好好看看几何模型

1、全等三角形相关模型总结一、角平分线模型一角平分线的性质模型辅助线：过点 G作GE,射线ACA、例题1、如图,在 ABC 中,/ C=90 ° , AD 平分/ CAB , BC=6cm , BD=4cm ,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.2、如图,/1=/ 2, / 3=/ 4,求证：AP 平分/ BAC.3、如图,在四边形ABCD 中,BC > AB , AD = CD , BD 平分/ ABC ,求证：/ A+/ C= 180二角平分线+垂线,等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长 ED交射线 OB于F辅助线：过点 E作EF /射线 OB例1、如图,在 ABC中,/

2、ABC = 3/ C, AD是/ BAC的平分线, BE ± AD于F .求证：BE =2AC AB.2例2、如图,在 ABC中,/ BAC的角平分线 AD交BC于点D,且AB= AD,作CM ± AD交AD的延长线于M.求证：AM =_AB AC.2三角分线,分两边,对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B ,使OB = OA ,从而使 OAC OBC .A、例题1、如图,在 ABC 中,/ BAC=60 ° , / C=40 ° , AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q,求证：AB+ BP =

3、BQ+ AQ .2、如图,在 ABC中,AD是/ BAC的外角平分线, P是AD上异于点A的任意一点,试比拟 PB+ PC与AB+ AC的大小,弁说明理由.3、在 ABC中,AB> AC, AD是/ BAC的平分线,P是线段 AD上任意一点不与 A重合. 求证：AB-AO PB- PC .4、如图, ABC 中,AB= AC, / A= 100° ,/ B 的平分线交 AC 于 D,求证：AD + BD = BC .5、如图, ABC 中,BC=AC, / C= 90 ° , / A 的平分线交 BC 于 D,求证：AC + CD = AB .二、等腰直角三角形模型(

4、一)旋转中央为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程：(1)将 ABD逆时针旋转 90° ,得 ACM应 ABD,从而推出 ADM为等腰直角三角形(2)辅助线作法：过点 C作MC,BC ,使CM = BD ,连结AM.(二)旋转中央为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.(1)使 BF=AE (或 AF= CE),导出 BDF 应 AADE.(2)使/ EDF+/ BAC = 180 ° ,导出 BDF 应 A ADE.1、如图,在等腰直角 ABC中,/ BAC= 90° ,点 M、N在斜边BC上滑动,且/ MAN =45 试探究B

5、M、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30° , 60°角的直角三角板 ADE和ABC,按如下图放置, E、A、C三点在 一条直线上,连接 BD,取BD的中点M ,连接ME、MC.试判断 EMC的形状,弁证实你的结论3、,如下图,RtAABC中,AB= AC , / BAC = 90° , O为BC中点,假设 M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN= CM.(1)试判断 OMN的形状,弁证实你的结论(2)当M、N分别在线段 AC、AB上移动时,四边形 AMON的面积如何变化？4、在正方形 ABCD 中,BE = 3, EF= 5, DF=4

6、,求/ BAE + / DCF 为多少度.三构造等腰直角三角形1利用以上一和二都可以构造等腰直角三角形略；2利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.四将等腰直角三角形补全为正方形,如下列图:1、如图,在等腰直角 ABC中, 满足 pb = PC , AP = AC ,求证:AC= BC, / ACB = 90° , P为三角形 ABC内部一点, / BCP = 15° .三、三垂直模型弦图模型A、例题：如下图,在4ED- . .BCD .1 1由点MIRnABC 中,AB = AC , / BAC = 90 , D 为 AC 中点,AF ± BD 于点 E,

7、交CN , AF ± BM 于 E,交 BC 于 F,连BC于F,连接DF .求证：/ ADB=/ CDF .ABC 中,AB = AC , AM =变式1、：如下图,在4接 NF ,求证：1 / AMB =/ CNF ; 2 BM变式2、在变式 1的根底上,其他条件不变,只是将=AF+ FN .BM和FN分别延长交于点P,求证：1 PM=PN ; ( 2) PB=PF+ AF .四、手拉手模型1、 ABE和 ACF均为等边三角形结论：(1) ABFA AEC .(2) / BOE = Z BAE =60 °(3) OA平分/ EOF .(四点共圆证) 拓展： ABC和 C

8、DE均为等边三角形结论：(1) AD= BE;(2) / ACB=/ AOB ;(3) PCQ为等边三角形；(4) PQ / AE ;(5) AP = BQ;(6) CO平分/ AOE ;(四点共圆证 )(7) OA= OB + OC;(8) OE=OC+ OD .(7) , (8)需构造等边三角形证实) 例、如图,点 M为锐角三角形 ABC内任意一点,连接 AM、BM、CM .以AB为一边向外作等边三角形4 ABE ,将BM绕点B逆时针旋转 60°得到BN,连接EN .(1)求证： AMBA ENB ;(2)假设AM+BM+CM的值最小,那么称点 M为乙ABC的费尔马点.假设点 M

9、为乙ABC的费尔马点, 试求此时/ AMB、/ BMC、/ CMA的度数；(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图,分别以ABC即为 ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边 ACF,连接 CE、BF,设交点为 M,那么点 M2、 ABD和 ACE均为等腰直角三角形结论：(1) BE= CD; (2) BEX CD .3、四边形 ABEF和四边形 ACHD均为正方形.结论:(1 ) BD = CF; ( 2) BDXCF .变式1、四边形ABEF和四边形 ACHD均为正方形, AS ± BC交FD于T,求 证：(1)

10、T 为 FD 中点；(2) SABC SaDF .T为FD中点,TA交BC于S,求变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形, 证：AS± BC .3604、如图,以 ABC的边AB、AC为边构造正多边形时,总有：/1=/2 =180 “-n五、半角模型 条件：g=T,且+=痴,史两肋目等.2思路：1、旋转辅助线：延长 CD到E,使ED=BM ,连AE或延长CB到F,使FB=DN ,连AFF、B、M三点共将 ADN绕点A顺时针旋转90 °得 ABF ,注意：旋转需证线结论：(1) MN = BM + DN ; ( 2) CCMN =2 AB ； ( 3) AM、AN

11、分别平分/ BMN、/ MND .2、翻折(对称)辅助线：作 API MN交MN于点P将 ADN、 ABM分别沿AN、AM翻折,但一定要证实A、例题例1、在正方形 ABCD中,假设M、N分别在边BC、CD上移动,且满足 MN = BM + DN ,求 证：(1) / MAN = 45° ;(2)C忡mn =2AB ;(3) AM、AN 分别平分/ BMN 和/ DNM .变式：在正方形 ABCD中,/ MAN =45° ,假设M、N分别在边CB、DC的延长线上移动, AHXMN ,垂足为H,(1)试探究线段 MN、BM、DN之间的数量关系；(2)求证：AB= AH例2、在四边形 ABCD中,/ B + / D= 180°