大学统计学练习题及答案

1、第7章参数估计 练习题7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为 40的样本，样本均值为 25。(1) 样本均值的抽样标准差又等于多少？(2) 在95%的置信水平下，边际误差是多少？解：已知5, n 40, X25样本均值的抽样标准差540100.79已知5, n40, X25,-1095%Z 2 Z0.0251.96边际误差EZ 21.96*n101.5547.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3周的时间里选取 49名顾客 组成了一个简单随机样本。(1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；(2) 在95%的置信水平下，求边际误差；(3) 如果样本均值

2、为120元，求总体均值的95%的置信区间。解.已知.根据查表得z /2 =1.96(1)标准误差:152.14,49(2).已知 z /2=1.96所以边际误差=z /2* s/ 2.n1.96* 45- =4.249(3)置信区间:15 一120151.96,49115.8,124.27.3从一个总体中随机抽取n 100的随机样本，得到x 104560，假定总体标准差85414,构建总体均值的95%的置信区间。Z 之 1.96Z1.96*2 . n8541410016741.144x Z 一 10456016741.144 87818.856x Z 2.10456016741.144 121

3、301.144置信区间：(87818.856,121301.144)81, s 12。(1)(2)(3)构建构建构建解；由题意知n的90%的置信区间。的95%的置信区间。的99%的置信区间。100, x 81,s 12.7.4从总体中抽取一个 n 100的简单随机样本，得到 x(1)置信水平为190%，贝U Z 1.645.1由公式x z2s1281 1,645,n10081 1,974即 81 1.97479,026,82,974 ,贝U的90%的置信区间为79.02682.974(2)置信水平为195%, z 1.962s12由公式得 x z =81 1,9681 2.3522. n100

4、即 81 2,352 = (78648, 83,352),贝U的95%的置信区间为 78.648-83.352(3)置信水平为199% ,则Z 2.576.2.s12由公式 X z = 81 2,576 81 3.096万. n100即 81 3.1则的99%的置信区间为7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1)(2)(3)25,119.6,3.419,3.5, ns 23.89 ,s 0.974 ,60,置信水平为95%。75,置信水平为98%。32,置信水平为90%。 X 25,3,5,n60,置信水平为95%解：Z_ 万1.96,1,963,5-600,89置信下限:25 0

5、,89 24,11置信上限:25 0,89 25,89置信区间为(24.11,25.89) X 119.6,s 23.89, n 75,置信水平为 98%解：Z 2.3322.3323.89756.43置信下限：Xs.n119.6 6.43 113.17置信上限：X119.6 6.43126.03置信区间为(113.17,126.03) X =3.419,s=0.974,n=32,置信水平为 90%根据t=0.1 ,查t分布表可得Z0.05(31)1.645.Z *)0.283所以该总体的置信区间为一sX /2 (一) =3.419 0.283 .n即 3.419 0.283= (3.136

6、, 3.702)所以该总体的置信区间为3.1363.702.7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1) 总体服从正态分布，且已知(2) 总体不服从正态分布， 且已知(3) 总体不服从正态分布， 未知,500, n 15, X 8900,置信水平为 95%。90%。(4) 总体不服从正态分布,500, n 35, X 8900 ,置信水平为 95%。 n 35, X 8900 , s 500,置信水平为未知，n 35, X 8900, s 500,置信水平为99%。(1)解：已知500, n 15, X 8900, 1-95%, z 1.962一.n89005001.9615(864

7、7,9153)所以总体均值的置信区间为(8647, 9153)(2)解：已知500, n35, X 8900, 1-95%, z 1.962所以总体均值(3)解：已知8900 1.96500(8734,9066) ,35的置信区间为(8734, 9066)n 35, x 8900,s=500,由于总体方差未知，但为大样本,可用样本方差来代替总体方差.置信水平 1=90% .1 z21.645.置信区间为X z 812 ., n1.645500(8761,9039).35所以总体均值的置信区间为(8761,9039)(4)解：已知 n 35, X 8900,s 500,由于总体方差未知，但为大样

