matlab-线性代数

1、一、矩阵的生成1.简单的矩阵的生成 (1)直接输入矩阵元素 对直接从键盘输入一系列元素生成矩阵，只要遵循下面几个基本原则： 1、矩阵每一行的元素必须用空格或逗号分开； 2、在矩阵中，采用分号或回车表明每一行的结束； 3、整个输入矩阵必须包含在方括号“”中。 注意：创建矩阵在方括号的末尾，可以用回车或分号结束。用回车结束，显示所输入的矩阵；用分号结束，所输入的矩阵不显示。 输入：A=4,5,7,8;6,1,2,5;3,5,4,6;4,2,4,8 显示：A =     4     5   

2、  7     8                        6     1     2     5         

3、0;              3     5     4     6                        4 

4、;    2     4     8 (2)生成大矩阵 在MATLAB中，可以将小矩阵连接起来生成一个较大的矩阵。事实上，前面直接输入法生成矩阵就是将单个元素连接起来生成矩阵。方括号“”就是连接算子。 输入：B=A,A+1;A+2,A+3 显示：B =      4     5     7     8  &#

5、160;  5     6     8     9      6     1     2     5     7     2     3     6

6、     3     5     4     6     4     6     5     7      4     2     4  &

7、#160;  8     5     3     5     9      6     7     9    10     7     8    10 

8、0;  11      8     3     4     7     9     4     5     8      5     7     6&

9、#160;    8     6     8     7     9      6     4     6    10     7     5   &

10、#160; 7    11 2.常用矩阵的生成下面介绍一些常用矩阵的生成命令：zeros，ones，eye，rand和randn。 (1)zeros生成全0阵 调用格式为:B=zeros(n)：生成n´n的全0矩阵；如果n不是标量将给出出错信息。 B=zeros(m,n)：生成m´n的全0矩阵。 B=zeros(size(A)：生成与矩阵A大小相同的全0阵。 注意：在MATLAB中不需要预先定义矩阵的维数，MATLAB自动为矩阵分配存储空间。尽管如此，如果采用全零阵为矩阵生成的全部元素或某一行、某一列的元素保留存储空间，则大多数MATLAB程序

11、将运行得更快。 (2)ones生成全1阵 调用格式为： Y=ones(n)：生成n´n的全1矩阵；如果n不是标量将给出出错信息。 Y=ones(m,n)：生成m´n的全1阵。 Y=ones(size(A)：生成与矩阵A大小相同的全1阵。 (3)eye生成单位阵 调用格式为： Y=eye(n)：生成n´n的单位阵。 Y=eye(m,n)：生成m´n的矩阵，其对角线元素为1，其它元素为0。 Y=eye(size(A)：生成一个与矩阵A大小相同的单位阵。 注意：在MATLAB中，单位阵的定义比线性代数中的定义更广泛。例如： 输入：eye(3,2) 显示：ans

12、 =      1     0      0     1      0     0 (4)rand生成均匀分布的随机阵 调用格式为： Y=rand(n)：生成一个n´n的随机阵：如果n不是标量将给出出错信息。 Y=rand(m,n)：生成一个m´n随机阵。 Y=rand(size(A)：生成一个与矩阵A大小相同的随机阵。 说明：rand函

13、数产生0,1之间均匀分布的随机数。 (5)randn正态分布随机阵 命令的形式为： Y=randn(n)：生成一个n´n的随机阵：如果n不是标量将给出出错信息。 Y=randn(m,n)：生成一个m´n随机阵。 Y=rand(size(A)：生成一个与矩阵A大小相同的随机阵。 二、矩阵运算在MATLAB语言中，矩阵的运算既可以使用运算符，也可以使用等效的运算函数。 (1)加法和减法运算 对于矩阵运算可以由下面的命令执行加减法： C=A+B或C=plus(A,B) C=A-B或C=minus(A,B) 这里要求A和B的大小必须相同，因为加减运算是把A和B的对应元素相加减。如果

14、A和B的大小不同，MATLAB将自动给出错误信息。 特殊情况是A和B中有一个是标量，MATLAB允许标量和任意大小的矩阵相加减，结果是把矩阵中的每个元素和这个标量相加减。 在MATLAB中，算术运算符“+”和“-”可以作为一元运算符使用。+A就是取A，而-A则是对A中的每个元素取负。 输入：A=1 2 3;4 5 6; B=7 8 9;4 6 8;C=A+B 显示：C =      8    10    12      8   

15、; 11    14 输入：C=C-2 显示：C =      6     8    10      6     9    12 输入：C=-C 显示：C =     -6    -8   -10     -6  

16、60; -9   -12 (2)乘法运算 矩阵乘的运算命令为：A*B或mtimes(A,B) 矩阵乘A*B是矩阵A和B的线性代数乘。就是说，对于非标量A和B，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。标量可以和任意大小的矩阵相乘，就是线性代数中的数与矩阵的乘法。输入：A=1 2 3;4 5 6;B=ones(3)显示：B =      1     1     1      1    

17、1     1      1     1     1 输入：C=A*B 显示：C =      6     6     6     15    15    15 (3)矩阵求逆 行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵

18、的求逆函数为： B=inv(A) 该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。 在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=AB来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。 (4)除法运算 在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB中，定义了矩阵的除法运算。矩阵除法的运算

