云南省2016中考数学 试题研究 三、解答题重难点突破 题型四 函数与几何图形的综合题

1、函数与几何图形的综合题针对演练类型一 与三角形形状有关的问题1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A(0，6)和点C(6，0)(1)求抛物线的解析式(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P，使得PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015南通13分)已知抛物线yx22mxm2m1(m是常数)的顶点为P，直线l：yx1.(1)求证点P在直线l上；(2)当m3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x

2、轴下方抛物线上的一点，ACMPAQ(如图)，求点M的坐标；(3)若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值第2题图3. (2015宜宾12分)如图，抛物线yx2bxc与x轴分别相交于点A(2，0)、B(4，0)，与y轴交于点C，顶点为点P.(1)求抛物线的解析式；(2)动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.当四边形OMNH为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由第3题图

3、类型二与四边形形状有关的问题1. 如图，已知直线yx8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB的中点，抛物线yax2bxc(a>0)过O、A两点，且其顶点的纵坐标为.(1)分别写出A、B、C三点的坐标；(2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015毕节16分)如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；(3)是否存在过A

4、、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由第2题图3. (2015广安10分)如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：yx2经过点B(x，1)与x轴、y轴分别交于点H、F，抛物线yx2bxc顶点E在直线l上(1)求A、D两点的坐标及抛物线经过A、D两点时的解析式(2)当该抛物线的顶点E(m，n)在直线l上运动时，连接EA、ED，试求EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围(3)设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A、C、E、G为顶点的四边形能否成为平行四边

5、形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由第3题图4. (2015梧州13分)如图，抛物线yax2bx2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B(4，0)、C(2，0)连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过点D作DEx轴，垂足为点E，交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当G与其中一条坐标轴相切时，求点G的横坐标(3)过D点作直线DHAC交AB于H，当DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标第4题图5. (2015

6、龙东地区10分)如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，ODE是由OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x26x80的两个根，且OCBC.(1)求直线BD的解析式(2)求OFH的面积(3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由第5题图类型三与三角形相似有关的问题1. (2015黔南州12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段

7、AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b，c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015牡丹江10分)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BDy轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x212x360的两根，BC4，BAC45°.(1)求点A、C的坐标；(2)反比例函数y的图象经过点B，求k的值；

8、(3)在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由第2题图3. (2015随州12分)如图，已知抛物线y(x2)(x4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，CDx轴，交抛物线于点D，M为抛物线的顶点(1)求点A、B、C的坐标；(2)设动点N(2，n)，求使MNBN的值最小时n的值；(3)P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与ABD相似(PAB与ABD不重合)？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4. (20

9、15鄂州12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2bxc的对称轴是x，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.(1)直接写出点B的坐标；求抛物线解析式(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由第4题图类型四与面积有关的问题1. (2015武威10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴

10、与x轴相交于点M.(1)求此抛物线的解析式和对称轴；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015贵港10分)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C (0，3)，其对称轴l为x1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上当PANA，且PANA时，求此时点P的坐标；当四边形PABC的面积最大时，求四

11、边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标第2题图3. (2015莱芜12分)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，2)，B(0，2)，其对称轴为直线x，C(0，)为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得ADE的面积最大，并求出最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ADF是直角三角形？如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由4. (2015深圳9分)如图，关于x的二次函数yx2bxc经过点A(3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上(1)求

12、抛物线的解析式；(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在求点P，若不存在请说明理由；(3)如图，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC3SEBC，若存在，求点F坐标，若不存在说明理由第4题图5. (2015攀枝花12分)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q

13、，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第5题图6. (2015达州12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数yx2bxc的图象抛物线经过A、C两点(1)求该二次函数的表达式；(2)F、G分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；(3)抛物线上是否存在点P，使ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第6题图类型五与线段有关的问题1. (201

14、5锦州14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2经过点A(1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA、CD、PD、PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)当PDB的面积等于CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m>0，n>0时，过点P作直线PEy轴于点E交直线BC于点F，过点F作FGx轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值2. (2015大连12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m，m)翻折矩形OABC，使点A与

