正弦定理一附答案

1、正弦定理（一）学习目标1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法2能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题知识点一正弦定理1.正弦定理的表示文字语百在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等,该比值为三角形外接圆的 直径.符号语百在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c,则.=.D= . _ = 2R sin A sin B sin C2.正弦定理的常见变形(1)a=2Rsin A, b= 2Rsin B, c=2Rsin C,其中 R 为 ABC 外接圆的半径.ab .-c.(2)sin A=W，sin B = 2r, sin

2、C = "2R(R 为 ABC 外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin C.a+ b+ c _ a _ b _ c(4)sin A+ sin B+ sin C sin A sin B sin C.(5)asin B= bsin A, asin C= csin A, bsin C= csin B.3.正弦定理的证明在RtABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：sin A= a, sin B = b, cc，c=3 =上= = =sin A sin B sin 90 sin C_a_ = _b_=_

3、 sin A sin B sin C.(2)在锐角三角形 ABC中，设AB边上的高为CD,如图,CD = asin_B= bsin_A.,a b sin A sin B同理，作AC边上的高BE,可得一a7=c7 sin A sin Ca b c . . = . _ = . . sin A sin B sin C (3)在钝角三角形 ABC中，C为钝角，如图,过B作BD，AC于D,则BD = asin（ 枳 C） = asin C,BD = csin A, 故有 asin C = csin A,.=工 sin A sin C同神 _a_5_. _a_q'sin A sin B'

4、sin A sin B sin C思考 下列有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角形；正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；在 ABC中，sin A ： sin B ： sin C= BC ： AC ： AB.其中正确的个数有 （）A.1B.2C.3D.4答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以 正确；由正弦定理可知 正确.故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A, B, C和它们的对边 a, b, c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其

5、他元素的过程叫做解三角形.思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： 已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角题型一对正弦定理的理解例1在 ABC中，若角A, B, C对应的三边分别是 a, b, c,则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是（）A.a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin CB.a=b? sin 2A= sin 2Ba _ b+ cC.sin A sin B+ sin CD.正弦值较大的角所对的边也较大答案 Ba b c解析 在 ABC 中，由正弦定理得 一

6、7='=c；=k（k>0）,则 a=ksin A, b=ksin B, c sin A sin B sin C=ksin C,故 a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin C,故 A 正确.当 A=30°, B=60°时，sin 2A=sin 2B,此时 ab,故 B 错误.根据比例式的性质易得C正确.大边对大角，故D正确.跟踪训练1在 ABC中，下列关系一定成立的是（）A.a>bsin AB. a= bsin AD. a>bsin AC.a<bsin A答案 D解析在 ABC中，BC（0,兀sin BC (0,1,1si

7、n B>1,由正弦定理asin Asin Bbsin Asin B> bsin A.题型二用正弦定理解三角形例2 (1)在 ABC中，已知c=10, A = 45°, 0=30°,解这个三角形 (2)在 ABC中，已知c=乖，A=45°, a= 2,解这个三角形解 (1) . A= 45°, 0=30°,B=180°-(A + C)=105°,由今c csin A而不得a=nC =10X sin 45sin 30°= 10.2.sin 75 = sin(30 4 45° 羊 sin 30 &#

8、176; cos 45-cos 30 ° sin 45=小：虫,. csin B csinA+C 10X sin 75y/2 + msin C sin C sin 30 ° -*4= 5 2+5 6.B=105°, a=10>/2, b=5W+5即a c(2) , sin A= sin Ccsin A sin C =aV6xsin 45 1应2= 2，- C (0 °, 180°) . . C=60°或 C= 120°。 csin B sin 75 ° (-当C=60°时,B=75, b=诉石=七面

9、一=爪十1；当 C=120° 时，B=15°, b=csjn-B='6sin 15 = J3-1. sin C sin 120、b=3+1 , B = 75°, C=60°或 b=/1, B= 15°,C=120° .跟踪训练2 (1)在ABC中，已知a=8, B = 60°, C= 75°,则b等于(A.4 ,2 B.4 3 C.4 ,6 D.4(2)在 ABC 中，若 a=*，b=2, A= 30°,则 C=.答案 (1)C (2)105 或 15°.a b 一解析 (1)易知A =

