排列组合--插板法、插空法、捆绑法

1、排列组合问题一一插板法（分组）、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插 板 法（m为空的数量）【基本题型】有|n个相同即元素,要求分到不眄的一 m组|中，且每组甲为二方评,问有多少种分法？O O OI j O ! O O O j O O q图中“ ”表示相同的名额，“ ”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10个名额分割成七个部分，将第一、二、三、七个部分所包含的名额数分给第一、二、三七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了 10个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方 法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个

2、相同元素，不同个 m 组，每组至少有一个元素则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,，共有种不同方法。注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（ n-1 ）个空档，现在我们用（m-1 ）个档板”插入（n-1 ） 个空档中，就把n个元素隔成有序的 m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是 1个、 2个、3个、4个、.），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到 m组的一

3、种分法，这种借助于这样的虚拟档板”分配元素的方法称之为插板法。【基本题型例题】【例1】 共有10完全相同的球分到 7个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了 9个空隙，现在我们用 6个档板”插入这9 个空隙中，就把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟 档板”就可以把10个球分到了 7个班中。【基本题型的变形（一）】 同型： 有 n 个相同的元素，要求分到 m 组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允拓有些组中分到的元素为力;也就是组中可以为

4、空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就 m个，问题也就是转变成将（n+m ）个元素分到 m组，并且每 组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A. 35 B . 28 C . 21 D . 45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为 8+3X1=11,此题就有 C （10, 2） =45（种）分法了，选项 D为正确答案。【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到 m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S （s>1,且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分

5、法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s,各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们 也就可以用插板法来解决。【例3】15个相同的球放入编号为 1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？ 解析：编号1 :至少1个，符合要求。编号2:至少2个：需预先添加1个球，则总数-1编号3:至少3个，需预先添加2个，才能满足条件，后面添加一个，则总数-2则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里

6、所以 C （11 , 2） =55 （种）【例题1有9题相同揩每天至少吃1颗，要4天吃完有妥少种吃法7解析：原理向上，只需要划3个板柚入到9颠精彩成的名个内部空睢 府9领轴分成4 虹且每细数目不少于1即可.因而3个板立不相邻，其方法数为1舞】现有10个完全相同的篮球全部分给7个班皴每班至少1个球】问共有多少 种不同的分法？注释：每蛆允许有零个元素时也可以用雌法，耳原理不同注意不题解f珀勺区别.E例题将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,T有多少种方法？解折：此题中设看要求每个盒子中至少披一中条，因此其解法不同于上面的抵投注，但 仍旧裳带入2个械，分成三蛆日怛有金也的过程中，允许南块板三间涉有

7、球1具考虑忠维为 插入的块板后，与思蒸的8个叫一共10个元素口所有方法数实际是这10个元素的一个队列， 但因为球之间无爰别，板之间扎麦别，所以访法敬实陟为从10个元素所占的1。个性民中挑 2个位置放上2个板，其余住直全部放球即可口因此帚法数为B注释：特别注意插板法与捆绑法、插空f承区别之处在于其元素是相觥.【例题一条马路上有编号为1.入,皿、9的九鎏路灯，现为了节妁用电，要将其中1 的三盏关擅但不能同时关擅相劄的两盏或三者，则所有不就关灯方法有多少种？解析：要美坤9盆灯中的3盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先嘀要关掉的3 鳌灯拿出来，这样还第I 6番灯，现祗K需杷准备关闭的3盏灯插入到亮着

8、的5募灯所形成的 空隙之间即可. 5叠灯峋内部及两湍共有了个空，故方法数为E例题】一条修路的两边各立着10盍电灯，现在为了节省用电,决定每边美拽3芝， 但为了安全.道路起点和终点两边的灯必须是克的；而且任意一边不由睡读关拽两前。问总 共可以有多少总方案？h, 12（1Bx 320 C. 430 d 420解析，考虑一恻的美灯方法，1口盏灯关捽3盏，遥剌7霓，因为的就的灯不能关，莪 示3番美摔的灯只能抗在7盆灯那底的6个内部空隙中,而不言缴在两端，世蕾法数为CS 【例】10个学生中，男女生各有 5人，选4人参加数学竞赛。(1)至少有一名女生的选法种数为 (2) A、B两人中最多只有一人参加的选法

9、种数为解法1: 10名中选4名代表的选法的种类：Ci04,排除4名参赛全是男生：C54 (排除法)C104 C54=205解法2:选1女生时，选2个女生时，选3、4个女生时的选法，分别相加(2010年国考真题)某单位订阅了 30份学习材料发放给 3个部门，每个部门至少发放 9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？ ()A.7B.9C.10D.12解析：每个部门先放 8个，后面就至少放一个，三个部门则要先放8X3=24份，还剩下30-24=6份来放入这三个部门，且每个部门至少发放1份，则C (5,2) =10插 空法插空法就是对于解决 某几个元素要求不相邻 的问题时，先将其他元素排好，再将所指定