15、点C重合，得到折痕DE.设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C、F、D的抛物线为yax2bxc.(1)求点D的坐标(用含m的式子表示)；(2)若点G的坐标为(0，3)，求该抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PMEA？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由第2题图【答案】题型四 函数与几何图形的综合题类型一 与三角形形状有关的问题1. 【思路分析】(1)利用待定系数法通过点A、C的坐标计算b、c的值，得到该抛物线的解析式；(2)由抛物线的解析式得出点B的坐标，结合其他点的坐标判断ABC的形状；(3

16、)利用AC的垂直平分线不平行于抛物线的对称轴，必然与抛物线存在的两个交点都能成为点P,使得PAC为等腰三角形.解：(1)将A(0，-6)和C(6，0)代入y=x2+bx+c中，得 c=-636+6b+c=0，解得 b=-5c=-6，抛物线的解析式为y=x2-5x-6；(2)由x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6，点B的坐标为B(-1，0)，即点B在(-6，0)与原点之间，又OA6，OC=6,OAC=OCA=45°，BAC为锐角，ABC为锐角三角形；(3)存在满足条件的点P，使得PAC是以AC为底的等腰三角形，分两种情况讨论，抛物线上存在两个点P能使得PAC是以AC为底的等腰三

17、角形.如解图，设M为线段AC的中点，则OM为AC的垂直平分线，直线OM与抛物线必有的两个交点都是满足条件的点P，第1题解图A(0，-6)，C(6，0)，点M的坐标为(3，-3)，设直线OM的解析式为y=kx，将点M(3，-3)代入得，k=-1，即直线OM的解析式为y=-x，联立 y=-xy=x2-5x-6，得x2-4x-6=0， x1=2-y1=-2，或 x2=2+y2=-2-，点P的坐标为(2-，-2)或(2+，-2-).2. (1)证明：yx2-2mx+m2+m-1(x-m)2+m-1，顶点P(m，m-1).将xm代入yx-1得ym-1，点P在直线yx-1上.(3分)(2)解：当m-3时，

18、抛物线解析式为yx2+6x+5，令x=0,y=5,点C的坐标为(0，5)，作PFx轴于点F，MEy轴于点E，QGy轴于点G.如解图，第2题解图联立 y=x2+6x+5y=x-1，解得 x1=-3y1=-4, x2=-2y2=-3，P(-3，-4)，Q(-2，-3).yx2+6x+5(x+5)(x+1)，A(-5，0)，B(-1，0)，(5分)QG=3,AG=5-2=3,CAOACO45°，OAQ=45°，APF90°-(PAQ+45°)45°-PAQ，MCE45°-ACM,ACMPAQ,APFMCE，RtCMERtPAF，(7分).设

19、点M的坐标为(x,x2+6x+5),则ME=-x,CE=-x2-6x,PF=4,AF=2.,解得x1=-4,x2=0(舍去).则x2+6x+5=-3,M(-4，-3).(12分)(3)解：m的值为0，.(13分)【解法提示】联立抛物线解析式和直线l的解析式得y=x2-2mx+m2+m-1y=x-1,解得 x1=my1=m-1， x2=m+1y2m，P(m,m-1),Q(m+1,m),由题意，OPQ为等腰三角形，OP2m2+(m-1)2=2m2-2m+1,OQ2=(m+1)2+m2=2m2+2m+1,PQ2=(m+1-m)2+ m-(m-1)2=2,当OP2OQ2时，2m2-2m+1=2m2+2

