排队论习题集汇总jieda

1、排队论习题集汇总解答例1高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从 Poisson分布，平均到达速率为100辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1,2, 3辆车的概率。11根据题意,=100辆/小时,一=15秒= (小时/辆)，即 =240 (辆/小时)。240因此1005240 12系统空闲的概率为：P。11系统忙的概率为：1 P0 1 (1 0.58312125) 一 0.41712系统中有1辆车的概率为：5735P1(1) 一一 0.24312 12144系统中有2辆车的概率为:P22(1)2571

2、21217517280.101系统中有3辆车的概率为:P33(1)3571212875207360.04221.思考题(1)排队论主要研究的问题是什么；(2)试述排队模型的种类及各部分的特征；(3)Kendall符号X/Y/Z/A/B/C中各字母的分别代表什么意义；(4)理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念；(5)分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；(6)试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系1 / 28与区别。2 .判断下列说法是否正确(1)若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾

3、客之间的间隔时间 服从负指数分布；(2)假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；(3)若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序， 则第1、3、5、7,一名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；(4)对M / M /1或M /M /C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流；(5)在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大 量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；(6) 一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；(7)排

4、队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；(8)在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统；(9)在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长；(10)在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平 均时间不变。3 .某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均每小时 3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求：(1)

5、店内空闲的时间；(2)有4个顾客的概率；(3)至少有一个顾客的概率；(4)店内顾客的平均数；(5)等待服务的顾客数；(6)平均等待修理的时间；(7) 一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。4 .设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson流，平均到达时间间隔为20分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需 12分钟，求：(1)病人到来不用等待的概率；(2)门诊部内顾客的平均数；(3)病人在门诊部的平均逗留时间；(4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则医院方将考虑增加值班医生。问病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？5 .某排队系统只有1名服务员，平均每小时有4

6、名顾客到达，到达过程为Poisson流，服 务时间服从负指数分布，平均需6分钟，由于场地限制，系统内最多不超过 3名顾客，求：(1)系统内没有顾客的概率；(2)系统内顾客的平均数；(3)排队等待服务的顾客数；(4)顾客在系统中的平均花费时间；(5)顾客平均排队时间。6 .某街区医院门诊部只有一个医生值班，此门诊部备有6张椅子供患者等候应诊。当椅子坐满时，后来的患者就自动离去， 不在进来。已知每小时有4名患者按Poisson分布到达，每名患者的诊断时间服从负指数分布，平均12分钟，求：(1)患者无须等待的概率；(2)门诊部内患者平均数；(3)需要等待的患者平均数；2 / 28(4)有效到达率；(

7、5)患者在门诊部逗留时间的平均值；(6)患者等待就诊的平均时间；(7)有多少患者因坐满而自动离去？7 .某加油站有四台加油机，来加油的汽车按 Poisson分布到达，平均每小时到达 20辆。四 台加油机的加油时间服从负指数分布，每台加油机平均每小时可给10辆汽车加油。求：(1)前来加油的汽车平均等待的时间；(2)汽车来加油时，4台油泵都在工作，这时汽车平均等待的时间.8 .某售票处有3个售票口，顾客的到达服从Poisson分布，平均每分钟到达0.9(人)，3个窗口售票的时间都服从负指数分布，平均每分钟卖给0.4 (人)，设可以归纳为M /M/3模型，试求：(1)整个售票处空闲的概率；(2)平均

8、对长；(3)平均逗留时间；(4)平均等待时间；(5)顾客到达后的等待概率。9. 一个美容院有 3张服务台，顾客平均到达率为每小时5人，美容时间平均 30分钟，求：(1)美容院中没有顾客的概率；(2)只有一个服务台被占用的概率。10.某系统有3名服务员，每小时平均到达 240名顾客，且到达服从Poisson分布，服务时间 服从负指数分布，平均需0.5分钟，求：(1)整个系统内空闲的概率；(2)顾客等待服务的概率；(3)系统内等待服务的平均顾客数；(4)平均等待服务时间；(5)系统平均利用率；(6)若每小时顾客到达的顾客增至480名，服务员增至6名，分别计算上面的(1) ( 5)的值。11.某服务