10、 45 ,由?=一得 sin A sin Bb=.=0i=4乖.sin A 2a b(2)由正弦定理 逐=蓊，得sin B =瓯上=驯兽=也 a22 -, BC (0 °, 180° )B = 45°或 135°,C= 180° 45° 30° = 105°或 C=180° 135° 30° = 15题型三判断三角形的形状例3 在 ABC中，已知a2tan B= b2tan A,试判断三角形的形状.a2sin B b2sin A解 由已知得丁=丁,cos B cos A '由正

11、弦定理得sin2Asin Bsin2Bsin Acos Bcos Asin A、sin Bw 0, sin Acos A= sin Bcos B.即 sin 2A=sin 2B.2A+ 2B=兀或 2A=2B.A+ B = & A=B.2ABC为等腰三角形或直角三角形.跟踪训练3 在4ABC中，bsin B=csin C且sin2A = sin2B + sin2C,试判断三角形的形状解 由 bsin B= csin C,得 b2=c2,. .b=c,.ABC为等腰三角形，由 sin2A= sin2B+sin2C 得 a2 = b2 + c2,. .ABC为直角三角形，ABC为等腰直角三

12、角形.1.在4ABC 中，AB=c, AC=b, BC=a,卜列等式中总能成立的是A.asin A= bsin BB. bsin C = csin AC.absin C = bcsin BD. asin C = csin A2.在ABC中，三个内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知A.135B.90C.453 .在锐角三角形 ABC中，角A, 兀兀兀a.行B.6C.44 .在4ABC中，内角 A, B, C是（）A.等边三角形C.等腰直角三角形那么A等于（）D.30 °B所对的边分别为a, b,若2asin B = -43b,则A等于（）兀D.3所对的边分别为a, b

13、, c,若噂=甯=半，则4aBC a b cB.直角三角形，且有一个角是30°D.等腰三角形，且有一个角是30°5 .在4ABC中，三个内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知B=30°, c=150, b=50V3, 则4abc的形状是.6 .在4ABC 中，若 b=5, B=& tan A=2,贝U sin A=, a =.一、选择题1.在4ABC 中，BC=a=5, AC= b= 3,则 sin A ： sin B 的值是（）八5-3八35A-B-C.-D.-35772 .在ABC中，A>B,则下列不等式中不一定正确的是（）A.s

14、in A>sin BB.cos A<cos BC.sin 2A>sin 2BD.cos 2 A<cos 2B3 .在 ABC 中，A：B：C=4： 1：1,则 a：b：c 等于（）B.2 ： 1 ： 1A.4 ： 1 ： 10.2 ： 1 ： 1D，V3 ： 1 ： 14 .在ABC 中，a= bsin A,则4ABC 一一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形5 .已知 ABC 中，a=4, b= 4后A.30 °B.30 °或 150°6 .在4ABC 中，A=60°, a=3,则D.等腰三角形A = 30

15、6;,则B等于（）C.60 °D.60 或 120一吐山一于（）sin A+ sin B+ sin CAuA. 32 3928. 3BFCFD.2 37.在ABC 中，已知B = 60°,最大边与最小边的比为亚尹，则三角形的最大角为（A.60 °B.75 °C.90 °D.115 °8.在ABC 中，5a= 4, b = 2, 5cos(B+C)+3=0,则角 B 的大小为()A兀A.-6c兀兀B.4C.3D.|兀6二、填空题八*,_ _a 2b+ c9 .已知在 ABC 中，A ： B ： C= 1 ： 2 ： 3, a= 1,则-

16、n . D , . =sin A 2sin B+ sin C10 .在ABC 中，A=g, BC = 3, AB = J6,则角 C =.311在 ABC 中，BC =a=15, AC =b=10, A=60°,贝U cos B=.三、解答题12.(1)在 ABC 中，AB=c, BC = a, AC =b,已知 A = 45°, B=30°, c=10,解三角形;(2)在 ABC 中，BC =a=4, AC =b, AB=c=2/6, A=45°,求 b, B 和 C.13.在 ABC 中，若 sin A= 2sin Bcos C,且 sin2A=si