20、m+1,解得m=0.当OQ2PQ2时，2m2+2m+1=2,解得m1=,m2=.当OP2PQ2时，2m2-2m+1=2,解得m1=,m2=.综上，当OPQ为等腰三角形时，m的值为0，,.3. 【思路分析】(1)将A、B两点坐标代入函数解析式，求得其待定系数b、c的值即可.(2)如解图,根据已知，点M和点N移动速度相同，因此四边形OMHN若为矩形，则OM=ON，且NH=OM，HM=ON，所以可以得到点H到x轴与到y轴的距离相等，又因为点H在抛物线上，设点H横坐标为t，则它的纵坐标为-t2+t+4，再根据以上关系得出一个关于t的一元二次方程.先假设点F存在，用一个未知数m表示出点F的横坐标和纵坐标

21、，进而用m表示出BF2、FP2并求PB2的值，然后根据勾股定理分两种情况分别进行求解.解： (1)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0)， -×(-2)2-2b+c=0-×42+4b+c=0，解得 b=1c=4，(2分)抛物线的解析式为y=-x2+x+4.(3分)(2)如解图,设经过t秒后，四边形OMHN为正方形，则第3题解图OM=t，ON=t,点H的坐标为(t,- t2+t+4),四边形OMHN为正方形,-t2+t+4=t,解得t1=2,t2=-2 (不符合题意，舍去),(5分)点H的坐标为(2，2).(6分)设存在点F,使PFB为直角三角形，

22、由(1)得点B(4，0)，点C(0，4)，设直线BC的函数解析式为y=kx+b(k0)， 4k+b=0b=4,解得 k=-1b=4,直线BC的解析式为y=-x+4,设点F的横坐标为m，则点F的纵坐标为-m+4,抛物线的解析式为y=-x2+x+4,y=- (x-1)2+,抛物线顶点P的坐标为(1，),PB2=(4-1)2+(0-)2=,FP2=(1-m)2+(-4+m)2=2m2-m+,BF2=(4-m)2+(-m+4)2=2m2-16m+32，(8分)点P为抛物线顶点,当PFB=90°时，如解图,BF2+FP2=PB2，2m2-16m+32+2m2-m+=,4m2-17m+4=0,解

23、得m1=4,m2=,若能组成直角三角形，则点F在点P左侧,第3题解图m1,m= ,-m+4= ,点F的坐标为(, ),(10分)当FPB=90°时，如解图,第3题解图 PB2+FP2=BF2，+2m2-m+=2m2-16m+32,解得m= ,-m+4= ,点F的坐标为(, ).综上所述，点F的坐标为(，)或(，).(12分)【难点突破】本题的难点是第(2)问，要求点F的坐标，首先假设点F存在，根据抛物线上各点的位置关系，表示出线段长，由于PFB的直角顶点不确定，所以求解过程中需分两种情况进行讨论.【一题多解】假设存在点F使PFB为直角三角形.()如解图，当PFB=90°时，

24、设抛物线的对称轴与x轴交于点E，过F作FDPE于点D，第3题解图OCOB,OC=OB=4，OCB=OBC45°，直线BC的解析式：y=-x+4，过F作FDOB交PE于点D,则DFBCBO=45°,又PFB=90°,PFD=45°，PD=FD，设F(t,-t+4)，由(1)知P(1, )，则PD=-(-t+4)，FD=1-t，-(-t+4)=1-t，t=,-t+4=,F(, ).()如解图,当FPB=90°时，过F作FDPE于点D，FPD+DPB=90°，第3题解图又DPB+PBO=90°，FPD=PBO，tanFPD=tan

25、PBO，即，t=,-t+4=，F(, ).综上所述，点F的坐标为(，)或(,).类型二 与四边形形状有关的问题1. 解：(1)直线y-x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，令y=-x+80，x6,即A(6,0),令x=0,y0+88，即B(0,8).C是线段AB的中点，3，4，A(6，0)、B(0，8)、C(3，4)；(2)抛物线经过点O(0,0),点A(6,0)，顶点的纵坐标为-，其顶点坐标为(3，-)， c=036a+6b+c=09a+3b+c=-,解得 a=b=-c=0,抛物线的函数解析式为yx2-x； (3)存在点P，使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形，AOB90°，A(

