三角形中做辅助线的技巧32

1、三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线,可向两边作垂线.也可将图对折看,对称以后关系现 角平分线平行线,等腰三角形来添.角平分线加垂线,三线合一试试看 线段垂直平分线,常向两端把线连.线段和差及倍半,延长缩短可试验 线段和差不等式,移到同一三角去.三角形中两中点,连接那么成中位线 三角形中有中线,延长中线等中线.一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线.也可将图对折看,对称以后关系现.角平分线平行线,等腰三角形来添.角平分线加垂线,三线合一试试看.角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等.对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种.

2、从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线,构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边.通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形.至于选取哪种方法,要结合题目图形和条件.与角有关的辅助线一、截取构全等如图1-1 , /AOC=BOC如取OE=OF并连 接DE DF,那么有OEDiOFD从而为我们证 明线段、角相等创造了条件.例1. 如图 1-2, ABZ/CD, BE平分/ BCD CE平分/ BCD点E在AD上,求证：BC=AB+CD例2. ：如图 1-3, AB=2AC /BAD=/ CAD DA=DB 求证 DC! AC例3. ：如图1-4,在

3、AABC中,/ C=2Z B,AD平分/ BAG求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线,在证实 中还要用到构造全等三角形,此题还是证实线段的 和差倍分问题.用到的是截取法来证实的,在长的 线段上截取短的线段,来证实.试试看可否把短的 延长来证实呢？练习1, 在 ABC中,AD平分/ BAC /B=2/C,求证：AB+BD=AC2, ：在 ABC中,/CAB=2B, AE平分/ CA皎 BC于 E, AB=2AC求证：AE=2CE3, ：在 ABC中,AB>AC,AN/ BAC的平分线,M为AD上任一点求证：BM-CM>AB-AC4, ：D是4ABC的/BAC勺外角的

4、平分线AD上的任一点,连接DBDG 求证：BD+CD>AB+AC二、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线, 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证实图2-1问题.例1.如图 2-1 , AB>AD, / BAC= FAC,CD=BC求证：/ ADC廿 B=180分析：可由C向/BAD的两边作垂线.近而证/ ADC 与/B之和为平角.例2.如图 2-2,在 ABC中,/A=90 , AB=AC / ABDW CBD求证：BC=AB+AD分析：过D作Dn BC于E,那么AD=DE=GE那么构造出 全等三角形,从而得证.此题是证实线段的和差倍分问题, 从中利用

5、了相当于截取的方法.P.求证：/ BAC例3.如图2-3, ABC的角平分线BM CN相交于点的平分线也经过点P.分析：连接AP,证AP平分/ BAC即可,也就是证P到ARAC的距离相等.练习:1.如图 2-4/AOPW BOP=15 , PC/OA, PDL OA,图2-4如果 PC=4 贝U PD=()A 4 B 3 C 2 D 12,在ABCt, / C=90 , AD 平分 / CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AC3,：如图 2-5, /BACW CAD,AB>A D CH AB,1AE=2 AB+AD .求证：/ D+/ B=180 .4 .：如图2-6,在正方形ABC

6、Lfr, E为CD的中点,F为BC上的点,/ FAEW DAE 求证：AF=AD+CF图2-75 . ：如图 2-7,在 RtAABC, / ACB=90 ,CD±AB,垂足为 D, A E平分/ CAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H.求证CF=BH三：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,那么截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点, 该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质.如果题目中有垂直于角平分线的线段,那么延长该线段与角的另一 边相交.例1. ：如图 3-1 , / BADW DA

7、C AB>AC,CD_AD于 D, H是 BC中点.一一 1一求证：DH.AB-A. 2分析：延长CD交AB于点E,那么可得全等三角形.问题可证d e图3-2例2.：如图 3-2, AB=AC / BAC=90 , AD为/ A BC的平分线,CE! BE.求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线 与另外一边相交,近而构造出等腰三角形例3.：如图3-3在AABC中,AD. AE分别/ BAC的内、外角平分线,AD=AB CML AD 交 AD过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M求证：AM=ME分析：由AD AE是/BA

8、C内外角平分线,可得EA ,AF,从而有BF/AE,所以想到利用比例线段证相等.例4.：如图3-4,在4ABC中,AD平分/ BAC1_.延长线于 M 求证：AM= (AB+AC 2分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换,作 AB1 一 一D关于AD的对称4AED然后只需证DM=EC另外21 一一,一由求证的结果AM= (AB+AC,即2AM=AB+AC也可尝试作 AC岷于CM勺对称 FCM然后只需证DF=CF即可.练习：1. ：在 ABC中,AB=5 AC=3 D是BC中点,AE是/ BAC的平分线,且CELAE于E,连接DE,求DE2. BE、BF分别是4ABC的/