8、本，可用样本方差来代替总体方差置信水平1a =99% .1 z22.58s.置信区间为X z 8900 2.582 n500(8682,9118)所以总体均值 的置信区间为(8682, 9118)7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见 生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为Book7.7 (单位：h)。求该校大学 90%、95% 和 99%。解：已知：x 3.3167 s 1.6093n=361.当置信水平为90%时，z 1.645,2 s 1.6093x z 3.3167 1.6452 /n： 36

9、3.31670.4532所以置信区间为(2.88,3.76)2.当置信水平为95%时,z 1.96,2一 s 一x z s 3.31672 n1.961.6093363.31670.5445所以置信区间为(2.80, 3.84) 3.当置信水平为99%时，z 2.58,23.31672.581-6093 ,363.3167 0.7305所以置信区间为(2.63, 4.01)7.8从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8 。求总体均值95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但未知，n=8为小样本，0.05, t0.05 (8 1) 2.3652"根据样本数据

10、计算得：x 10,s 3.46s3 46总体均值的95%的置信区间为：X t 指 10 2.365 竿 10 2.89,即(7.11,万.n.812.89)。7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)数据见Book7.9 。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但未知，n=16为小样本，=0.05, t0.05/2(16 1) 2.131根据样本数据计算可得：X 9.375, s=4.113从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：4.1139.375 2.19114 sx t /2-

11、 9.375 2.131即(7.18, 11.57)。7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm,标准差为1.93cm。(1)试确定该种零件平均长度 95%的置信区间。(2)在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。解：已知103, n=36, x =149.5,置信水平为1-=95% ,查标准正态分布表得/2=1.96.根据公式得:/2 =149.5n1.96103.36即 149.5 1.96 403= (148.9, 150.1).36答：该零件平均长度 95%的置信区间为148.9150.1(3)在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个

12、重要定理？请简要解释这一定理。 答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加， 样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量(单位：g)见Book7.11已知食品重量服从正态分布

13、，要求：(1) 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。(2) 如果规定食品重量低于 100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。(1)已知：总体服从正态分布，但未知。n=50为大样本。=0.05,0.05/2 =1.96根据样本计算可知=101.32 s=1.63该种食品平土重量的 95%的置信区间为/2s/ n 101.32 1.96*1.63/ 50 101.32 0.45即(100.87, 101.77)(2)由样本数据可知，样本合格率：p 45/50 0.9。该批食品合格率的95%的置信区间为：p(1 p) / “ 0.9(1 0.9)口up /2 <=0.9 1

14、.96J-" =0.9 0.08,即( 0.82, 0.98)n50答：该批食品合格率的95%的置信区间为：(0.82, 0.98)7.12 假设总体服从正态分布，利用 Book7.12的数据构建总体均值的99%的置信区间。根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；-0.8706X =16.13=0.8706 E= Z 一=2.58*-一=0.45置信区间为X E所以置信区间为(15.68, 16.58)7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13 (单位：h)。假定员工每周加班的时间服从正态

15、分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：已知 X =13.567.800.1n=18E= *. n置信区间=X -. n , X+. n 22所以置信区间=13.56-1.645*(7.80/18),13.56+1.645*(7.80/ .18 )=10.36,16.767.14利用下面的样本数据构建总体比例的置信区间。(1) n 44, p 0.51,置信水平为 99%。(2) n 300, p 0.82,置信水平为 95%。(3) n 1150, p 0.48,置信水平为 90%。(4) n 44, p 0.51,置信水平为 99%。解：由题意，已知n=44,置信水平

16、a=99%, Za/2=2.58又检验统计量为：p z 卜1p),故代入数值计算得，p(1 p)P Z J=(0.316, 0.704),总体比例的置信区间为(0.316, 0.704)n(5) n 300, p 0.82 ,置信水平为 95%。解：由题意，已知n=300,置信水平a=95%, Za/2=1.96又检验统计量为：P Z ' p(1 p),故代入数值计算得,p(1 p)P Z I=(0.777, 0.863), 总体比例的置信区间为(0.777, 0.863)n(6) n 1150, p 0.48,置信水平为 90%。解：由题意，已知n=1150,置信水平a=90%, Z