26、6，0)、B(0，8)，AB =10,C是AB的中点，OC= AB=BC=5,OB=8,OBOC，且OBBC，当以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形时，OB是菱形的对角线，连接PC，如解图，则OB是PC的垂直平分线，第1题解图点P与点C关于直线OB对称，即P与C关于y轴对称，C(3，4)，P(-3，4)，把点P(-3，4)代入抛物线解析式y=x2-x中，当x-3时，y×(-3)2-×(-3)4，点P(-3，4)在抛物线上.故在抛物线上存在点P，使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形，点P的坐标是(-3，4).2. 解：(1)抛物线与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，(

27、2分)y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(4分)(2)抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，点M的坐标为(1,-4).M与M关于x轴对称，点M的坐标为(1,4)，(6分)设直线AM的解析式为y=kx+m，将点A(-1,0)，点M(1，4)代入得-k+m=0k+m=4，解得 k=2m=2，直线AM的解析式为y=2x+2，(8分)与抛物线y=x2-2x-3联立得 y=2x+2y=x2-2x-3，解得 x1=-1y1=0, x2=5y2=12，点C的坐标为(5,12)，(10分)又AB=4，SABC=×4×12=24.(12分) (3)存在.理由如下：如解图，四边形

28、APBQ是正方形，PQ垂直且平分AB，AB垂直且平分PQ，且PQ=AB，第2题解图设PQ与x轴交点为N，则PN= AB=2,点P的坐标为(1,2)或(1，-2). (13分)设过A、B两点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将点(1,2)代入得a=- ，此时抛物线解析式为y=- (x+1)(x-3)=- x2+x+ ；(15分)将点(1，-2)代入得a=，此时抛物线解析式为y= (x+1)(x-3)= x2-x- .综上，存在这样的抛物线2条，其解析式为y=-x2+x+或y=x2-x-.(16分)【易错分析】在确定四边形APBQ为正方形时，一定要注意点P可能在x轴上方，也可能在x轴下

29、方，不要漏掉任何一种情况.3. 【思路分析】(1)把B点坐标代入一次函数的解析式中求出B点的横坐标，进而得到A、D点的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式.(2)把E点坐标代入一次函数解析式，得到n关于m的关系式，根据三角形的面积公式列出S与m的函数解析式.(3)分情况讨论，假设存在E点，根据平行四边形的性质，列方程求E点坐标便可.解：(1)把B点的坐标(x,1)代入y=x+2中，得x+2=1,解得x=-2,B(-2,1),正方形ABCD的边长为1，A(-2，0),(1分)则D(-3,0)，(2分)把A(-2，0),D(-3,0)代入抛物线的解析式中，得 -4-2b+c=0-9-3b+c=

30、0,解得 b=-5c=-6，经过A、D两点的抛物线的解析式为y=-x2-5x-6.(4分)(2)E(m，n)在直线y=x+2上，n=m+2,(5分)根据三角形的面积公式得，S=AD·|m+2|=|m+2|，当m+20，即m-4时，S= (m+2)=14m+1；当m+20，即m-4时，E、A、D三点共线，此时不构成三角形；当m+2<0，即m<-4时，S= (-m-2)=- m-1,综上可知，S= m+1(m-4)-m-1(m<-4). (7分)(3)存在点E，使得以A、C、E、G为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况：当AC为对角线时，此时EG与AC则互相平分，这不可

31、能存在，故此情况不存在；(8分)第3题解图当AC为平行四边形的边时，如解图所示，E点在y轴左边，即为E点，过E点作EMy轴，E(m，m+2),抛物线是由y=-x2-5x-6平移得到的，设此时的抛物线的解析式为y=-(x-m)2+m+2，即y=-x2+2mx-m2+m+2,G(0，-m2+m+2),在RtEMG中，根据勾股定理可得EG2=EM2+GM2=m2+(m+2)-(-m2+m+2)2=m4+m2，又平行四边形的对边相等，EG=AC=，EG2=AC2,即m4+m2=2,解得m2=1,(9分)m<0，m=-1.故存在点E(-1，)，使得四边形AGEC为平行四边形.(10分)4. 【思路