9、系统有两个服务员，顾客到达服从Poisson分布，平均每小时到达两个。服务时间服从负指数分布， 平均服务时间为30分钟，又知系统内最多只能有 3名顾客等待服务， 当顾客到达时，若系统已满，则自动离开，不再进入系统。求：(1)系统空闲时间；(2)顾客损失率；(3)服务系统内等待服务的平均顾客数；(4)在服务系统内的平均顾客数；(5)顾客在系统内的平均逗留时间；(6)顾客在系统内的平均等待时间；(7)被占用的服务员的平均数。12 .某车站售票口，已知顾客到达率为每小时 200人，售票员的服务率为每小时 40人，求: (1)工时利用率平均不能低于60%;(2)若要顾客等待平均时间不超过2分钟，设几个

10、窗口合适？13 .某律师事物所咨询中心，前来咨询的顾客服从Poisson分布，平均天到达 50个。各位被咨询律师回答顾客问题的时间是随机变量，服从负指数分布，每天平均接待10人。每位律师工作1天需支付100元，而每回答一名顾客的问题的咨询费为 20元，试为该咨 询中心确定每天工作的律师人数，以保证纯收入最多。14 .某厂的原料仓库，平均每天有20车原料入库，原料车到达服从 Poisson分布，卸货率服从负指数分布，平均每人每天卸货5车，每个装卸工每天总费用50元，由于人手不够而影响当天装卸货物，导致每车的平均损失为每天200元，试问，工厂应安排几名装卸工，最节省开支？15 .某公司医务室为职工

11、检查身体，职工的到达服从 Poisson分布，每小时平均到达 50人,3 / 28若职工不能按时体检，造成的损失为每小时每人平均60元。体检所花时间服从负指数分布，平均每小时服务率为，每人的体检费用为 30元，试确定使公司总支出最少的运筹学第六章排队论习题解答2. (1) V (2) V X(4) V (5) X (6) X(7) X (8) V (9) V (10) X3 .解：单位时间为小时,3,6,0.5店内空闲的时间:P0124(1(2)有4个顾客的概率:0.5.41-4 0.0312525(3)至少有一个顾客的概率:P00.5.(5)(6)(7)L店内顾客的平均数：等待服务的顾客的平

12、均数:Lq0.5W平均等待修理的时间： 一个顾客在店内逗留时间超过Lq0.5315分钟的概率。0.1667P T 15 e (4.解：单位时间为小时,)t e3,11、15( )10 2060 121e 一25,0.6070.6(1)病人到来不用等待的概率:Po10.6 0.40.6(2)门诊部内顾客的平均数:1 0.61.5(人)(3)(4)病人在门诊部的平均逗留时间；若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时,0.5(小时) 则有：5即当病人平均到达时间间隔小于等于5.解：单位时间为小时,4,15分钟时,10,医院将增加值班医生。00.4, K 3.P0(1)系统内没有顾客的概率:(2)系统

13、内顾客的平均数：1 0.41 0.440.616(K 1)10.44 0.440.41 0.440.562(人)；(3)排队等待服务的顾客数：Lq(4)顾客在系统中的平均花费时间:(1%)0.562 0384 °.178(人)；4 / 280.562(13 P0)3.8420.146 8.8(分钟)（5）顾客平均排队时间：Wq W 10.146 0.10.046 2.8（分钟）。6.解：此问题可归结为M/M/1 / 7的模型，单位时间为小时,4,5,0.8, K 7P0（1）患者无须等待的概率:1 0.8 0.24031 0.88(2)门诊部内患者平均数:(3)需要等待的患者平均数:

