度量空间的可分性与完备性

1、度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的， 我们称此性质为实数空间 R 的可分性.同时，实数空间 R还具有完备性，即 R中任何基本列必收敛于某实数.现在我们 将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X是度量空间，A,B X ,如果B中任意点x B的任何邻域O(x,)内都 含有A的点，则称A在B中稠密.若A B,通常称A是B的稠密子集.注1 ： A在B中稠密并不意味着有 A B.例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也

2、有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) x B , xn A,使得 limd(x,x) 0; n(3) B A (其中A aJ A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集)；(4)任取 0,有B I lo(x,),即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合x/A覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X,若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.证明由定理知B A , C B,而B是包含B的最小闭集，所以 B B A ,于是有C A,即A在C中稠密.口注2：利用

3、维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1)多项式函数集Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知:(2)连续函数空间Ca,b在有界可测函数集Ba,b中稠密. 有界可测函数集 Ba,b在p次塞可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ).利用稠密集的传递性 定理1.3.2可得：(4)连续函数空间Ca,b在p次哥可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ).因此有 Pa,b Ca,b Ba,bLpa,b.定义1.3.2 设X是度量空间，A X ,如果存在点列xn A,且xn在A中稠密,则称A是

4、可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称 X是可分的度量空间.注3: X是可分的度量空间是指在 X中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1 欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明 设Qn (r1,r2,|,rn)|r Q,i 1,2, |,n为Rn中的有理数点集，显然Qn是可数集，下 证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点x (x ,X2,|,xn),寻找Qn中的点列rk,其中4 (rk,r2k,|,rnk),使得 rk x(k ) .由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数x (i 12"|,n),存在有理数列rk x(k ).于

5、是得到Qn中的点列rk,其中rk“1k, r2k,|,rnk) , k 12 Ml.现证 rkx(k ).。，由rk x(k )知，KiN ,当 k Ki时，有| rkx | 7 ,i 1,2,|,n2|B K maxK1,K2,|,Kn,当 k K 时，对于 i 1,2,“|, n ,都有 | rknd (rk, x)k| r xi即 rkx(k),从而知Qn在Rn中稠密.口例1.3.2连续函数空间Ca,b是可分的.具有有理系数的多项式的全体PO a, b在Ca,b中稠密，而POa,b是可列集.证明显然POa,b是可列集x(t) C a, b,由 Weierstrass 多项式逼近定理知，

6、x(t)可表示成一致收敛的多项式的极限，即0 ,存在(实系数)多项式p (t),使得d(x,p)max|x(t) p (t)| 万另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p0(t) P0a,b,使得dew max1P p。1因此,d(x,p0) d(x, p ) d(p ,p°),即 p°(t) O(x,),在 Ca,b中任意点 x(t)的任意邻域内必有?a,b中的点,按照定义知 Poa,b在Ca,b中稠密.口例1.3.3p次哥可积函数空间Lpa, b是可分的.证明 由于POa,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集FOa,b在Lpa,b

7、中稠密.口例1.3.4 p次哥可和的数列空间1P是可分的.证明 取 Eo(1,2,|,%,0,|“,0,|)|Q,n N,显然Eo等价于IJq”，可知Eo可数,卜面证Eo在lp中稠密.x (x1,x2,|,xn,卜)1P，有|x |pp|x |1又因Q在R中稠密，对每个x(1 ilx|P2N1,2,3,|,N)于是得r |pNlxi 1令 Xo(r1,2|4,0|,0,|) Eo,则Nd(%,x) ( |xi 11|x |p)p1p 2)p2因此Eo在1P中稠密.口例1.3.5 设X 0,1,则离散度量空间(X,d0)是不可分的.证明 假设(X,do)是可分的，则必有可列子集Xn X在X中稠密

