空间解析几何(下篇)

1、 空解精要（升华部分） 序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。这部分的重点有：柱面，锥面，旋转曲面，二次曲面及其一般线性理论，还有参数方程。*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问题，那么在仿射坐标系 下也成立。 一.最完美二次曲面-球面1.定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点 的集合叫做球面，这个定点叫球心。球心到球面的任何 点的距离叫做半径。2.球面的方程： 以点为球心，R为半径的球面标准方程为 这是一个二次曲面，它的一般形式为 命题1：用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。 命题

2、2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂 直于该平面。3.切面的求法：根据数学分析里面的求偏导数来做，无需刻意记 住二次曲面一般理论中的公式。 二.柱面的锥面 （一）.柱面 1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一 族平行直线所组成的曲面叫做柱面，定曲线叫做准线，平行 直线中的每条都叫(直)母线，定方向是直母线的方向，也叫 柱面方向。 2.柱面方程的构造 从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果 确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方 程。如果已知准线方程为 母线方向为（l,m,n） 于是，假设一点在柱面上，这里假设的是准线与 母线的交点，而母

3、线的位置具有任意性，于是将准线和母线 联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程 从中消去，得到的就是柱面方程。 特别地，准线是圆，椭圆，双曲线，抛物线的柱面分别叫做圆 柱面，椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。 例题1：设柱面准线方程为 母线方向为为（-2,1,0），求柱面方程。 解：设为准线与母线的交点， 于是，.（*） 过的母线为 令这个等式的值为t，得母线的参数方程 得，代入（*），得 消去t，得柱面方程为 这是解决柱面方程题目的常规方法。如果准线是圆，那么柱 面就是圆柱面，这个可以用后面的旋转曲面来解决。 （二）锥面 1.定义：过定点且与一条（不过定点的）定曲线相交的一族 直线组成的曲面叫

4、做锥面，定点叫做顶点，定曲面叫做锥面 的准线，这族共点直线中的每条直线都叫母线。 2.锥面方程的构造 同理于柱面，锥面由准线和定点确定，由母线族生成。于是 只要能够遍取所有的母线就行，所以，设是准线与 母线的交点，顶点也在过的母线上，于是由直 线的两点式方程可以确定该母线方程为 . 再把代入准线方程，得 . 联立，消去得到的就是锥面方程。 3.圆锥面 定义：准线是圆，母线与轴的夹角为定角的锥面叫做圆锥 面。（估计谁都知道，不必多说了！） 命题1：如果方程可以变为的形式，则锥 面是圆锥面，是母线与轴的夹角。其中x,y,z的 位置可以任意换。 很明显这是特殊的情形，对于一般的锥面，有以下判定定理

5、命题2：一个关于的齐次方程表示以点 为顶点的锥面。 由此可以看出，平面就是一种特殊的锥面！ 例题2：已知锥面顶点为（3，-1，-2），准线为 ，求该锥面方程。 解：设是准线上一点，连接与顶点（3,-1,-2） 的母线为 将这个等式的值记为，得 ，. 代入到准线方程中，满足 . 联立，消去t，得 即为所求锥面方程。 三.旋转曲面 （一）一般旋转曲面的构造 1.定义：一条曲线绕一条直线旋转一周所产生的曲面叫 做旋转曲面，曲线叫做旋转曲面的母线，直线叫做轴。 由于，母线上任意一点绕轴旋转都是一个圆，这个圆也 叫纬圆或纬线。其中与纬圆相对垂直的母线也叫经线。 命题：经线可以作为母线，但母线不一定为经线

6、。 0 2.旋转曲面方程的构造 假设母线（或经线）方程为，母线上有一点 轴l经过，方向向量，假 设还有一点P(x,y,z)与在同一纬圆上。于是有 从中消去，得到的就是旋转曲面的方程。 例题3：求直线绕直线x=y=z旋转所得的旋转 曲面方程。 解：在母线上任取一点，在轴 上取（0,0,0），所以过的纬圆方程为 将代入经线方程，得 经纬已经确定，于是从上面等式中消去，得 即为所求。 （二）绕坐标轴旋转 1.旋转定律 一般地，坐标平面上的曲线绕此平面上的一条坐标轴 旋转，其旋转曲面方程按下列方式写出：对于曲线在 坐标面上的方程，保留与旋转轴同名的坐标，而其他 两个坐标平方和的平方根代替方程中的另一坐

7、标。 2.椭球面 设椭圆方程为，绕y轴旋转，则 不要管x，保留y，将z换成，则得到的椭球 面方程为 请根据规律，写出绕z轴旋转的结果： 3.双曲面 将双曲线绕z轴旋转所得的旋转曲面为 ，这里出现一个负号，所以是单叶双曲面。 当绕y轴旋转时，得到的是 这里有两个负号，判定为双叶双曲面。 4.抛物面 抛物面有两种形式，一是椭圆抛物面，而是双曲抛物面。 椭圆抛物面的标准形式为 其中，x,y,z的位置不定。这个等式左边是椭圆方程的 一部分，右边是抛物线方程的一部分，所以叫椭圆抛物 面。它的构造在于先将抛物线旋转得到旋转抛物面，然 后做伸缩变换，把纬圆变成椭圆。 如图，在椭圆抛物面中，沿z轴方向看是抛物