14、Lq(10.88 0.880.8 12.387P7)4 (10.88(1 P0)2.387(人)1627 (人)(4)(5)有效到达率：患者在门诊部逗留时间的平均值:1 0.81 0.880.87) 3.8(6)(7)3.80.628（小时）=37.7（分钟）患者等待就诊的平均时间:P7有7.解：此为一个M/M/4系统,Wq0.050320,37.7 12 257(分钟)5.03%的患者因坐满而自动离去10,2 ,系统服务强度0.5po,所以3 2kk 0 k!2k 14! 1 1 2 f0.13（1）前来加油的汽车平均等待的时间即为因为Wq2010c!(1Po)224 0.5 0.13五2

15、4! (1 0.5)22.17故：取=0 .0085（小时）=0.51（分钟）（2）汽车来加油时,4台油泵都在工作设汽车平均等待的时间为WWq则P3k c Pk，因为3一Po 0.183!, cPi4,2p0 0.26P2 至 Po 0.26/3k 4 pk 1 k 0 pk 0.175 / 280.51所以：8 .解：此为一个M0.17 0.17/ M/3系统，(分钟)。0.9,0.4,2 25，系统服务强度:0.75Po(1)3 (2.25)kk oF(2.25)33!1 0.750.0743(2.25)3 0.75(2)因为:3!(10.75)20.0743 2.253.95(人)所以:

16、Lq3.952.251.703.95(3)平均逗留时间:平均等待时间:Wq0.914.394.39(分钟)1 0.41.89 (分钟)(5)设顾客到达后的等待概率为c 1Pk k cc! 1P0P ,则(2.25)33!1 0.750.0743 0.579.解：此为系统为5,M / M / n (n=3)损失制无限源服务模型,60 30 2,Po(1)(2.5)k 1 0 k!1 2.5 3.1252.604 1 0.108(2) p1p0 2.5 0.108 0.2710.此为系统为24060M / M / n (n=3)服务模型,4(人/分钟)，10.52(人/分钟),2 ,n 3(1)整

17、个系统内空闲的概率:2 k 3p0 k oG IT(2)顾客等待服务的概率：3 np W 03! n(1 2 2 4) 10.111Po0.444(3)系统内等待服务的平均顾客数:Lq (n 1)!(n)(4)平均等待服务时间：82Po 90.888(人)；6 / 28(5)系统平均利用率；/n(6)若每小时顾客到达的顾客增至Lq812Wq-0.222949；2/3 0.667.480名，服务员.至6名，分别计算上面的(1)-480(5)的值。8(人/分钟),2(人/分钟),4 ,n 6则：整个系统内空闲的概率:(42.866 17.067) 1 0.0172 knP。k 0 k!n!顾客等待

18、服务的概率:n! P0 17.067 0.017 0.285系统内等待服务的平均顾客数:平均等待服务时间:WqLqLq0.072 P。(n 1)!(n)20.58(人)系统平均利用率；11.解：将此系统看成一个2,0.5,4/6 0.667。M / M / 2 / 5排队系统，其中4 ,n 2, K 5(1)系统空闲时间:LqP01 445 0.00842(1 (4 2)5 2 1)2(1 4 2)0.008(2)(3)P5顾客损失率：2! 25 20.512服务系统内等待服务的平均顾客数:0.008 42 (4 2)2!(1 4 2)2(144 52)(5 2 1)(-)52.18(人)(4

19、)在服务系统内的平均顾客数:(5)Lq (1P5)2.18 4顾客在系统内的平均逗留时间：(1°.512)43 (人)；(6)4.13(1 P5)2 (1 0.512)顾客在系统内的平均等待时间：4.23(分钟)；Wq W 1.4.23 2 2.23(7)被占用的服务员的平均数。n L Lq 4.13 2.18 1.95(分钟)12.解：将此系统看成一个 M / M / n排队系统，其中7 / 28140,45,工时利用率平均不能低于3.5/33，则60%,即系统服务强度:0.6,所以n4.17,设门1,2,3 ,4 均满足工时利用率的要求，现在计算是否满足等待时间的要求:(1)当