10、的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。首要特点就是不相邻。下面举例说明。1 .数字问题【例】 把1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字 且数字1, 2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将 3 , 4, 5三个元素排定，共有种排法，然后再将1, 2插入四个空位共有 43种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有&"了2种。2 .节目单问题【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不 同的添加方法共有多少种？解析：-o - o - o - o - o - o -六个节目算上前后共有 七

11、个空位，那么加上的第一个节目则有种方法；此时有七个节目，再用第二个节目去插八个空位有 41种方法；此时有八个节目，用最后一个节目去插 九个空位有41种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：当L殴 = 7义8乂 9 = 504种。3 .关灯问题【例】一条马路上有编号1,2,3, 4,5,6,7,8,9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏 ，则所有不同的关灯方法有多少种？解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位（用不亮的3盏灯去插剩下亮的6盏灯空位，就有7个空位）共有 0/种方法，因此所有不同的关灯方

12、法为= 35种。4 .停车问题【例】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少 种？解析：先排好8辆车有两工种方法，要求空位置连在一起（剩下 4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位可以插），将空位置插入其中有种方法。所以共有 41t cj种方法。5 .座位问题【例】3个人坐在一排8个椅子上，若 每个人左右两边都有空位 ，则坐法的种类有多少种？解法：先拿出5个椅子排成一排，在 5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有4M = " 种。1例题】若有此氏厂民E五个人排队，要求 '和B两个人邮更不站在一起，则有多

13、 小排队方法？解析：题中要求AB旃人不雇一起,所以可以先畸除&和B之外的3个人排成一批 方法戮力用，然后再将启和B分别插入到其余3个人排队所拶成埼4个空中，也虬是从4 个空中挑出两个并排上两小人，其为球数为看，因此总+B法数4dli【例题*个人排成TG要求甲乙必须1:鞠且与丙不主痴.有辜少种方法？酬坨甲乙相邻】可以如蝌作一个无嚎m但这个重体元索儿和再不相邻，所以先不排 这个甲乙丙，而是排剩下的5个人，方诔数为儿，落后再将甲乙枸成的整体元至及丙这旃 个无嚎插入到此蓟5人所拶庭的6个空里，方法皴为月、另外甲乙场个人内部还存在排序 要共为年4地总方法数为从汽.蛾切5个男生3个女生排成一排，要

14、求女生不能相邻.看冬少种方法7注暮：将要求不相邻元素插入排好元素时要注释是否肓肘插入两端愤置.t例题若有k良匚. IL E五T大排队，要求人和E两个人必须不站荏一起j且A 和B不能站在两端，则有咨少排队方法7解析原理同前，也是先排好C. D. E三个人，照后符A、B查到C、D. E所形成的 两个空中，因为人B不站两城，所以只有两个空可选m方法总数为玲疝.注释：对于捆绑法和插空法的区，可简单记为“相邻同明撕法，不郃问精要：所渭嗣绑法，指在解年对于某几个菽要求*聆的问题时，先整俘考虑将把邻 元素视作一个整体参与排序然后再单独考虑速个整体内部各元素间顺序.提陋：苴首要特点是相靠，苴次捆绑法T都应用在

15、不硝懈的排序问题中【圆幼 *10本不同的书：其中敢学书4本，外语书3本语文书3本M若将这些书 排成一列放在书架上，让教学书排在一起外语书也恰好排在一起的排法共有（神.群折;这是一个排序闰题,书本之间是本同应其中要求数学书和外语书却各自布一起口 为快速解决这个问题，先府4本敷承书看做一个元康,牌W本外语书看做一个元索，然后和. 剌下的3本语丈书共5个元素进行虢一排序，方法数为无，然后排在一起的可本敦学书上 间顺序不同也叱应武店整个排序不同，断。在4本书内部也需要排序,疗法数为我，同理 外语书排序方法能为而三;若之间箧分步过程，地布用乘法源理得且匕固.E例题）3 T人站成TF，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？解析：先聘甲己病人煮盅1个人，与剃干的3个人一起排风 疗法数为徘，然后甲乙 两个人也有顺序要求，古法数为耳，因此站队合法数为看工；.t城可】一台晚会上有6个濯唱节目和4,冲塞节目.4个舞疆节目要排荏一起，有多 少不同的舜#节目的顺序？注移：运用捆螂法时，一定要注意捆算起瘫整体内部是否存在眼序的要求，有的题目 行顺序的要求，有的邮没有.如下