9、ABC的内角与外角的平分线, AF±BF于F, AE1 BE于E,连接EF分别交 AB AC于M N,求证MN=1 BC 2四、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交, 从而也构造等腰三角形.如图4-1和图4-2所示.图4-1图4-2例 4 如图,AB>AC,/1 = /2,求证：AB-AC>BD-CD例 5 如图,BC>BA BD 平分/ABC 且 AD=CD 求证：/ A+/ C=18Q例 6 如图,AB/ CD AE DE分另I平分

10、/ BAD&/ ADE 求证：AD=AB+GDB练习:1.,如图,/ C=2Z A, AC=2BC求证： ABC直角三角形.2,：如图,AB=2AC /1 = /2, DA=DB 求证：DC!AC3.CE AD是ABC勺角平分线,/ B=60° ,求证：AC=AE+CD4,：如图在ABCt, /A=90° , AB=AC BD是/ ABC的平分线,求证:BC=AB+AD由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半,延长缩短可试验.线段和差不等式,移到同一三角去.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,

11、然后证实剩下局部等 于另一条；2、补短：将一条短线段延长,延长局部等于另一条短线段,然后证实新线 段等于长线段.对于证实有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边,故可想方法放在一个三角形中证实.一、在利用三角形三边关系证实线段不等关系时,如直接证不出来,可 连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证实,如:例1、 如图1-1: D、E为4ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.证实：(法一)将DE两边延长分别交 AB AC于M N,在AlW, AM+AN>MD+DE+N日;)

12、在ABDh/l, MB+MD>BD2)在CENfr, CN+NE>CE(3) 由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE.AB+AC>BD+DE+EC(法二：图 1-2)延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G 在AABFffi GFCffi 仃口皿有：AB+AF>BD+DG+GE角形两边之和大于第三边)(DGF+FC>GE+QB上)(2)DG+GE>D 加上)(3) 由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE .AB+AC&g

13、t;BD+DE4o EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内 角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在 某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上, 再利用外角定 理：例如：如图2-1:D为 ABC内的任一点,求证：/ BDC>/BAC.分析：由于/ BDC与/BAC不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使/ BDC处于在外角的位置,/ BAC处于在内角的位置;证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDCg£C!勺外角, 丁. / BDC> DEC 同理/ DEC> BAC / BDC&

14、gt; BAC 证法二：连接AD并廷长交BC于F,这时/ BD支4ABD的 外角, ./ BDF/BAD 同理,/ CDF/CAD . . / BDF+ / CDF/ BAD+ CAD 即：/ BDC> BAC注意：利用三角形外角定理证实不等关系时,通常将大角放在某三角形的外 角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证实.有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图3-1:AD为 ABC的中线,且/1 = / 2,/3=/4,求证：BE+CF>EF.国!要证be+cf>ef,可利用三角形三边关系定 理证实,须把BE, CF, E

15、F移到同一个三角形中,而由 / 1 = /2,/3=/4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN, FN, EF移到同个三角形中证实：在DM1截取DN=DB连接NE NF,贝U DN=DC在 ADBEP ANDE 中：DN=DB辅助线作法/1 = /2 ' ED=ED公共边. .DB陷 ANDE SAS. BE=NE全等三角形对应边相等同理可得：CF=NF在ZXEFN中EN+FN>EF三角形两边之和大于第三边BE+CF>E F注意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段, 构造全 等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素.三、截长

16、补短法作辅助线.例如：如图6-1:在ABC, AB>AC /1=/ 2, P为AD上 任一点求证：AB-AC>PB-RC分析|要证：AB-AC>PB-PC想到利用三角形三边关系,定理证之,由于 欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC彳# AB-AC=BN再连接PN那么PC=PN又在 PNB中, PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC证实：截长法在AB上截取AN=ACi接PN,在AAPNffnMPC中'AN=AC辅助线作法 */ 1=/ 2 卜AP=AP公共边.AP*AAPCSAS ,PC=PN全

17、等三角形对应边相等在BPN中,有PB-PN<BN三角形两边之差小于第三边BP-PC<AB-AC延长AC至M 使AM=AB连接PM在 4AB所口 AAMP证实：补短法fAB=AM辅助线作法/ 1=/ 2 ()AP=AP公共边.AB% A AMP (SAS. PB=PM全等三角形对应边相等又.在 PCW有：CM>PM-PC角形两边之差小于第三边AB-AC>PB-P C例1 .如图,例2如图,在四边形 ABCg, AC平分/BAD CE AB于E, AD+AB=2AE求证：/ ADC廿 B=18Gb例3：如图,等腰三角形 ABC中,AB=AC /A=108° , B