20、n4时,3 kP0k 0 k!平均等待时间：Wq Lqn!2 522.5 2522.533!2.54 414! 0.50.0737(n 1)!(n)2Po2.55200 6 1.520.01487.19727000.0067(小时)116 (分)P00.045(2)当 n3时,0 k!n!平均等待时间:Lq2 P0(n 1)!(n)20.0176(小时)=1.05(分),所以，应该设3个窗口符合要求。13.解:这是n系统确定n的问题，因为:则:P0f (n)50,10,5,0 k!n! 1f(n)表示3律师有n个时的纯收入,100n200P02父0%5n(n 1)!(n 5)n678P04.5

21、1 10 35.97 10 37.2 10 3f (n)399971287.491274.87对n的约束只有一个，即 最大值。,由此可得n 5,为求n,我们由下表计算f(n),再取由此可以看出，当 n 6时，律师咨询中心的纯收入最大。14.解：此问题为一个 M / M / n系统确定n的问题，因为：20,5,4, n 4 n设f(n)表示当装卸工有n个时工厂在装卸方面的总支出，则所求为8 / 28min f (n) 50n ECw其中Cw为由于货车等待装卸而导致的单位时间的经济损失。n 1Cw 100L 1002(n 1)!(n),经计算得n5678910ECw17466.73813.3652

22、.8481.342640850n250300350400450500f(n)17716.74113.31002.8881.3876908由此可以看出，当有 9名装卸工时，工厂的支出最小。15.解：我们用 M / M / 1来描述此题，因为50人/小时，Cs 30元/人，Cw 60元/人，则公司每小时总支出为Z CsCwL CsCw 对 求导，并令导数为零，得：CC /CS ,所以有50 <60 50/30 50 10 60（人/小时）。例2高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从 Poisson分布，平均到达速率为200辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。

23、求L、Lq、W和Wq。根据题意，=200辆/小时，=240辆/小时，=/ =5/6。LLqW1勺65 5654.17240 2000.025(小时)90(秒)WqW 5 90 75(秒)例3.设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。解：设为 M/M/1模型。平均服务时间：E（ts） 3分钟 （隐含c，每个呼叫的平均时间为 3分钟）9 / 28平均服务率： 1呼叫/分钟(隐含c)3平均等待时间：E(w) 3分钟()2故一个公用电话可以支持的最大呼叫量为：2 L呼叫/分钟136此时：一 0 . 5例4.分组交换网中所有信道

24、(链路、线路)容量加倍，每个用户的数据量也加倍。采用固定路径，从任何结点进入的报文流均为泊松流，具有相同的负指数长度分布，平均长1/科。这是M/M/1模型，计算结果如下表。先前当前i链服务率C/(1/ g )= gC I2C/(1/ g )= 2 gC ii链报文到达率入i2人i全网报文到达率丫2 T全网平均时延E (T) = E (N) / 丫i链平均时延E (T i ) =1/( c C i -入 i )i链队长E (N i )=入 i E (T i )=入 i / ( C -入 i)E (N) =E (N i )E (T) = E (N) / 丫i链平均时延E (T i )' (

25、21M C，-2 入 i ) = 0.5 E (T i )i链队长E (N i )，入=2 0.5) E (T i )= E (N i )E (N) ' = E (N i )' = E (N i ) = E (N)E (T) ' E (N)2/T = 0.5 E (T)例5.某网络的出口线路只有一条，速率为 6.4kbps；该网络的外出报文率平均为每秒4个报文，设外出报文的产生为泊松过程，报文长度为指数分布，平均长 1408比特。求：(1) 90%时延和90%等待时间(2) 如果90%的报文的排队时延不超过 5秒，问允许的报文到达率为多大？此时平均队长为多大？及排队时延