17、a/2 =1.645又检验统计量为：p z，p(1 p),故代入数值计算得，p(1 p)P Z J=(0.456, 0.504),总体比例 的置信区间为(0.456, 0.504)n7.15在一项家电市场调查中，随机抽取了 视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 为 90%和 95%。解：由题意可知 n=200, p=0.23200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别(1)当置信水平为 1- =90%时，Z /2 =1.645p(1 p)0.23 (1 0.23)所以 p z /20.23 1.645. =0.23 0.04895n.200即 0.23

18、0.04895= (0.1811, 0.2789),所以p Z /2p(1 p)p' p 0.23 1.96 n(2)当置信水平为1- =95%时，Z /2=1.960.23 (1 0.23) =0.23 0.05832200即 0.23 0.05832= (0.1717, 0.28835);答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为(18.11%, 27.89%),在置信水平为 95%的置信区间为(17.17%, 28.835%)7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元，要求估计误差在 200

19、元以内，应选取多大的样本？解：已知 1000,E=1000,199%, z /22.58z2 /2 * 2由公式 n 可知 n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167答：置信水平为 99%,应取167个样本。7.17要估计总体比例(1)(2)(3)0.02,0.04,0.05,，计算下列个体所需的样本容量。0.40,置信水平为96%。未知，置信水平为 95%。0.55,置信水平为90%。(1)解：已知 E 0.02,0.40, ,/2=2.05由n 广(1)/ 2得n2.052 0.40(1 0.4) 0.022=2522答：个体所需的样本容量为2522。(2)

20、解：已知 E 0.04,/2=1.96,22 一由 n /2(1) / 得n 1.962 0.52 0.042 601答：个体所需的样本容量为601。(3)解：已知 0.05 ,0.55 ,/2 =1.645(29 .由 n /2(1)/ 得,_2_ 一 一 2n 1.6450.55 0.45 0.05 =268答：个体所需的样本容量为268。7.18某居民小区共有居民 500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。(1) 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。(2) 如果小区管理者预计赞

21、成的比例能达到80%,应抽取多少户进行调查？(1)已知：n=50 Z 1.962根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60%根据(7.8)式得:P ,>(1nP) 64% 1.96%。64%即 64% 12.63% (51.37%,76.63%)答：置信区间为(51.37%, 76.63%)(2)已知 80%10% Z 1.96722_ _ _则有：n Z z* 1)"6 *0.8(1 0.8)620.1答：应抽取62户进行调查7.19根据下面的样本结果，计算总体标准差的90%的置信区间。解：已知11) 查表知(1) x 21, s 2, n 50。(2) X 1.3,

22、s 0.02, n 15。(3) X 167, s 31, n 22。90%,10%,- 0.05,1 0.952222(n 1) 67, (n 1) 341 22由公式"22 (n 1)s221 - 2(50 1)*22,67(50 1)*2234,解得( 1.72, 2.40)2(n 1) 6.570632, ，,2，2)查表知 (n 1) 23.6848,由公式”2 (n 1)s221 -(15 1)*0.02223.68481 ， ,2，、3) 查表知 (n 1)2(15 1)*0.0226.57063-232.6705, (n 1) 11.59132.2 (n 1)s221

23、 _2,解得(0.015, 0.029)得(22 1)*31,32.67052(22 1)*31211.5913,解得(24.85, 41.73)7.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位： min)见 Book7.20 q(1) 构建第一种排队方式等待时间标

24、准差的95%的置信区间。(2) 构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。(3) 根据(1)和(2)的结果，你认为哪种排队方式更好？7.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体1的样本来自总体2的样本n1 14n2 7x1 53.2x2 43.42 2_s196.8s2 102.0(1) 求12的90%的置信区间。(2) 求12的95%的置信区间。(3) 求12的99%的置信区间。x1257.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表: 来自总体1的样本来自总体2的样本x223s2 16s；20(1) 设n1 n2 100,求12 95%的置信区间。(3)设 n1 n2 10,2的95%的置信区间。(4)设 10, n220,2的95%的置信区间。(5)设 10,n220,2的95%的置信区间。(2) 设n1 n2 10, 122,求12的95%的置信区间。7.23 Book7.23 是由4对观察值组成的随机样本。(1) 计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和sd。(2) 设1和2分别为总体A和