8、.又知X不是可列集,所以存在x1-，*、,，*、 I*O(x , )x d()(x,x ) 一 x2即O(x*,)中不含xn中的点，与在X中稠密相矛盾.口思考题：离散度量空间(X,do)可分的充要条件为 X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘 2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如10=2=取1;=取0;=取1.二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上(即1/2),第二位为1则加n 1上(1/4),第二位为1则加上(1/8)以此类推.即(0,x1x2 xn)2 (1x)10，例如i 1 2'1112= (- 1 - 0 - 1)10(0.625)10 248因

9、此0,1与子集 A x (x1,x2,3,心n 0或1对等，由0,1不可数知A不可列.例1.3.6 有界数列空间l是不可分的.l x (%,*2,|惘,加=(内)| x为有界数列,对于x (x) , y (y) l ,距离定义为 d(x,y) sup|x yi |.i 1证明 考虑l中的子集A x (Xi,X2,“|,xn,加xn 0或1,则当x, y A, x y时，有d(x,y) 1 .因为0,1中每一个实数可用二进制表示，所以A与0,1一对应，故 A不可列.假设l可分，即存在一个可列稠密子集A0,以A0中每一点为心，以1为半径作开球，所3有这样的开球覆盖l ,也覆盖A .因A可列，而A不

10、可列，则必有某开球内含有A的不同的点，设x与y是这样的点，此开球中心为x0 ,于是1 121 d(x,y) d(x,x0) d(x0,y)二二二 3 3 3矛盾，因此l不可分.口1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy歹U)必收敛.即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设%是度量空间 X中的一个点列，若对任意0 ,存在N ,当m,n N时，有d(xm,xn)则称xn是X中的一个基本列(或Cauchy歹U).定理1.3.3 (基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1)如果点列Xn收敛，则XJ是基本列；(2)如果点列xn

11、是基本列，则xn有界；(3)若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.证明(1)设xn X,xX,且 x.则 0 , N N,当 n N 时，d(xn,x) - , 2从而n , m N时，d(xn,xm) d(xn, x) d(x, xm)- -.2 2即得%是基本列.(2)设xn为一基本列，则对 1 ,存在N ,当n N时，有d(xN 1,xn)1 ,记M maxd(x, Xn)d(x2,xN 1), |,d(xN, Xni),1 1 ,那么对任意的m,n ,均有d(xn,xm) d(xn,xN1) d(xm,xN i) M M2M ,即xn有界.(3)设xn为一基本

12、列，且xnj是xn的收敛子列，xnkx(k).于是，0, Ni N ,当 m,n N1 时，d(xn,xm)鼻； N2 N ,当 k N2 时，d(xnk,x) 3 .取 N maxM,N2,则当n N , k N时，nk k N ,从而有d(xn, x) d(xn,xnk) d(xnk, x) - &,故 xnx(n ) .口注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗例1.3.7 设X (0,1), x, y X ,定义d(x,y) x y ,那么度量空间(X,d)的点列1xn,是X的基本列，却不是 X的收敛歹U.n 1证明对于任意的10,

13、存在N N ,使得N - ,那么对于m N a及n N b,其d (xn , xm ) I xn xma b(N a 1)(N b 1)maxa,ba b1(N a 1)(N b 1) Na Nb N'即得%是基本列.显然lim 0 X ,故4不是X的收敛列. n n 11或者利用 是R上的基本列，可知 0, NN,当n,mN时有 n 1 .于是可知xn 也是X上的基本列.口n 1 m 1n 1如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢是完备的度量空间.定义1.3.4 完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收

14、敛，则称X是完备的度量空间例1.3.8 n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明 由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及 R的完备性易得.口例1.3.9 连续函数空间Ca, b是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,g) max | f (t) g(t)|)t a,b证明 设4是Ca,b中的基本列，即任给 0,存在N,当m,n N时，d(xm,4)即maxxm(t) xn(t)故对所有的t a,b, xm(t) xn(t) |,由一致收敛的 Cauchy准则，知存在连续函数x(t),使xn(t)在a,b上一致收敛于 x(t),即 d(xm,x)0(n)，且 x Ca,b.因此 Ca,b完备