26、增大的百分比各为多少？解:(1)翳022秒入=4报文/秒P =4 0.22 0.88 cE(n) 7.33 报文1E (T) 1 -0-21 .83 秒(1)1 0.88100m t (90 ) E (T ) ln( -)2.3 E (T )10 / 28= 2.3(1)2.3 1 .834.209 秒100w(90) E(T)ln( =3 .98 秒(2)设 m T (90 )2 .3 E (T )5 s则，E (t)2.174 s2 .312.1742.1744.085报文/秒11c 2.1740.22E(n) E(T) 8.88 报文P增大的百分比为：4.0850.220.88 100%

27、2 125 %0.88排队时延增大的百分比为：丝4一03- 100 %18 8%1 .83例6、某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达的次数服从Poisson分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，每次服务平均需要6分钟。求：(1)修理店空闲的概率；(2)店内有三个顾客的概率；(3)店内至少有一个顾客的概率；(4)在店内平均顾客数；(5)顾客在店内的平均逗留时间；(6)等待服务的平均顾客数；(7)平均等待修理的时间；解：这是一个M/M/1:/ /FCFS排队系统=4,=10, = / =2/5=0.4(1) Po=1- =1-2/5=3/5=0.6 P3= 3(1- )=0.43X0.

28、6=0.0384(3) 1-Po=1-(i- )= =0.40.4(4) L 0.6671 1 0.4(5) W 1 1(小时)10(分钟)10 4611 / 28(6)Lq0.421 0.40.267(7) Wo W 0.4 10 4(分钟)q例7. 一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为 20分钟;间服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：(1)顾客来店理发不必等待的概率；(2)理发店内顾客平均数；(3)顾客在理发店内的平均逗留时间；(4)当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。理发时解：这是一个M/M/1:/ /FCFS排队系统

29、=3,=4,= / =3/4=0.75(1) Po=1- =1-0.75=0.250.751 0.75(3) W1(小时)(4)W 1.25, =3.2,4当顾客到达速率增加到每小时大于3.2人，即顾客相继到达的时间间隔缩短到钟以下时，顾客在店内平均逗留时间将超过1.25小时。例8.在上一题(例7)中，如果修理店内已有三个顾客时，店主就拒绝顾客排队。求:(1)店内空闲的概率；(2)各运行指标L, Lq, W, Wq。解：18.75 分应用举例12 / 28例9.某汽车加油站有两台加油泵为汽车加油，力口油站内最多能容纳6辆汽车。已知顾客到达的时间问隔服从负指数分布，平均每小时到达18辆汽车。若加

30、油站中已有K辆车，当K>2时，有K/6的顾客将自动离去。加油时间服从负指数 分布，平均每辆车需要5分钟。试求：(1) 系统空闲的概率为多少？(2) 求系统满的概率是多少？(3) 求系统服务台不空的概率(4)若服务一个顾客，加油站可以获得利润 10元，问平均每小时可获得利润 为多少元？(5) 求每小时损失掉的顾客数？(6) 加油站平均有多少辆车在等待加油，平均有多少个车位被占用？(7) 进入加油站的顾客需要等多长的时间才能开始加油，进入加油站的顾客 需要多长时间才能离去？解：稳态概率关系：Pi=入 / 仙 P o=3/2Po P 2=入 /2 仙 P i=9/8PoP3=9/16P0P 4

31、=27/128PoP5=27/512P0 P 6=27/4096P0由 PO=P1+B+B+P4+P5+P6=1 解得：P0=0.22433P1P2RP4P5P60.336490.252370.126180.047320.011830.00148运行指标:13 / 28P0=0.22433P6=0.00148(3) P 忙=1-P0-P1=0.43918(4) Me=145.78 (辆/每小时)(5) 入损=入-入e=3.4218 (辆/每小时)(6) Lq=0.26223Ls=1.47708(7) Wq=1.08 分钟Ws=6.08 分钟例10某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，