32、分析】(1)将B、C两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+2得方程组求解，即可求得抛物线的解析式；(2)利用(1)中求出的二次函数解析式，确定出A点的坐标，然后根据A、B两点的坐标求出AB的解析式，分别用含有参数的代数式表示出圆的半径以及圆心到坐标轴的距离，然后分G与y轴相切和G与x轴相切两种情形来讨论即可求解.(3)根据DHAC，DEx轴，确定出当DF的值最大时，DHF的面积最大，再根据平移的性质，确定使D、H、M、N四点组成的平行四边形的M、N两点的横坐标即可.解：(1)将B(4，0)、C(-2，0)代入y=ax2+bx+2，得 16a+4b+2=04a-2b+2=0,(2分) 解得 a=

33、-b=，(3分)抛物线的解析式为y=-x2+x+2；(4分)(2)令x=0，即y=2，则A(0，2)，设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将点A(0，2)、B(4，0)代入中，得 b=24k+b=0，解得 k=-b=2，直线AB的解析式为：y=-x+2，设点D的坐标为(t，-t2+t+2)(0<t<4)，则点F的坐标为(t，-t+2)，G点与D点关于F点对称，G点的坐标为(t，t2-t+2)，(5分)如果G与y轴相切，则t=|-t2+t+2-(t2-t+2)|，解得t1=2,t2=6>4(舍去)，t3=t4=0(舍去)；(6分)如果G与x轴相切，则t2-t+2=|-t2

34、+t+2-(t2-t+2)|，解得t1=，t2=4(舍去)，t3=-2<0(舍去)，t4=4(舍去).(7分)综上所述，当t=2或时，G与坐标轴相切，当G与x轴相切时，点G的横坐标是，当G与y轴相切时，点G的横坐标是2.(8分)(3)点M、N的横坐标分别为2-2，-2或2+2，+2.(13分)【解法提示】由于DH始终平行于AC，FD始终垂直于x轴，所以不管D点怎么变化，DHF的形状都不会改变，于是当DF的值最大时，DHF的面积就最大.由(2)可知DF=-t2+t+2-(-t+2)=- t2+t，当t=-=2时，DHF的面积最大，此时D(2,2)，F(2,1),DHAC，AC的解析式可求得

35、为：y=x+2，设DH的解析式为：y=x+b，代入点D(2,2),得b=0，即DH的解析式为：y=x，第4题解图解方程组y=-x+2y=x，可求得H(，),如解图，过点H作HKDE于点K，则HK=2-=DK，当MNDH，MN=DH时，四边形DHMN为平行四边形,设N(n,- n+2)，由于四边形DHMN是平行四边形，把点N平移到M，就等于把点D平移到H,而把点D平移到H，是把D点横坐标向左移动个单位，而把纵坐标向下平移个单位，M(n-，-n+)，M点在抛物线上，- (n-)2+ (n-)+2=-n+,解得n1=，n2=,M1 (2-2,)，N1(-2,+),M2 (2+2,-),N2(+2,-

36、).综上所述，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，点M、N的横坐标分别为2-2，-2或2+2，+2.【难点突破】本题的难点在于第(3)问，如何通过已知条件确定DHF的面积最大时的情况，还有在确定使D、H、M、N四点组成平行四边形时，要通过点平移来确定M、N两点的横坐标.5. 【思路分析】(1)先解已知的一元二次方程，求得B、D两点的坐标，再根据待定系数法求得结果.(2)求出直线OE的解析式，再求出两直线的交点H的坐标，以及F的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可.(3)根据DF为矩形的边或对角线进行确定N点的坐标便可.解：(1)x2-6x+80，解得