18、D平分NABC求证：BC=AB+D C例4如图, RtABC中,/ACB=90 , AD是/ CAB的平分线,DMLAB1于 M 且 AM=MB求证：CD=2 DR【夯实根底】例：方法方法方法AABC中,AD是/BAC的平分线,且BD=CD , 1:作DE,AB于E,作DFXACT F,证实二次全等 2:辅助线同上,利用面积倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线方式1:延长AD到E, 使 DE=AD , 连接BE方式2:间接倍长EEN延长 MD!ij N, 使 DN=MD 连接CD作 CFXADT F,作BE LAD的延长线于连接BE【经典例题】例1: ABC中,AB=5 ,

19、AC=3 ,求中线 AD的取值范围提示：画出图形,倍长中线 AD,利用三角形两边之和大于第三边例2:在 ABC中,AB=AC , D在AB上,E在AC的延长线上, DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CEA方法方法方法过 D 作 DG / AE 交 BC 于 G,证实 A DGF A CEF过E作EG / AB交BC的延长线于 G,证实A EFe A DFB过D作DGLBC于G,过E作EHL BC的延长线于证实 A BDe A ECHDBE例3:在 ABC中,AD是BC边上的中线,E是ADAC 于 F,求证：AF=EF上一点,且BE=AC,延长BE交提示：倍长 AD至G,连接BG,证实

20、ABD8ACDA 三角形BEG是等腰三角形例4：如图,在 AABC中,AB = AC , D、E在BC上,且DE=EC过D作DF / BA 交 AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分NBAC提示：方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH例 5: CD=AB , / BDA= Z BAD , AE 是 ABD的中线,求证：/ C= / BAE提示：倍长AE至F,连结DF证实 AABEAFDE (SAS进而证实 AADMAADC(SAS)【融会贯穿】1、在四边形 ABCD中,AB / DC, E为BC边的中点,/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线 相交于点F.试

21、探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系,并证实你的结论提示：延长AE、DF交于G证实 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC2、如图,AD为AABC的中线,DE平分NBDA交AB于E, DF平分/ ADC交AC于F.求第14题图证：BE CF EF提示：方法1:在DA上截取 DG=BD ,连结EG、FG 证实 A BDE A GDE A DC障 A DGF 所以 BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:倍长ED至H,连结CH、FH 证实 FH=EF、 CH=BE利用三角形两边之和大于第三边3、：如图, ABC中, C=90 CM AB于M , AT平分 BAC交CM

22、于D,交BC 于 T,过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E,求证：CT=BE.提示：过T作TN LAB于N证实 A BTN A ECD1 .如图,AB/ CD AE DE分另1J平分 / BAD# /ADE 求证：AD=AB+G D2 .如图, ABC中,/ BAC=90 , AB=AC AE是过 A的一条直线,且 B, C在AE的异侧,BBCL AE于 D, CELAE于 E.求证：BD=DE+CE四、由中点想到的辅助线口诀:三角形中两中点,连接那么成中位线.三角形中有中线,延长中线等中线.在三角形中,如果一点是三角形某一边上的中点, 那么首先应该联想到 三角形的中线、中位线、加倍延长中

23、线及其相关性质直角三角形斜边中线性质、 等腰三角形底边中线性质,然后通过探索,找到解决问题的方法.一、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形1即如图 1, AD 是 A ABC的中线,WJ Sa abd=S ace=1 Sa ABC 由于 AABDW A ACD是等底同高的例1.如图2, A ABC中,A皿中线,延长 AD至ij E,使DE=AD DF是A DCE的中线.A ABC的面积为2,求：ACDF的面积X2=1,又因 CD® A AC解：由于AD是A ABC的中线,所以Saacdf ' Saabc='E 的中线,故 Sacd=Saac=1 ,因 DF是 AC

24、DE勺中线,所以 SacdF=7 SacdE=! X1=1 o222. A CDF勺面积为T二、由中点应想到利用三角形的中位线例2.如图3,在四边形ABCLfr, AB=CD E、F分别是BG AD的中点,BA CD的延长线分别交EF的延长线 G A求证：/ BGE=CHE证实：连结BD并取BD的中点为 M 连结ME MF,. ME A BCD勺中位线, .ME ' CD / MEFW CHE.MF是A ABD勺中位线,.MF ' AB,MFEW BGEv AB=CD ME=M尸. / MEFW MFE从而/ BGEW CHE三、由中线应想到延长中线例3.图4,AABC中,AB