32、平均速度为50人/小 时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布， 平均停留时间为0.5小时， 问候车室内平均人数为多少？解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/8/ 00/00入=50 N =2状态概率关系：Pn=1/n!（入/ p）nP0 p =25代入0SPn=ln=011Ls=p =25(人)得 P 0=e-p14 / 28例11兴建一座港口码头，只有一个装卸船只的泊位。要求设计装卸能力。装卸 能力单位为（只/日）船只。已知：单位装卸能力的平均生产费用a=2千元，船只逗留每日损失b=1.5千元。船只到达服从泊松分布，平均速率入=3只/日。船 只装卸时间服从负指数分布。目标

33、是每日总支出最少。解：入=3 以待定 模型M/M/1/ 8/ oo队长 Ls =入/-入）总费用 C=a（i +bLs=a（i +b入/（仙-入） 求极值（最小值）2求导dc/du=a+- b入/（仙-入）所以 n =入+（b入/a） 1/2=4.5（只/日）例12建造一口码头，要求设计装卸船只的泊位数。已知：预计到达 入=3只/天，泊松流装卸 n =2只/大，负指数分布。装卸费每泊位每天a=2千元，停留损失费b=1.5千元/日目标是总费用最少。解：模型 M/M/C/8/8 C 待定总费用：F=ac+bLs （c）离散，无法用求导来解。考虑。 M/M/C/ 8/ oo 要求 p =入 /c n

34、 <1 即 c> 入 / n =1.5讨论 c=2,3,4M/M/2/8/OOM/M/3/8/OOM/M/4/8/8Po0.142860.210530.22099Lq1.928570.236840.04475Ls3.428571.736841.54475F9.142868.6052610.31713结论：c=3即设计三个装卸泊位可使每天的总费用最少，8.60526千元15 / 28课后习题：1 设顾客以泊松流到达某单服务台理发店，平均每小时到达2人，理发时间服从负指数分布，平均每人用 20分钟，求(1)顾客不用排队等候的 概率；(2)理发店平均有几个顾客；(3)如果要是顾客站着等的

35、概率 不大于00 1,理发店要设几个座位？答案：(1) 1/3 (2) 2 (3) 62 某工人看管六台机器，平均每小时机器要更换一次工件，每更换一次工件平均要6分钟，已知机器完成一个工件的生产时间和工人更换工件的 时间都服从负指数分布，试求(1)工人空闲的概率(2)停止生产的机 器的平均台数？ ( 3)每台机器为更换工件平均停工的时间？答案：(1) 0.4845 (2) 0.8454 (3) 0.164 小时3 .在M/M/1:N/ 8/fcfS系统中，设顾客到达速率为入，服务速率为科，求单位时间内被 拒绝的顾客数的期望值。4 .在第一题中，设顾客到达速率增加到12人/小时，这时又增加一个同

36、样熟练的修理工，平均修理时间也是6分钟。求：(1)店内空闲的概率；(2)店内有两个或更多顾客的概率；(3)计算运行指标L, Lq , W, Wq。5.如果将第10题中的两个修理工分别安排在两家修理店里，成为两个单人修理店，每个店 顾客到达速率都是6人/小时，服务速率都是6分钟。(1)求这两个修理店的运行指标 L, Lq, W, Wq；(2)将以上运行指标与第10题两个修理工的系统比较。问题的提出：在校医院就诊时，我发现外科诊室共有六张诊台，而且经常六张诊台中总有 一两张会被闲置下来。据此现象，我便想到了应如何利用运筹学知识来根据就诊 人数配置诊台的问题。问题模型：此类问题属于排队论的范畴。首先