37、x1=2,x2=4,OC>BC,OC=4,BC=2，B(-2,4)，ODE是OCB绕点O顺时针旋转90度得到的，OD=OC=4,DE=BC=2,D(4,0)，设直线BD的解析式为y=kx+b(k0)， -2k+b=44k+b=0，解得 k=-b=，直线BD的解析式为y=-x+.(3分)(2)DE=2,E(4,2)，直线OE的解析式为y=x，联立 y=-x+y=x,解得 x=y=,H(,),H点到y轴的距离为，又由BD的解析式可得F(0, ),SOFH.(6分)(3)以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，第5题解图DFM是直角三角形.当MFD为直角时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点

38、G，如解图，BD的解析式为y=-x+且直线FM与直线BD垂直，直线FM的斜率是，又直线FM过F(0，)点，直线FM的解析式为y=x+,M(-，0),OD=4,OF=，MFD=MFO+OFD=90°，又MFO+FMO=90°,NMO=DFO,又MOF=FOD=90°,RtFOMRtDOF,即=,OM=,M(-,0),点G是MD的中点，G(,0),同时点G又是FN的中点，根据两点的中点坐标公式可得N(，-)，当MDF为直角时，点M在y轴上，连接DN交FM于点G，如解图,BD的解析式为y=-x+且直线MD与直线BD垂直，又直线MD过D(4,0)点，直线MD的解析式为y=

39、x-6,OF=，OD=4,同理可得，即，OM=6,M(0,-6),点G是FM的中点,G(0,- ),同时点G又是DN的中点,根据两点的中点坐标公式可得N(-4，-).第5题解图当FMD为直角时，点M是原点，如解图,由图可知，四边形FMDN为矩形，所以N点的坐标是(4，).综上所述，点N存在，坐标为(，-)，(-4，-),(4，).(10分)类型三 与三角形相似有关的问题1. 解：(1)由抛物线y=-x2+bx+c过点A(0,4)和C(8，0),(1分)可得 c=4-×64+8b+c=0, 解得 c=4b=. (4分)(2)AOP=PEB=90°，OAP=90°-A

40、PO=EPB,AOPPEB，PB是MP旋转所得，PB=MP，又M是AP的中点，AP=2MP2PB，相似比为=2,(5分)AO=4,PE=2,OE=OP+PE=t+2，又DE=OA=4，点D的坐标为(t+2,4)，(6分)当点D落在抛物线上时，有- (t+2)2+ (t+2)+4=4,解得t=3或t=-2.t>0，t=3,故当t为3时，点D落在抛物线上.(7分)(3)存在t,使得以A,B,D为顶点的三角形与AOP相似.理由：当0<t<8时，若POAADB,由(2)知AOPPEB且相似比为2，则2，BE=OP，BD=4-t，则，即,整理得t2+16=0,t无解;(8分)若POAB

41、DA,同理，解得t=-2±2 (负值舍去)；(9分)当t>8时，若POAADB,则，即,解得t=8±4 (负值舍去);(10分)若POABDA，同理，解得t无解.(11分)综上所述，当t=-2+2 或t=8+4 时，以A,B,D为顶点的三角形与AOP相似.(12分)2. 【思路分析】(1)解一元二次方程得出方程的根，便可求出点的坐标；(2)过点B作BEAC于点E，设OE=x,在RtBCE中，由勾股定理列出方程便可求出x，进而得出B点坐标，问题就迎刃而解；(3)根据相似三角形的比例线段进行解答即可.解：(1)由x2-12x+36=0，解得：x1=x2=6,OA=6,OC

42、=6，A(-6,0)，C(6,0).(2分) (2)过点B作BEAC于点E，如解图，第2题解图设OE=x,则CE=6-x,AE=6+x，BAC=45°，BE=AE=6+x，在RtBCE中，BE2+CE2BC2，即(6+x)2+(6-x)2=(4 )2，x1=2,x2=-2(舍去)，B(2,8)，将点B坐标代入y= 中，k=16.(6分)(3)存在，满足条件的点P有5个，坐标为（0，12），（0，6），（0，2），（0，4+2 ），（0，4-2 ）（写出任意两个即可）.(10分)【解法提示】设P(0，y)，ODB=90°，DOA=90°，PDB与POA对应.两三角形

