培优专题-用分组分解法进行因式分解含标准答案

1、培优专题用分组分解法进行因 式分解（含答案）作者:日期:初中数学培优专题3、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见” 源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解， 不仅可以考察提公因式法， 公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式12a(a2a1)a4a21

2、分解因式，所得的结果为()22_ 22A.(a2a1)2B.(a2a1)2C.(a2a1)2D.(a2a1)2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式2aa2a1 aa一1432a 2a 3a 2a 1(a4 2a3 a2) (2a2 2a) 122_2(a2 a)2 2(a2 a) 1/2Y 2(a a 1)故选择C- - 5例2.分解因式x一 543 一 2分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把|x x x和 x x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把|x5 x4|.x3 x2和x 1分别看作一组，此时的

3、六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1:原式(x5 x4 x3) (x2 x 1)(x3 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)解法2:初中数学培优专题原式(x5 x4)(x3x2)(x 1)x4 (x 1)x2(x 1)(x1)42(x 1)( x x 1)4-22(x 1)(x4 2x2 1) x2(x 1)( x2 x 1)( x2 x 1)2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且?t足a b, a2 c2 b2 2ac证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于 第三

4、边”、一 一222 Z证明：|ac2 b2 2ac|222a c b 2ac 0a2 2ac c2 b2 0,即(a c)2 b2 0(a c b)(a c b) 0又 a c b a c bacb0, acb0a b c, a b c即a b c a b以a、b、c为三边能构成三角形3.在方程中的应用y,例：求方程.y xy|的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 x故可考虑借助因式分解求解xy x y 0xy x y 11即 x(y 1) (y 1)1(y 1)( x 1)1x, y是整数x0x2或y0y2初中数学培优专题4、中考点拨一 .,一，、2

5、2例1.分解因式：11m n 2mn22解：|1 m n 2mn1 (m2 2mn n2)、21 (m n)(1 m n)(1 m n)说明：观察此题是四项式， 应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式:22,22、，、解:x y x y (x y ) (x y)(x y)(x y) (x y)(x y)(x y 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。. 32例3.分解因式：x3 3x2 4x 12x3 3x2 4x 12x3 4x 3x2 122一 2x(x2 4) 3

6、(x2 4)(x 3)(x 2)(x 2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示:. 2,2.、.2.例1.分解因式：m (n 1) 4mn n 1解：m (n 1) 4mn n 12 22,2/m n m 4mn n 1.2 2_.2_2.(m n2mn1)(m2 mnn ),2,、2(mn 1) (m n)(mn m n 1)(mn m n 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn, 配成完全平方和平方差公式。初中数学培优专题一 ，2.2.2. 2.-.一 ，一一解:例 2.已知：a b 1, c d 1,且 acbd 0,求 ab+cd

7、 的值。1 cd 1ab(c2d2)cd(a2*Iabc2abd2cda2cdb2(abc2cdb2)(abd2cda2)bc(acbd)ad(bdac)(acbd)( bcad)ac bd 0原式 0 2. 2.2.2一说明：首先要充分利用已知条件 1ab 1, c d 1中的1 (任何数乘以1,其值不变)，其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。,. 一,一.3例3.分解因式：|x3 2x 3|分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1时，它的值为0, 这就意味着|x 1是x3 2x二)的一个因式,因此变形的目的是凑反二这

8、个因式。解一(拆项)：x3 2x 3 3x3 3 2x3 2x223(x 1)(x x 1) 2x(x 1), 2(x 1)(x x 3)解二(添项)：x3 2x 3 x3 x2 x2 2x 3x2(x 1) (x 1)(x 3)2(x 1)(x2 x 3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1.填空题:(1)分解因式：a2 3a2_b2 3b(2)分解因式：x2 2x4xy 4y2 4y(3)分解因式：1 mn(13 3mn) m n2. 已知： a b c 0, 求 a3 a2c abc b2c b3 的值。初中数学培优专题3.分

9、解因式：a5 a 14,已知：x2 y2 z2 0, A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3 y3 z3 (x y)(x z)A试求A的表达式。5,证明：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2 (a 1)2(b 1)2初中数学培优专题1. (1)解:原式(a2 b2) 3( a b)(ab)(a b) 3(a b)(ab)(a b 3)(2)解：原式(x2 4xy 4y2) 2(x 2y)(x2y)22(x2y)(x2y)(x2y2)(3)解：原式 1 mn m2n2 m3n3(1、2 2、mn) m n (1 mn)(12 2mn)(1 m n )2 .解：原式 (a b)(a

10、2 ab b2) c(a2 ab b2)(a2 ab b2 )(a b c)a b c 0原式 0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3 .解：la5 a 1522.a a a a 12 . 32a (a 1) (a a 1)222a2(a 1)( a2 a 1) (a2 a 1)2 3 2(a a 1)(a a 1)2 y3 x(x(x(x33y z3y ) z2y)(x2y)xxyxyy2)2yz(xz(x(xy)x(x z)y(xz)y)(x2z2)(xy)(x z)(xy x z)(xy)(x z)(2xy z)2220xyz4.解:初中数学培优专题A 2x y z5.证明：|(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)22 aab2aab2 一一 2b2 2b 2a2b2ab2