25、=5 AC=3连BC上的中线AD=2求BC的长.解：延长 AD至ij E,使 DE=AD 贝U AE=2AD=2 2=4.在 A ACM AEBD中, AD=ED / ADC=EDB CD=BD.AAC*AEBD AC=BE从而 BE=AC= 3在 A ABE中,因 A:+BE=42+32=25=AB,故/ E=90° , BD=7bFTd? =T?77 =V13 ,故 BC=2BD而例4.如图5,A ABC中,AD是/ BAC的平分线, 是BC边上的中线.求证：AABCg等腰三角形.证实：延长 AD到E,使DE=AD仿例3可证：A BED A CAD故 EB=AC / E=Z 2,

26、又/ 1=/ 2,/ 1=/ E,；AB=EB从而AB=AC即A ABC®等腰三角形.四、直角三角形斜边中线的性质例 5.如图 6,梯形 ABCD, ABZ/DC, AC±BQ ADLBD,求证：AC=BD 证实：取 AB的中点E,连结DE CE贝U DE CE分另为RtA ABD Rt A ABC 斜边AB上的中线,故 DE=CE=AB,因止匕/ CDE=T DCE2,.ABZ/DC, ./ CDE= 1, / DCE=2, / 1=/2,在 AADEffi A BCE中,. DE=CE / 1=/ 2, AE=BEA AD图A BCE ；AD=BC从而梯形 ABC此等腰

27、梯形,因止匕AC=BD五、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线例6.如图7, A ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点Eo求证：BD=2CE 证实：延长BA CE交于点F,在ABEF和ABECt,/1=/2, BE=BE /BEF玄 BEC=90 , A BEH A BEC - EF=EC 从而 CF=2CE又/1+/ f=/ 3+/ F=90° ,故 / 1 = /3.在 A ABM AACF中,. / 1=/3, AB=AC Z BAD= CAF=£r宿 AABDAACFBD=CFBD=

28、2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底边CF的中线六中线延长口诀：三角形中有中线,延长中线等中线.题目中如果出现了三角形的中线,常延长加倍此线段,再将端点连结,便可 得到全等三角形.例一：如图 4-1 : AD为4ABC的中线,且/ 1 = /2, /3=/4,求证：BE+CF>ER证实：廷长ED至M,使DM=DE连接CM MR 在BDEffi ACDh/l,r BD=CD中点定义'/1 = /5对顶角相等'' ED=MD辅助线作法 BD陷 ACDIMSAJ5又: /1=/ 2, / 3=/ 4 Z1 + Z2+Z 3+7 4=180° 平角的定义Z 3

29、+7 2=90°即：/EDF=90丁. / FDM= EDF=90在 zED林口 AMDFt'ED=MD辅助线作法| /EDFWFDM已证. DF=DF公共边. .ED/MDFSAS. EF=MF全等三角形对应边相等.在ACM叶,CF+CM>M1角形两边之和大于第三边BE+CF>EF上题也可加倍FD,证法同上注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时, 可通过延长加倍此线段,构 造全等三角形,使题中分散的条件集中例二：如图5-1 : AD为4ABC的中线,求证：AB+AC>2AD分析：要证 AB+AC>2AD 由图想至U： AB+BD>AD,AC+

30、CD>AD以有 AB+AC+BD +CD>AD+AD=2A仄边比要证结论多BD+CD故不能直接证出此题,而由 2AD想到要构造2AD即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去证实：延长AD至E,使DE=AD连接BE, CE.AD为 ABC的中线.BD=CD中线定义在ACDffi zEBD 中BD=CD已证/1 = /2 对顶角相等AD=ED辅助线作法. .AC* zEBDSAS图5-1. BE=CA全等三角形对应边相等在 ABE中有：AB+BE>AE三角形两边之和大于第三边 .AB+AC>2AD练习：1如图,AB=q AC=8 D为BC的中点,求AD的取值范围2

31、如图,AB=CD E为 BC的中点,/ BACW BCA 求证：AD=2AEBEC3 如图,AB=AC AD=AEM为 BE中点,/ BACW DAE=90 .求证：AML DC4, ABC AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图5-2,求证EF=2AD5.：如图AD为ABC勺中线,AE=EFBF=AC常见辅助线的作法有以下几种：1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用维模式是全等变换中的“对折2遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转.3遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线