19、在MATLAB中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。 矩阵左除： C=AB或C=mldivide(A,B) 矩阵右除； C=A/B或C=mrdivide(A,B) 通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，AB等效于A的逆阵左乘矩阵B。也就是inv(A)*B。如果A是一个n´n矩阵，B是一个n维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则AB就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。如果A接近奇异的，MATLAB将会给出警告信息。 如果A是一个m´n矩阵，其中m不等于n，B是一个m维列向量，或是由若干这样的列的矩阵，则X=AB是不定或超定方程组AX

20、=B的最小二乘解。通过QR分解确定矩阵A的秩k，方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。如果k<n，方程的解是不唯一的，用矩阵除法求得的最小二乘解是这种类型解中范数最小的。 B/A大体等效于B*inv(A) (B右乘A的逆阵)，但在计算方法上存在差异，更精确的，B/A=(ATBT)T。 输入：A=1 2 3;4 5 7;4 7 9;B=1 3 7;3 5 7;8 5 1;矩阵左除。输入：AB 显示：ans =   -0.7500   -0.5000   -2.0000    5.7500   -3.

21、5000  -18.0000   -3.2500    3.5000   15.0000 矩阵右除。输入：A/B 显示：ans =   -0.0217    0.4565   -0.0435    0.6522    0.3043    0.3043   -0.5652    1.8696   -0.1304(5)乘方运算矩阵乘

22、方命令为：C=AB或C=mpower(A,p) 矩阵的乘方运算要求A是一个方阵，且p是一个标量，Ap的意思是矩阵A的p次方。如果p是个整数，则Ap是矩阵A自乘p次；如果p是一个负整数，则首先对A求逆，然后将它自乘p次。输入：A=1 2 3;4 5 7;4 7 9;A2显示：ans =     21    33    44    52    82   110    68   10

23、6   142输入：A-2 显示：ans =    -1.0000   -1.3750    1.3750    6.0000   -0.6250   -1.3750   -4.0000    1.1250    0.3750(6)方阵的行列式方阵的行列式运算函数是：a=det(A) 如果矩阵A不是方阵，会给出警告信息。输入：A=4 1 2 4;1 2 0

24、2;10 5 2 0;0 1 1 7;det(A)显示：ans =     0(7)矩阵的秩矩阵的求秩函数是：a=rank(A) 输入：A=3 1 0 2;1 -1 2 -1;1 3 -4 4;rank(A)显示：ans =  2三、矩阵变换(1)矩阵旋转矩阵旋转函数的用法如下：1B=fliplr(A)：矩阵A关于垂直轴沿左右方向进行列维翻转。2B=flipud(A)：矩阵A关于水平轴沿上下方向进行行维翻转。3B=rot90(A)：矩阵A逆时针方向旋转90°4B=rot(A,k)：矩阵A逆时针旋转k*90°，其中k为整数输入

25、：A=1 2 3;4 5 6 显示：A =      1     2     3     4     5     6输入：B=fliplr(A) 显示：B =      3     2     1   

26、0; 6     5     4输入：C=flipud(A) 显示：C =      4     5     6     1     2     3输入：D =rot90(A) 显示：D=      3   &

27、#160; 6     2     5     1     4(2)矩阵的产生函数diag diag函数用于产生或提取对角线元素。它的用法有如下几种：1X=diag(v,k)：当v是有n个元素的向量，返回方阵X，它的大小为n+|k|，向量v的元素位于X的第k条对角向上。k=0表示主对角线，k>0为主对角线以上，k<0为主对角线以下。2X=diag(v)：将向量v的元素放在矩阵X的主对角线上，等同于上面k=0的情况。3v=di

28、ag(X,k)：对于矩阵X，返回列向量v，它的元素由X的第k条对角线的元素构成。4v=diag(X)：返回X的主对角线元素，等同于上面k=0的情况。输入：v=1 2 3;diag(v,0)显示：ans =      1     0     0     0     2     0     0  

29、60;  0     3输入：diag(v,-1) 显示：ans =      0     0     0     0     1     0     0     0     0 

30、    2     0     0     0     0     3     0输入：X=1 2 3;4 5 6;7 8 9 显示：X =      1     2     3  

31、0;  4     5     6     7     8     9输入：diag(X) 显示：ans =      1     5     9输入：diag(X,1) 显示：ans =      2  &#

32、160;  6(3)矩阵的提取函数tril和triu 函数tril用于提取下三角矩阵，用法如下：1L=tril(X)：返回X的下三角部分，其余部分用“0”补齐。2L=tril(X,k)：返回X的第k条对角线以下的元素，其余部分用“0”补齐。k=0是主对角线，k>0位于主对角线以上，k<0位于主对角线以下。函数triu用于产生或提取上三角矩阵，用法如下：1U=triu(X)：返回X的上三角部分元素，其余部分用“0”补齐。2U=triu(X,k)：返回X的第k条对角线以上的元素，其余部分用“0”补齐。k=0是主对角线，k>0位于主对角线以上，k<0位于主对角线以下

33、。输入：A=1,2,3;4,5,6 显示：A =      1     2     3     4     5     6输入：tril(A) 显示：ans =      1     0     0   

34、60; 4     5     0输入：tril(A,1) 显示：ans =      1     2     0     4     5     6输入：triu(A) 显示：ans =      1     2     3     0     5&#