自动控制原理第二章 控制系统的数学模型

1、2009-31自动控制原理控制系统的方块图及控制系统的方块图及其传递函数其传递函数2009-32自动控制原理G G( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )图图2 2- -1 14 4 方方块块图图中中的的方方块块信信号号线线方方块块r(t)c(t)（2）信号线信号线( (Signal line)：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。(3)比较点（合成点、相加点）比较点（合成点、相加点）( (Summing Point)：2.3 2.3 控制系统的方块图和传递函数控制系统的方块图和传递函数 一个控制系统一般都由多个环节组成的，每个环节

2、的功能和信号流向都可用一个方块来表示。绘制出每个环节的方块后，按信号的流向将各方块连接起来，则得到系统方块图。2.3.1 2.3.1 方块图概念和绘制方块图概念和绘制（1 1）方块（）方块（Block DiagramBlock Diagram）: :在一个方块内表明输入信号与输出信号间的传递函数。 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 1 1、方块图的概念、方块图的概念2009-33自动控制原理+ +1 11 1+ +2 22 2+ +- -)()(21sRsR)(1sR)(2sR1 11 1- -2 2+ +3 32 2- -3

3、3图图2 2- -1 15 5比比较较点点示示意意图图(4)(4)分支点（引出点、测量点）分支点（引出点、测量点）( (Branch Point)Branch Point)：图图2 2- -1 16 6 分分支支点点示示意意图图P P( (s s) )P P( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 注意：注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。进行相加减的量，必须具有相同的量纲。表示信号测量或引出的位置。 2009-34自动控制原理2 2、典型环节的方框图、典型

4、环节的方框图 一般情况下，系统都是由这几个典型环节按照不同一般情况下，系统都是由这几个典型环节按照不同的方式构成的。的方式构成的。2009-35自动控制原理3、绘制系统方块图、绘制系统方块图1）绘制系统方块图的步骤：）绘制系统方块图的步骤：写出系统各环节的运动方程。写出系统各环节的运动方程。基于运动方程，求取各环节的传递函数。基于运动方程，求取各环节的传递函数。 在电气系统中，可以采用先由实际电路画出相应的运算电路，由运算电路求各环节的传递函数。由各环节的传递函数画出相应的函数方块。由各环节的传递函数画出相应的函数方块。按信号的流向，将各函数方块一一连接起来，即按信号的流向，将各函数方块一一连

5、接起来，即得系统方块图。得系统方块图。2009-36自动控制原理R RC Ci i（a a）iuou图2-20一阶RC网络 解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：idtcuRuuiooi1对其进行拉氏变换得： )2()()()1 ()()()(sCsIsURsUsUsIooi例2-8画出下列RC电路的方块图。2009-37自动控制原理（b b）I I( (s s) )(sUi)(sUoI I( (s s) )（c c）)(sUoI I( (s s) )（d d）)(sUo)(sUo)(sUi将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。据上拉氏

6、变换式 可用方框表示如(b)、(c)-2009-38自动控制原理( (a a) ) 电电路路图图ru1i2i1R2Rcu1C2C( (b b) ) 运运算算电电路路图图1R2R)(1sUC)(sUr)(sUc)(1sI)(2sI11sC21sC画出下列R-C网络的方块图 由图清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压1cu产生影响，这就是负载效应。例2-9(1)(1)直接画出该电路的运算电直接画出该电路的运算电路如图路如图(b)(b)；(2)(2)根据运算电路列写运算方程。根据运算电路列写运算方程。(3)(3)根据运算方程作出对应的根据运算方程

7、作出对应的框图；框图；(4)(4)根据信号的流向将根据信号的流向将各方框依次连接起来各方框依次连接起来, ,系系统方框图如统方框图如(c)(c)。解：)(1)(22sIsCsUC212)()()(RsUsUsICC)()(1)(2111sIsIscsUC111)()()(RsUsUsICr2009-39自动控制原理- - - -C CB BA A（ c c） 方方 块块 图图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC2009-310自动控制原理列写运算电路方程组的顺序：列写运算电路方程组的顺序：从输出量开始写方程，以系统输出量作为第一

8、从输出量开始写方程，以系统输出量作为第一个方程左边的量。个方程左边的量。每个方程的左边只有一个量，从第二个方程开每个方程的左边只有一个量，从第二个方程开始，每个方程左边的量是前一个方程右边的中间始，每个方程左边的量是前一个方程右边的中间量（未知量）。量（未知量）。列方程时尽量采用已经出现过的量。列方程时尽量采用已经出现过的量。输入量至少要在方程的右边出现一次。输入量至少要在方程的右边出现一次。2009-311自动控制原理图图2 2- -2 22 2 带带隔隔离离放放大大器器的的两两级级R RC C网网络络隔离放大器1R2R1Cru2Ccu（a）K K11R21R11sC21sC)(sUr)(s