8、线，于 是关于z是一次项；俯视x O y平面可看到的是椭圆， 所以方程中关于x和y的项是二次项。通过这个规律 可以判定图像的大致形态。 性质：当平面沿纬线方向切割椭圆抛物面时，截线是 一个椭圆，与椭圆抛物面斜交时，可能出现圆。无论 是圆还是椭圆，中心总在对称轴上，也在对称平面上。 双曲抛物面的标准形式为，这个图像由于 像马鞍一样，所以又叫马鞍面。其中，原点是鞍点， 它的图形在坐标系的分布与椭圆抛物面完全类似。 （三）二次直纹曲面 1.定义：所谓直纹曲面，就是指能够由直线生成的 曲面。 2.常见的二次直纹曲面：单叶双曲面，双曲抛物面。 3.析因式法 所谓的析因式法，就是把曲面的方程通过因式分 解

9、，从而求出生成直线族。很明显，单叶双曲面和 双曲抛物面都有两族直母线。 4.单叶双曲面两族直母线的性质 对于单叶双曲面上的每一点，两族直母线中各 有唯一的一条直母线通过该点； 异族的任意两条直母线共面； 同族的任意两条直母线是异面直线； 两族直母线无公共直线. 5.双曲抛物面两族直母线的性质 对于双曲抛物面的任意点，两族直母线中各有 一条直母线经过这一点； 任意两条异族直母线都相交； 两族直母线中无公共直线； 同族任意两条直母线异面； 同族中所有直母线必平行于同一平面； 例题4：求单叶双曲面 上过P（2,1,3）的两条直母线。 解：（析因式法） 根据平法差公式分解因式得到两族直母线分 别为 和

10、 把点P的坐标代入，得 ，于是过P点的两族直母线的方程分 别为 和，化简后即为所求。 附：对于双曲抛物面的析因式，采用如下分法： 若方程为， 分解为和 这就是双曲抛物线的两族直母线。 四.二次曲面的一般理论 （一）判断曲面类型（回顾二次型与矩阵） 对于一般形式的二次曲面 = 记中间的矩阵为A，称为二次曲面的矩阵；二次部分的矩 阵为记，称为二次矩阵。 当判断一个一般形式的曲面时，通过非退化线性替 换把二次曲面的矩阵变成标准型或者规范形，然后 写出方程，这个时候就可以得出曲面到底是什么了。 （二）主方向，特征方程，特征根 在这里明确一下，不要去寻找他们的几何意义，因 为目前城主也没找出他们的意义。

11、不过可以确定的 是：特征方程就是高代里面的特征多项式，特征根 就是特征值，特征根对应的主方向就是指特征值对 应的特征向量。 接下来复习下线性变换的特征矩阵！ 例题5：求=的特征值（特征根）和特 征向量（主方向）。 解答：令=0 得 所以，特征值为1和2（二重根） 属于1的特征向量是 的非零解，即 主方向为1:1:1； 属于2的特征向量是 的非零解，即 主方向为2:1：-1 于是，遇到求特征根与主方向的时候，可以完全按照 线性变换来求！ 在这里，特征根有一下性质： 1.二次曲面的三个特征根都是实数； 2.二次曲面的三个特征根不全为0； 3.不同特征根对应的主方向一定互相垂直； 4.对于任意二次曲

12、面，至少存在3个两两垂直的主 方向。 （三）中心和径面 1.渐进方向：满足的方向X:Y:Z 叫做二次曲面的渐进方向，否则叫做非渐进方 向。注意与主方向区别开。 2.中心 二次曲面的中心是方程组 的解，该方程组叫做中心方程组。 这是一个非齐次线性方程组，它有解的充要条 件是：系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。 于是：当秩都为3时，只有唯一解，这时曲面叫 中心二次曲面。 当秩都为2时，相当于只有两个方程，组成直 线的一般方程，于是解可以形成一条直线，称 为线心二次曲面。 当秩都是1时，相当于只有一个方程，很显然 是个平面，这时，称为面心二次曲面。 当两矩阵的秩不等时，方程无解，曲面没有中 心，称为无心二次曲面。 3.奇异方向 如果二次曲面的渐进方向满足X:Y:Z满足 那么这个渐进方向叫做奇异方向，简称奇向。 命题：二次曲面有奇向的充要条件是二次矩阵的 行列式为0，只有中心二次曲面无奇向。 径面：二次曲面沿非渐进方向X:Y:Z的所有平行 弦的中点所在的平面叫做二次曲面共轭于 方向X:Y:Z的径面。如果径面垂直于共轭 方向，那么这个径面叫做主径面。 径面方程为： 命题：二次曲面至少有一个主径面。 例题6：求二次曲面 的主方向和主径面。 解：二次曲面的矩阵为 解得特征根为6,3，-2 通过计算，属于6的主方向为-1:1:2,共轭的主径 面为-x+y+2z=0; 属于3