC=88，BP=R，BAC=60°.AP=88R，在ABP中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP22AB·AP·cosBAC，可得：R2=552+(88R)22×55×(88R)×cos60°，解得：R=49mm.(2)在ABP中，AP=8849=39mm，AB=55，

10、BP=49，sinBPA0.972.BPA=arcsin0.972.V柱=S底·h=(SABP+S扇形BPC) ·h=该零件的重量=÷1000×8.982.7. 18.如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN(1)求证：异面直线AC与BN垂直；(2)若四面体ABCN的体积VABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离.解析：(1)欲证ACNB，可先证BN面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证ANBN，CNBN即可；(2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即

11、可.答案：(1)证明：由已知l2MN，l2l1，MNl1=M，可得l2平面ABN.由已知MNl1，AM=MB=MN，可知AN=NB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的射影.ACNB(2)AM=BM=NM=CN，MN是它们的公垂线段，就是异面直线l1，l2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN，四面体ABCN的体积VABCN=9，可得：，MN=3.异面直线l1，l2之间的距离为3.19.如图所示，椭圆C：，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1l2.(1)当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1·k2为定值；(2)

12、求四边形ABCD面积的最大值.解析：(1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB、CD的方程，与椭圆方程联立求得A、D的坐标，求出AD所在直线斜率得答案；(2)由(1)结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB、CD的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值.答案：(1)证明：由椭圆C：，得a2=4，b2=1，.设k1=k，则AB所在直线方程为y=kx+k，CD所在直线方程为y=kxk，联立，得(1+4k2)x2+8k2x+12k24=0.解得，不妨取，则同理求得，.则，则；(2)解：由(1)知，.AB、CD的距离，.令1+4k2=t(t1)，则，当t=3时，Smax=

13、4. 20.数列an，定义an为数列an的一阶差分数列，其中an=an+1an(nN*)(1)若an=n2n，试判断an是否是等差数列，并说明理由；(2)若a1=1，anan=2n，求数列an的通项公式；(3)对(b)中的数列an，是否存在等差数列bn，使得，对一切nN*都成立，若存在，求出数列bn的通项公式，若不存在，请说明理由.解析：(1)根据数列an的通项公式an=n2n，结合新定义，可判定an是首项为4，公差为2的等差数列；(2)由anan=2n入手能够求出数列an的通项公式；(3)结合组合数的性质：1Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n(Cn10+Cn11+Cn12+Cn1n1)

14、=n·2n1进行求解.答案：(1)若an=n2n，试判断an是等差数列，理由如下：an=n2n，an=an+1an=(n+1)2(n+1)(n2n)=2n，an+1an=2，且a1=4，an是首项为4，公差为2的等差数列；(2)anan=2n.an=an+1an，an+12an=2n，数列构成以为首项，为公差的等差数列，即；(3)b1Cn1+b2Cn2+bnCnn=an，即b1Cn1+b2Cn2+bnCnn=n·2n1，1Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n(Cn10+Cn11+Cn12+Cn1n1)=n·2n1，存在等差数列bn，bn=n，使得b1Cn1+b

15、2Cn2+bnCnn=an对一切自然nN都成立.21.对于函数f(x)(xD)，若存在正常数T，使得对任意的xD，都有f(x+T)f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数T，f(x)=x2都不是“T同比不减函数”；(2)若函数f(x)=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；(3)是否存在正常数T，使得函数f(x)=x+|x1|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：(1)根据T同比不减函数的定义即可证明，(2)根据T同比不减函数的定义，分离参数得到，根据三角形函数的性质即可求出k的范围，(3)画出函数f(x)的图象