32、,利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折,所考知识点常常是角平分线的性质定 理或逆定理.4过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是 全等变换中的“平移或“翻转折叠5截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质 加以说明.这种作法,适合于证实线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原三角形各顶 点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线线段造全等1:“希望杯试题,如图 ABC中,AB=5, AC=3那么中线AD的取值范围

33、是2:如图,ABCt, E、F分别在AR AC上,E+C* EF的大小.3:如图,ABCt, BD=DC=ACE是DC的中点,求证：AD平分/ BAE.中考应用09崇文二模以AABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰RtAABD和等腰Rt MCE , /BAD =/CAE =90连接DE, M N分别是BC DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.1如图 当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是线段AM与DE的数量关系是 将图中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转 屋0曰90后,如图所示,1问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.二、截长补短1.如图,AABC 中,AB

34、=2AC A叶分BAC,且 AD=BD 求证：CDLAC2:如图,BDAC/ BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点 E,求证;AB=AC+I003:如图,在 LABC 内,/BAC=60 , NC=40°, p, Q 分别在 BC CA上,并且AP, BQ分别是BAC ,C=AB+BP4:如图,在四边形 ABCD中,BC> BA,AD= CD, BD平分/ABC ,求证:AC =18005:如图在 ABC中,AB>AC, /1 = /2, P为AD上任意一点,求证；AB-AC>PB-PC中考应用08海淀一模如图,在四辿3ABCD中,404瓦,点

35、E是48上一个动人假设乙& =的48 =且 /皿篦二 60,判断AD + AEBC的关系并证实你的结论.解:,例题讲解:、利用转化倍角,构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图中,假设/ ABC=2/C,如果作BD平分/ ABC,那么4DBC是等腰三角形；如图中,假设/ ABC=2/C,如果延长线 CB至ij D,使BD = BA,连结 AD ,那么4ADC 是等腰三角形；如图中,假设/ B=2/ACB,如果以C为角的顶点,CA为角的一边,在形外作/ ACD =/ ACB,交BA的延长线于点 D,那么4DBC是等腰三角形.D

36、 *1、如图, ABC 中,AB=AC, BDAC 交 AC 于 D.求证：/ DBC = - / BAC. 22、如图, ABC 中,/ ACB = 2/B, BC=2AC.求证：/ A=90°.、利用角平分线+平行线,构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形如图中,假设 AD平分/ BAG, AD / EC,那么4ACE是等腰三角形;ADADADEAAAAGECBBDDEEAPBACBB CC B3、如图, ABC中 巳垂足为点F.求证DE=CD, EF=ACAD平分/ BAC, E、F分别在BD、AD4、如图,ABC 求证：EF / AB.

37、CD FC FP作EFXBC,交BA的延长线于点AB = AC,在AC上取点P .AE= AP.EED平分/平分/平分/BAG, BAG, BAG,DE / AG, GE / AB, EF / AD,如图中, 如图中, 如图中,那么4ADE是等腰三角形； 那么AAGE是等腰三角形； 那么AAGE是等腰三角形.三、利用角平分线+垂线,构造等腰三角形.如图1中,D图1当一个三角形中出现角平分线和垂线时,我们就可以寻找到等腰三角形 假设AD平分/ BAG, AD ± DG ,那么4AEG是等腰三角形.5、如图 2,等腰 RtA ABC 中,AB=AC, /BAC = 90°, B

38、F 平分/ ABC, CDXBD 交BF的延长线于 D.求证： BF= 2CD.四：其他方法总结1 .截长补短法6、如图,：正方形 ABCD中,/ BAC的平分线交 BC于E, 求证：AB+BE=AC .2 .倍长中线法题中条件假设有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将 分散条件集中在一个三角形内.7、如图7 AD是4ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且 AE=EF .求证：AC=BF8、 ABC AD是BC边上的中线,分别以 形,如图,求证EF= 2AdAB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角3.平行线法或平移法假设题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对9、 ABC 中,/ BAC=60 ° , / C=40° AP 平分/ BAC 于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ .Rt ,有时可作出斜边的中线.交BC于P, BQ平分/ ABC交AC说明：此题也可以在 AB截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长补短法此题利用“平行法解法也较多,举例如下： 如图1,过O作OD/ BC交AC于D,那么 ADOABO 来解决.如图2,过O作DE / BC交AB于D ,交AC于E, 那么4 ADO AQO , ABO 叁* AEO 来解决. 如图3,过P作PD/ BQ交AB的延长线于 D,那么 APDAPC来解决