17、n2B+ sin2C,试判断 ABC 的形状.当堂检测答案1.答案D解析由正弦定理asin A上_ = 一 sin B sin C得 asin C= csin A.2 .答案 CbB2X-23解析 由一=号得sin人=詈¥ = 产 sin A sin Bb3A=45° 或 135° .又avb,A<B, .-.A= 45° .3 .答案D解析 在 ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B=艰sin B,又. sin BW0, .sin 人=乎. 兀又A为锐角，. . A = -. 34 .答案 C解析由题acos B= bsin A,又由正

18、弦定理 asin B= bsin A,sin B = cos B,又. Be (0°, 180° ) B= 45同理C= 45°故ABC为等腰直角三角形.5 .答案等腰或直角三角形1解析由sin B sin C/日.csin B 150 *2 立 得 sin C=k = ” =?又 CC (0 °, 180° ) . C=60° 或 120°, . A=90° 或 30°,ABC为等腰或直角三角形.6 .答案12 10解析 由 tan A=2,得 sin A= 2cos A,由 sin2A+ cos2A=

19、 1,得 sin A=25 5. b=5, B=i,由正弦定理就=,bsin A 2 ? 5=2 .10.课时精练答案一、选择题1 .答案 A解析吗=屋sin B b 32 .答案 C解析 A>B? a>b? sin A>sin B, A 正确.由于（0,兀）h, y=cosx单调递减，cos A<cos B, B 正确.cos 2 a= 1 2sin2 a.sin A>sin B>0 , sin2A>sin2B, cos 2A<cos 2B, D 正确.3 .答案 D解析A+B+C=180 , A： B ： C = 4 ： 1 ： 1, .A=

20、120 , B=30 , C = 30° .C= sin 120 ： sin 30 ： sin 30 =由正弦定理的变形公式得a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin4 .答案 Basin A解析 a= bsin A, z. = sin A = -r,sin B= 1,bsin B又.BC（O,兀）即 ABC为直角三角形.5 .答案D解析由正弦定理sin A sin Bsin B =bsin Aa又 BC (0 °, 180° )且 b>a, B>A, B=60°或 120° .6 .答案 D解析利用正弦定理及比

21、例性质，得a+ b + csin A+ sin B + sin C sin A-332sin 60 -亚-2M37 .答案Bsin A 福十1 sin 120 -A = -2解析 不妨设a为最大边，c为最小边,asin A3+ 1由题息有rs=2 ，整理得(3 43)sin A=(3 + p)cos A. tan A= 2+/3,又, AC(0 °, 120° )A= 75°,故选 B.8 .答案 A3解析 由 5cos(B +C)+3= 0 得 cos A =5- 兀4 AC (0,力sin A = 5，5由正弦定理得 4=sin B=1.4 sin B25一一

22、 一TTX . a>b,A>B,且 AC (0,力，B必为锐角，B= 6；二、填空题9.答案 2解析A ： B ： C= 1 ： 2 ： 3, .A=30°, B= 60°, C = 90° .一=上-=：sin A sin B sin C sin 301. a= 2sin A, b= 2sin B, c= 2sin C,a2b+c -2-二=2.sin A 2sin B+ sin C-L一 兀10.答案 4解析 由正弦定理，得 sin C =sin A AB 也BC因为 BC >AB,所以 A>C,贝U 0<C<：,故C=f411答案 u解析由正弦定理得10sin B= sin A= , sin 60=又 b<a,0° B<60°, cos B>0,cos B=巾一sin2B=三、解答题12.解 (1)因为 A+B+C=180°,所以C=105°所以 sin C=sin 105 = sin(60 445° 尹 sin 60o _ o . m +V2cos 45 cos 60 sin 45=4由正弦定理sin A sin B sin C'得”需 c= 10(3- 1),b = cs喟=岖嚅亍 5( .6- 2).