37、根据诊台为多数个确定其为多服务台问16 / 28题。其次，考虑到若采取多队方式会因各接待人服务效率不同而造成队伍之间人 数的不平衡，不能使系统达到最优配置，故将模型定为单队多服务台型。 具体框 图如下：单队多服务台型设共有c个诊台，每个医生的平均服务率均为 u。在正常情况下，病人的平 均到达率为，则t时间内有一个病人到达的概率为 R t,在t时间内有一个病人离去的概率为qit问题解决：分三种情况考虑：(1)当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为：(a)在时间t内没有病人排队，t时刻也没有病人到达的概率为Po(1t)。(b)在时间t内有一个病人，t内没有顾客到达，但有一位病人接受 诊断后离去的

38、概率为Pi(1t)u t 0(c)在时间t内没有病人排队，但在t时刻内有一位病人到达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为 Po tu to则 Po Po(1t) Pi(1t)u t Po u( t)2略去二阶小量，整理得P1Po / u。(2)当已有n个病人，且1 n c时，可分为以下四种情况：(a)时间t内有n-1个病人在排队，t时刻内有一位病人到达，但没 有任何病人被诊断的概率为Pn 1 t(1 nu t) o(b)时间t内有n+1个病人在排队，t时刻内没有病人到达，但有一 位病人接受诊断后离去的概率为 Pn1(1t)(n 1)u t。(c)时间t内有n个病人在排队，t时刻内没有病人到达，

39、也没有任 何病人被诊断的概率为Pn(1t)(1 nu t)017 / 28(d)时间t内有n个病人在排队，t时刻内有一个病人到达，也有一 位病人接受诊断后离去的概率为Pn tnu t。(3)病人数nc时，与情况(2)类似，但相应的概率分别为:(a)Pn 1(t)(1 ct)(b)Pn 1(1t)(ct)(c)Pn(1t)(1 ct)(d )Pn(3 t由上面的公式得到:Pn1Pnr Pn1n!PcI PnhP°'解得:P0n 0 n!c! 1由此可得,平均病人数目为LqcP0每个病人平均候诊时间为Wq问题的深入:以上仅仅求得了平均病人数目和平均就诊时间，我们可以明显的看到，当

40、有18 / 28一个诊台数目c时就可以得到对应的平均病人数目和平均就诊时间， 但我们并不 能判断何时系统的诊台配置为最优，为此我们将此问题进一步加以深入。假设加权系数ki,k2,使得问题化为求min(ki*Wq k? * c),即适当选取c值使得系统有最小值，则认为此时的c值即为最优选择。将问题进一步简化，令k k2/ki,则原问题简化为求min(W k*c)。q由上一步结论可见，在病人平均候诊时间 Wq中含有c的阶乘及乘方项，很难对 此问题进行求解。胡运权排队诒习题解10,1某修建店只有一个修理工人，来修理的顾客到达我数朋从普阿松分布,平均每小时3 人拶理时间服从负指数分布开均需1。分钟；求

41、(1)修理店空闲时间概率；(2)店内有4个顽客的概率；(3)店内至少有一个顾客的概率；在店内顾客平均数，(5)等待朋劳的顾客平均数：(6)在店内平均也留时间：(7)立均等待修理(服务)时间；(8)必须在店内消耗15分钟以上的概率一解：该系统为 M /M/l/x / x)模型 t A = 3 t p = = 6.1019 / 28解：该系统为(M/M/l/x?/x)模型？尤=37 u = = 6.产10Q*口 = 1-2=1-?= 7: u Lq)pl(i力/ = 0-今(；)* 4O)l-pc =l-y= y；=1(人);L厂；3也二-L- = J- = l (小时N16-33£ (