9、Uc(b)2009-312自动控制原理2.3.2 2.3.2 几个重要概念及术语几个重要概念及术语+ + +H H ( ( s s ) )- -+ +R R ( ( s s ) )E E ( ( s s ) )B B ( ( s s ) )N N ( ( s s ) )打打 开开 反反 馈馈)(1sG)(2sGC (s )()()()()(21sGsGsGsEsC)()()(sHsCsB(1)前向通路（道）传递函数前向通路（道）传递函数(2)反馈通路（道）传递函数反馈通路（道）传递函数图图217 典型系统方块图典型系统方块图干扰信号给定信号给定信号输出信号输出信号偏差信号偏差信号反馈信号反馈信

10、号令N(s)=0 （没有扰动信号）打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比。令N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。2009-313自动控制原理(3)(3)开环传递函数（开环传递函数（Open-loop Transfer FunctionOpen-loop Transfer Function）定义：前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数定义：前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数的乘积。的乘积。即：假设即：假设N(s)=0N(s)=0，主反馈信号，主反馈信号B(s)B(s)与偏差信号与偏差信号E(s)E(s)之比。之比。)()()()()()(

11、)(21sHsGsHsGsGsEsB(4)(4)输出对参考输入的闭环传递函数输出对参考输入的闭环传递函数（Closed-loop Transfer FunctionClosed-loop Transfer Function）即：令N(s)=0，输出信号C(s)与参考输入信号R(s)之比。)()(1)()()(1)()()()(21sGsHsGsGsHsGsGsRsC推导：因为)()()()()()()(sGsHsCsRsGsEsC整理并移项得：)()()()()(1 sRsGsCsHsG2009-314自动控制原理(5)(5)误差对参考输入的传递函数误差对参考输入的传递函数)()()(sGsE

12、sC将上式代入闭环传函，消去G(s)即得：开环传递函数11)()(11)()(sGsHsRsE因开环传递函数前向通路传递函数1)()(1)()()(sGsHsGsRsC若为正反馈则闭环传函分母变为：1-开环传递函数闭环传递函数：闭环传递函数：即：令N(s)=0，误差信号E(s)与输入信号R(s)之比 。误差对参考输入的传递函数：误差对参考输入的传递函数：注意：注意：2009-315自动控制原理- -N N( (s s) )C C( (s s) )H H( (s s) )(2sG)(1sG+ + +H H( (s s) )- -+ +R R( (s s) )E E( (s s) )B B( (s

13、 s) )N N( (s s) )打打开开反反馈馈)(1sG)(2sGC(s)图图2-18 2-18 输出对扰动的结构图输出对扰动的结构图 利用公式*，直接可得：)()(1)()()()(2sHsGsGsNsCsMN(6)(6)输出对扰动的传递函数输出对扰动的传递函数 （R(s)=0）)()(1)()()(sGsHsGsRsC*输出对扰动的传递函数：输出对扰动的传递函数：2009-316自动控制原理（7 7）偏差对扰动的闭环传递函数）偏差对扰动的闭环传递函数（假设R(s)=0） H H( (s s) )N N( (s s) )E E( (s s) )(1sG)(2sG-1图图2-19 2-19

14、 误差对扰动的结构图误差对扰动的结构图 )()(1)()()()()(2sHsGsHsGsNsEsMNE利用公式*，直接可得：)()(1)()()(sGsHsGsRsC*2009-317自动控制原理线性系统满足叠加原理，当输入线性系统满足叠加原理，当输入R(s)R(s)与扰动与扰动N(s)N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：系统总的输出为：系统总的输出为：)()()(1)()()()(1)()(2sNsHsGsGsRsHsGsGsC系统总的误差为：系统总的误差为：)()()(1)()()()()(11)(2sNsHsGsHsGsRsH

15、sGsE 由于由于N(s)N(s)极性的随机性，因而在求极性的随机性，因而在求E(s)E(s)时，不能认时，不能认为利用为利用N(s)N(s)产生的误差可抵消产生的误差可抵消R(s)R(s)产生的误差，可能叠产生的误差，可能叠加。加。注意：注意：2009-318自动控制原理R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGR R( (s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b）图图2-23 2-23 环节的串联连接环节的串联连接 （1 1）串联连接）串联连接 几个函数方块首尾相连，前一个方几个函数方块首尾相连，