15、.口1例1.3.10 设 X C0,1 , f(t),g(t) X,te 乂 a(f,g) J f (t) g(t) dt ,那么(X,dJ 不是 完备的度量空间.(注意到例结论(X,d)完备)证明设01 fn(t)n(t -)1fn(t) C0,1的图形如图1.3.1所示.显然fn(t)01212C0,1, n 1,2,3,(|因为dfm, fn)是下面右图中的三角形面积，所以当m,n N时，有一一一 1 1 1dl( fm , fn )2 n mfn(t) C0,1图像及有关积分示意图于是 fn是X的基本列.下面证 fn在X中不收敛.若存在f (t) X ,使得d1(fn, f)0(n).

16、由于 d"fn,f)10|fn(t) f(t)|dt120 I f(t)|dt111:，|fn(t)f (t) | dt 1 1|1 f(t)|dt, 显然上式右边22 -n的三个积分均非负，因此 d1(fn,f) 0时，每个积分均趋于零.推得f (t)0 t 0,1 t (J可见f(t)不连续，故fn在X中不收敛，即C0,1在距离d1下不完备.口表1.3.1常用空间的可分性与完备性度量空间n维欧氏空间(Rn,d)X可数离散度量空间(X,d0)X不可数d(x,y).in,(xy)20当xy时d0 (x, y)1 当xy时d(f,g)rm%1f g(t)|df,g)f(x) g(x)

17、dx ad(x,y)sup| x i 1y |1dp(x,y)|x )/i|p p距离i 1有界数列空间lp次哥可和的数列空间lp连续函数空间Ca,bp次哥可积函数空间1但 d(f，g)(abjfg1Pdt)pv v由于有理数系数的多项式函数集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及LPa,b中稠密，可知闭区间a,b上多项式函数集 Pa,b、连续函数集Ca,b、有界可测 函数集Ba,b、p次哥可积函数集 LPa,b均是可分的.前面的例子说明n维欧氏空间Rn以及p 次哥可和的数列空间1P也是可分空间，而有界数列空间 l和不可数集X对应的离散度量空间 (X, do)是不

18、可分的.从上面的例子及证明可知， n维欧氏空间Rn是完备的度量空间，但是按照欧氏距离 X (0,1)却不是完备的；连续函数空间Ca,b是完备的度量空间，但是在积分定义的距离1d1(f,g)o|f(t) g(t)|dt下，C0,i却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的.我们还可以证明p次哥可和的数列空间iP是完备的度量空间，p次哥可积函数空间LPa,b(p 1)是完备的度量空间，有界数列空间的完 备性.通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理.定理1.3.4 (

19、闭球套定理)设(X,d)是完备的度量空间，Bn O(xn, n)是一套闭球：如果球的半径BiB2|B,IM0(n),那么存在唯一的点证明 (1)球心组成的点列4为X的基本列.当m n时，有Xm Bm Bn ( O (Xn , n),可得d (xm , xn ) n -0 ,取N ,当n N时，使得n ,于是当m,n N时，有d(Xm,Xn)所以%为X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间，所以存在点x X ,使得lim xn x .令式 中的md(x 与)即知x Bn ,1,2,3,UI，因此 x(3) x的唯一性.设还存在y X ,满足yBn ,那么对于任意的n N ,

20、有x,y Bn ,从而 d(x,y) d(x,xn) d(xn,y) 2 n 0 (n注4:完备度量空间的另一种刻画:设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：BiB2 Bn I1其中 BnO(xn, n),当半径 n 0(n),必存在唯一的点大家知道lim(1 1)n e,可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间 n n是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用. 对于 般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用. 那么是否对于任一不完备的度量空 间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢下面的结论给出了肯定的回答.定义1.3.5 等距映射设(X,d)