43、相似共有四种情况：PBDPAO、PBDAPO、BPDPAO、BPDAPO,依次讨论即可，下面以第一个为例分析，后面的情况类似.PBDPAO，即，y=12或y=6，P1(0,12),P2(0,6).同理，由其他三种情况的比例关系类似，可求得P3(0，2)，P4(0，4+2)，P5(0，4-2.满足条件的点P的个数是5个.3. 【思路分析】(1)A、B、C是抛物线与坐标轴的交点，故当y0时,可计算A、B的坐标，当x=0时，可计算C的坐标；(2)作B(或M)关于x=-2的对称点B，连接BM，与x=-2的交点即N，由BM的解析式与x=-2可确定n值；(3)假设满足条件的点P存在，分类讨论：在第一、二、

44、四象限，x轴下方.通过数形结合可知，一、二象限内两点关于抛物线对称轴对称，故求其中一个可知另一个，具体方法是过D作DEx轴于点E，过P作PFx轴于点F，在讨论PAFDAE的前提下计算ABP的边长和点P坐标，然后根据“两边对应成比例且夹角相等”来检验PAB和ABD是否相似；点P在x轴下方时易知其和点D关于抛物线对称轴对称.解：(1)抛物线解析式为y= (x+2)(x-4),令x=0得y=-,令y=0得x1=-2,x2=4,A(-2,0)，B(4,0)，C(0,- ).(3分) (2)如解图，过点A(-2,0)作y轴平行线l，第3题解图则点B关于l的对称点B(-8，0)，由抛物线顶点坐标公式得M(

45、1，-).连接BM与l的交点即为使MN+BN值最小的点N.设直线BM的解析式为y=kx+b（k0）,则 -8k+b=0k+b=-，解得 k=-b=-,直线BM的解析式为y=-x-.当x=-2时,n=-.(7分)(3)假设存在点P(t, (t+2)(t-4),使P、A、B为顶点的三角形与ABD相似.下面分三种情况讨论：()当点P在第一象限时，显然PBA为钝角，BAD与ABD为锐角，过D作DEx轴于点E，过P作PFx轴于点F，易得D(2，-)，PF=（t+2)(t-4),AF=t+2,DE=,AE=4.第3题解图若PAFDAE，则PAFDAE，即4× (t+2)(t-4)= (t+2)，

46、解得：t1=-2(舍去)，t2=6，当t=6时，PF=2，AF=8，PA=6，又AD3，当t=6时，PAB与BAD相似，且P(6,2).若PAF=DBE，则PAFDBE，即2× (t+2)(t-4)= (t+2)，解得：t1=-2(舍去)，t2=8，当t=8时，AF=10，PF=5，PA=，DE，BD=，显然且，当t=8时，PAB与ABD不可能相似.()点P为第二象限时，根据对称性易知存在点P(-4，2)，使PABBDA(当然，也可以像()中一样计算得出).()点P在x轴下方时，根据对称性易知存在点P(0，-)，使PABBDA.综上所述，存在点P1(6，2)，P2(-4，2),P3(

47、0,- )三点使得以P、A、B为顶点的三角形与ABD相似.(12分)4. 【思路分析】(1)根据直线解析式，求出点A的坐标，根据对称性可得点B的坐标；求出点A、C的坐标，然后代入抛物线的解析式y=a(x+ )2+k,求出a,k即可；(2)结合抛物线的解析式，设出点P的坐标，过点P作y轴的垂线PE，垂足为E，根据SPACS四边形AOEP-SPEC-SAOC，求得三角形面积与点P的横坐标的二次函数关系式，得到确定根据二次函数最大值，即PAC的面积的最大值，进而可求得点P的坐标；(3)结合抛物线的解析式，设出点M的坐标，然后分三种情况进行讨论，由于两个三角形相似，根据相似三角形对应线段成比例，列出方