16、前一个方块的输出量是后一个方块的输入量。块的输出量是后一个方块的输入量。2009-319自动控制原理特点：特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。前一环节的输出量就是后一环节的输入量。 )()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211sRsGsGsGsUsGsCsRsGsGsUsGsUsRsGsU)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。的乘积。niisGsG1)()(上述结论可推广到上述结论可推广到n n个环节相串个环节相串联，其等效传递函数

17、为联，其等效传递函数为： 求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时，则有：传递函数时，则有：表明：三个环节的串联可表明：三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。以用一个等效环节来代替。2009-320自动控制原理（a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sCG G( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )图图2-24 2-24 环节的并联连接环节的并联连接 特点：各环节的输入信号是相同的，均为特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s

18、)R(s)， 输出输出C(s)C(s)为各环节的输出代数和，即为各环节的输出代数和，即: : （2 2）并联连接）并联连接并联结构定义：并联结构定义：输入信号相同，各环节输出信号进行代数求和，作输入信号相同，各环节输出信号进行代数求和，作为总的输出信号，称这种结构为并联结构。为总的输出信号，称这种结构为并联结构。2009-321自动控制原理)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环并联环节的等效传递函数等于

19、所有并联环 节传递函数的代数和节传递函数的代数和。)()(1sGsGniin为相并联的环节数该结论推广到n个环节并联的结构为：当然还有“-”的情况。2009-322自动控制原理（3 3）反馈连接）反馈连接（a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) )G(s)为前向通道的传递函数H(s)为反馈通道的传递函数反馈信号在相加点处既可为“”又可为“”，为“”时是正反馈；为“”是负反馈。实际中常采用负反馈（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )图图2-25 2-25 环节的反馈连接环节的反馈连接)()()(sG

20、sEsC)()()(sGsBsR)()()()(sGsCsHsR)()()()()(sCsGsHsGsR)()()()()(1 sXsGsCsHsG)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs反馈回路的传递函数：反馈回路的传递函数：2009-323自动控制原理 上述三种基本变换（上述三种基本变换（串联、并联、反馈变换）串联、并联、反馈变换）是是进行方框图等效变换的基础。进行方框图等效变换的基础。 对于较复杂的系统对于较复杂的系统, ,例如当系统有信号交叉或例如当系统有信号交叉或反馈环交叉时反馈环交叉时, ,仅靠这三种方法是不够的。仅靠这三种方法是不够的。 系统方框图中，常出现信号或反馈环相

21、互交叉的现象，可采用将信号相加点相加点（汇合点）或信号分支分支点（引出点）点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行三种形式的基本变换，实现方块图简化。2009-324自动控制原理（4 4）相加点等效移动）相加点等效移动等效移动规则：等效移动规则：相加点移动前后总的输出保持不变。相加点移动前后总的输出保持不变。C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比较较点点前前移移 比比 较较 点点 后后 移移C C ( ( s s ) )R R ( ( s s ) )G (s)Q Q ( ( s s ) )G(s)C C( (s s) )R R(

22、(s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC)()()()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsC图图2-26 2-26 比较点移动示意图比较点移动示意图前移：在移动通道上增加前移：在移动通道上增加1/G(S)1/G(S)后移：在移动通道上增加后移：在移动通道上增加G(S)G(S)2009-325自动控制原理R R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) ) 分分 支支

23、 点点 （ 引引 出出 点点 ） 后后 移移R R( (s s) )G (s)R R( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )()()(sGsRsC)()(1)()()(sRsGsGsRsR左图图2-27 2-27 分支点移动示意图分支点移动示意图 右（5 5）分支点等效移动）分支点等效移动等效移动规则：等效移动规则：分支点移动前后所得分支信号保持不变。分支点移动前后所得分支信号保持不变。前移：分支通道上增加前移：分支通道上增加G(s)G(s)后移：在

24、分支通道上增加后移：在分支通道上增加1/G(s)1/G(s)2009-326自动控制原理2009-327自动控制原理用方块图的等效变换法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s) R R( (s s) )A A- -B BC C( (s s) )1G2G3G4G1H2H- -C解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。例2-10图2-282009-328自动控制原理R R( (s s) )- - - -C

25、 C( (s s) )1G2H5G6G7G21GH51G25561HGGG211255125211255152161617111111GHGHGGGHGGHGHGGGGGHGGGGG 反馈公式 4325GGGG 串联和并联2009-329自动控制原理21121432432151211255177)(1)(11)()()(GHGHGGGGGGGGGGGHGHGGGGGsGsRsC将例2-9的系统方块图简化 - - - -C CB BA A（c c）方方块块图图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC12- - - -1RsC211R21RsC11sC21)(sUc)(sUr例2-11比较点B前移分支点A后移2009-330自动控制原理- - -sCR111sCR221sCR21)(sUr)(sUc- -12- - - -1