二次函数和相似三角形的综合应用

1、二次函数和相似三角形的综合应用1、如图，已知抛物线y=（x+2）（xm）（m0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧。（1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。2、如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D。（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似

2、，求的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？3、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到DOC。抛物线经过点A、B、C。 （1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t。设抛物线对称轴与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似时点P的坐标；是否存在一点P，使P

3、CD的面积最大？若存在，求出PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由。4、在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H。（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标。 5、已知抛物线C1：y=a（x+1）22的顶点为A，且经过点B（2，1）。（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2

4、个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求SOAC：SOAD的值；（3）如图2，若过P（4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E。问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由。6、如图，已知：如图，直线y=-x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（xk）2h（a0）始终经过点E，过E作EGOA交抛物线于点G，交AB于点F

5、，连结DE、DF、AG、BG。设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒。（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时AFG与AGB是否相似，并说明理由；（3）当ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式。备用图7、如图，二次函数的图象经过点（1，4），对称轴是直线，线段AD平行于轴，交抛物线于点D。在轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA， OB，OD，BD。（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一个动点（不与点O重合），且，求点P的坐标；（3）在坐标

6、平面内是否存在点E使EODAOB？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。8、如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x2-4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上。（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ；（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2。当线段PH=2GH时，求点P的坐标；当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足KPHAEF，求KPH面积的最大值。9、如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点

7、B的抛物线y=x2+bx+c与直线BC交于点D（3，4）。（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标。10、如图，抛物线y=ax22ax+c（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上

8、一个动点，且在CD上方，过点P的直线x=m与线段CD、AC、x轴分别交于点F、M、E，连结PC，则是否存点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由。（3）在（2）的条件下判断PCM的形状，并说明理由。11、平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点（1）直接写出这条抛物线的解析式；（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；（3）如图2，已知

9、D（0，）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线OAB方向运动，设点P运动时间为t秒（0t6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。12、如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点。点D的坐标为（，3），抛物线y=ax2b（a0）经过AB、CD两边的中点。（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作直线BECD于点E，交抛物线于点F，连接DF

10、、AF。设菱形ABCD平移的时间为t秒（0t3）是否存在这样的t，使ADF的周长最小？若存在，求出t的值；若不存，请说明理由。若ADF与DEF相似，求出t的值。13、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，2），交x轴于A、B两点，其中A（1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，

11、请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。14、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m>2）与x轴交于点D。（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m>2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标（用含m的式子表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由。15、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（-1，0），B（4，

12、0），C（0，2）三点。（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出BDA的度数。 16、如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E。（1）求抛物线的函数解析式；（2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时

13、，求BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（3）连结AN，当BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标。17、已知：如图，二次函数y=ax2bxc的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线。（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H。若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标。18、如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（

14、1，0），与y轴交于点C（0，1）。（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）如图1，过点B作BDCA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）如图2，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。19、如图，已知抛物线y=（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C。(1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 (用含b的代数式表示）；(2)请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面

15、积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。20、已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2。（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图二）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。21、如图，抛物线y=（x1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（1，0）。（1）求点B，C的坐标；（2）判断CDB的形状并说明理由；（3）将COB沿x轴向