48、程求解即可.解：(1)点B的坐标为(1，0).(1分)【解法提示】由直线y=x+2可知，点A的坐标为(-4，0)，点A与点B关于直线x=-对称，点B的坐标为(1，0).由直线y=x+2可知，点A的坐标为(-4，0)，点C的坐标为(0，2)，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,可设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k,(2分)根据题意得 a+k=0a+k=2,解得 a=-k=,抛物线的解析式为y=-(x+)2+-x2-x+2.(4分) (2)如解图，设点P的坐标为(t,-t2-t+2),过点P作y轴的垂线PE，垂足为点E，第4题解图点P为直线AC上方的抛物线的一点，-4<t<

49、0,则PE=-t，OE=-t2-t+2,CE=-t2-t,SPACS四边形AOEP-SPEC-SAOC(-t+4)(-t2-t+2)- (-t)(-t2-t)-×4×2-(t+2)2+4,PAC的面积的最大值为4.(7分)此时点P的坐标为(-2，3).(8分)(3)存在以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似.设点M的坐标为(m,-m2-m+2),点A(-4，0)，B(1,0)，C(0,2)，AB=5,AC=2，BC，AB2AC2+BC2，即ABC是直角三角形，且ACB90°，(9分)当点M在x轴上方，即-4<m<1时，当时，RtAMNRtBAC，,解

50、得：m1=-3,m2=-4(舍去)，点M的坐标为(-3，2)；当时，RtAMNRtABC,解得:m3=0,m4=-4(舍去)，点M的坐标为(0，2)；(10分)当点M在x轴下方，且m>1时，当时，RtAMNRtBAC，,解得：m5=5,m6=-4(舍去)，点M的坐标为(5，-18)；当时，RtAMNRtABC，,解得:m72，m8-4(舍去)，点M的坐标为(2，-3);(11分)当点M在x轴下方，且m<-4时，当时，RtAMNRtBAC,m无解，当时，RtAMNRtABC，,解得：m9=-2+ (舍去)，m10=-2- (舍去),综上所述，存在点M，使得以点A、M、N为顶点的三角形

51、与ABC相似，点M的坐标为(-3，2)或(0，2)或(5，-18)或(2，-3).(12分)类型四与面积有关的问题类型四 与面积有关的问题1. 解：(1)设抛物线的解析式为ya(x-1)(x-5)，把点A(0，4)代入上式，解得a，(1分)y= (x-1)(x-5)= x2-x+4= (x-3)2-,(2分)抛物线的对称轴是直线x3.(3分)(2)存在，P点坐标为(3，).(4分)如解图，连接AC交对称轴于点P，连接BP，BA，第1题解图点B与点C关于对称轴对称，PB=PC，AB+AP+PBAB+AP+PCAB+AC，此时PAB的周长最小，(5分)设直线AC的解析式为ykx+b，把A(0，4)

52、，C(5,0)代入y=kx+b中,得 b=45k+b=0，解得 k-b4，直线AC的解析式为y-x+4，点P的横坐标为3，y-×3+4=，P点坐标为(3，).(6分)(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大，如解图，设N点的横坐标为t，第1题解图此时点N(t，t2-t+4)(0<t<5).(7分)过点N作y轴的平行线，分别交x轴、AC于点F、G，过点A作ADNG,垂足为点D.由(2)可知直线AC的解析式为y-x+4，把xt代入y-x+4得y-t+4，则G(t，-t+4).此时NG-t+4-(t2-t+4)-t2+4t，(8分)AD+CFOC5，SNAC=SANG+SCNG=NG·AD+NG·CFNG·OC×(-t2+4t)×5-2t2+10t=-2(t-)2+,当t时，NAC的面积最大，最大值为，(9分)由t，得yt2-t+4-3，N点坐标为(，-3).(10分)2. 解：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0,3)，其对称轴l为x=-1, a+b+c=0c=3-=-1, 解得 a=-1b=-2c=3，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,(2分)顶