42、7)vv=上=L(小时q "一。6-36比=_ =_=1（小时>,一大 一（4） / VV = - > 1.25:*一2-J>1.25, 八32,32 3 = 02（人/小时）. 4-/答:颐客来打字不必等待的概率为工打字室内顾客平均数为3人:顾客在4打字室内平均逗留时间为1小时代）平均到达率为0.2人，小时时，店主才会考 虑增加设备及打字员.10,3汽车按平均90辆上的poiss逅i流到达高速公路上的一个收覆关卡，通过关卡的平均时 间为招自“由于鸳驶人员反映等待时间太长,主管部门打算采用期装置.使汽车通过关卡的 平均时间诚少到平均30e。担增加新装置只有在原系统中

43、等待的汽车平均数超过5辆和新系 统中关卡空闲时间不超过10%时才是合算的。根据这一要求，分析新装置是否合算。解,该系统属于MM1模型10.3汽车校干均90辆大的poissioti流到达高速公路上的一个收费关卡，通过父卡的平均时 间为宓”由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算来用新装置，使汽车通过关卡的 平均时间慨少到平均213.但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系 统中矢卡空闲时间不超过10%时才是合算的,根据这一萼求，分析新装置是否合算&维：该系统属于MM口模型2 = 90!h3600旧芸置各参数H算.=94.738X 9°=0.9 5U 9 4.7

44、 121 / 28f p 095 sL =19-p0.05L” £ #= 19_0S5= 18.05。二l ”= 0.05采用新装置各参数计算: /=90"i= 1203 60030人上二= 31-p 1-0.75卬=L_q= 3 _0.7 5 = 2.2 5户。=1一户=0.25分析r因为采用新装直后要求医系统中等待的汽车平挖数超过5辆为合身.经计算厚系统的Lq - 1805>5满足这个条件.但是还有一个条件是采用新装置后要求新系统中美卡空闲时间不超过I。呢,而经计算'=0.25即新系统的空闲率为25柏里出了要求，所以采用新装 置是天合算的.10.4某车间的

45、工具仓库只有一个管理员，立均有4人力来令工具，到达过程为Poisson流 领工具的时间服从负指损分布，平均为加田鼠由于场地限制.仓室内领二具的人最多不能 超过3人.求.（1）仑阜内没有人领工具的概率工（2）仓库内领二具的工人的平均数.排队等待领工具的工人的二均数；（4工人在系统中的平均花更时间：（5） H人平均排队时间.22 / 28解；该系统属于MZM/U3模型人=9与一1- Q ,2 :尸手二p/。=（J-，P 1- 1-。“/ = L_0 一“J几=和外）=L 65 小三一三=（%3.8 48£ 0,600.6 = 0.0384=?，（人）=0.5-（1-0.6） = 0.1（

46、A）4（1-0.038） = 3.848）.13 （小时）23 / 286在第1。题中，若颜睿平均到达率增baU超，日寸6人，仍为僧阿松流，月降时间不 交，迹寸熠加了一个工（B才脆九夕的值说明增加工人的原因；（2）增加工人后求店向空用概率*店阿有2人或更多顾客（即工人鳌忙）的概率。求y/此解（1>人小时|必=6人/小时,因为。=1,"牍,意味着系统的流入里等于流出弟，系统没有空闲时间口所以要熠加工人。 增加I个工人后 此系侬成鄱人系统10 7 有一 WM15"槿露 平均服务率户=10,就两种到达率：尢=1*分钟）已计算出相应的概率p.如表10-9所示，试就这两种情况计

47、算：表 1。 9系统中题客数n(A = 6以0 = 1杷00.4200510250.0720.150.1130 09O.lfl40.050.2450.040.37<1）有效到达率和服舞宫的服务强度；（2）系统中慵言的平均数f（3）系统的满足率j（4服务台应从那些方面承进工作？理由是什么？24 / 28解当不=6, #=10B寸?有-P = 0.04, p = = 0.6有达到效率 4 =z(l-Ps) = 6(1-0,04) = 5.76 蜃务台的服务强度_ ；610C = (1- Q x (1-0.04)= 0.6x 0.96 = 0.576(2)系统中平均顾客数。二£十土;*0 6。=0.42x xl-0.6