四种线性代数模型

1、线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。实验一生物遗传模型1 .工程背景设一农业研究所植物园中某植物的基因型为 后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因， 由两个基因A、a控制的，那末就有三种基因对,AA、Aa和aa。常染色体遗传的规律是： 形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征是 记为AA、Aa和aa。研究所计划采用 Aa(AA)问经过若干年后，这种植物的任型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。意一代的三种

2、基因型分布如何 ？2 .问题分析6-4所示。n代植物中基因型AA、Aa、aagil的植物占植物总数的百分率。分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表则第n代植物的基因型分布为(n)Xanbn，(0) xa。b0表示植物型的初始分布。依据上述基因型概率矩阵,an 12bnbnC0cn 1 5 cn 0 5anbncn基因对AA-AAAA - AaAA 一aaAaAaAa aaaaaaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21表6-4基因型概率矩阵3.模型建立与求解设an, bn, cn分别表示第矩阵形式anbn1/21/2an bn1/ 21/ 2Mx(n 1)

3、2 (n 2)3 (nM x M x3) L Mn (0)X 。于是问题归结为如何计算 M n ,可将M对角化。易于计算 M的特征值为1、1/2、0,其相应的特征向量为(1,0,0)T, (0, 1,0)T，(1, 1/21/22,1)To0_ 11 P 。Word文档于是(n)Xn (0)Xn11/20P 0 1/ 2 1 P 1x(0)1011n0010012 0(1/2)n0010 0100000112x(0)11 1 (1/ 2n) 1 (1/2n1)01/ 2n1/2n 1 x000a0 b0 C0 (1/2n)b0 (1/2n1)C0(1/2n)b0 (1/2n1)C001 (1/

4、2n)b0 (1/2n1)C0(1/2n)b0 (1/2n1)，。当n , % 1,bn0 ,因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA型。实验二员工培训问题1 .工程背景某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经培训及实践至年终考核Xn有2/5成为熟练工。若记第 n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为n 。yn2 .问题问题1:第n+1年熟练工与非熟练工所占比例Xn 1与第n年熟练工与非熟练工所占比yn 1, Xn , 一 例n的关系。yn1问题2:若第1年熟练工与非熟练工所占

5、比例为“2 ,求 “1y11yn 123.模型建立与求解依据题意，有Xn 15217Xn 7(7Xn65 6yn), yn 13/15(6Xnyn)。Word文档92xnYn10513xYn105xn 1整理化简得yn 19_ 2即 xn 110 5xn ,记 AYn 1工 3丫口10 5,一, Xn 1由问题1结果，有 n 1 Ayn 19 210石，亦有xn1A xn1 3Yn 1Yn10 51xnA2 xn1L An 2。YnYn 112问题归结为求 An ,可将A对角化。易于计算1、1/2是矩阵A的两个特征值，且相应的特征向量为 4,1 T,1,1T。92记 P 41 ,则 P 10

6、5 P 1111 310 51 n1 n4 (-)4 4(-)An111221 45 一 1、n一，1、n1 (-)1 4(-)22实验三多金属分选流程计算1.工程背景设，j原矿产率及第j种产品产率，%,100%;i一原矿中第i种金属品位，；ij 第j种产品中第i种金属品位，；.一第j种产品中第i种金属的理论回收率，；IIWord文档按照金属平衡和产率平衡进行计算。为了计算方便，尾矿视为产品。 金属平衡，ni j ij, i 1,2,L ,m j i产品平衡，nj 100%j i其中，尾矿产率及金属品位为n, i in100%解次多元线性方程组求出产品产率。各产品任一金属回收率j ij j 1

7、2 .问题锌、硫精矿和尾矿，已化验知各产品的金属品位（见某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、 卜表），试计算各产品产率和回收率。表6-5各产品的化验品位产品名称品位铅（金属1）锌（金属2）硫（金属3）原矿3.143.6315.41铅71.043.7115.70锌1.2051.5030.80硫0.380.3542.38尾矿0.340.101.403 .模型建立与求解设铅、锌、硫和尾矿的产率为x1,x2,x3和X4 ,按照金属平衡与产率平衡，可建立以下线性方程组：71.04% 1.20X2 0.38X3 0.34x4 100 3.143.71X1 51.50x2 0.35x3 0.10x4 100 3.

8、6315.70% 30.80x2 42.38x3 1.40x4 100 15.41x1 x2 x3 x4 100MATLAB源代码：A=71.041.20 0.38 0.34;3.7151.50 0.35 0.10;15.70 30.80 42.38 1.40;1 1 1 1%创建系数矩阵b=314363 1541 100' % 常数列矩阵x=Ab %利用 x=inv(A)*b x =3.86596.459028.204661.4706Word文档又 x0=repmat(x,1,4);%创建多维数组B0=repmat(b,1 4)'s=x0.*A'./B0%计算各产品的

9、理论回收率，最后一列为产率s=87.46233.95113.93863.86592.468491.636112.90966.45903.41332.719477.567128.20466.65601.69345.584661.4706将计算结果填入下表表6-6各产品产率及回收率计算结果产品名称产率/%回收率/%铅锌硫原矿100100100100铅3.865987.46233.95113.9386锌6.45902.468491.63616.4590硫28.20463.41332.719428.2046尾矿61.47066.65601.693461.4706实验四交通流量模型1 .问题，计算各线路

10、上车辆数图6-8给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数)x3 100 ,x6i Li I300_4300 _x2 . x5 300-x1 .60b200x7200x8500300 *500 -.x9x10600700图6-8假设：(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量.(2)全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.2 .模型的建立与求解由假设可知，所给问题满足如下线性方程组Word文档x2x3x4300x4 x5 500x7x6200x1x2800x,x5800x7x8100x9400xi0x9200xi0600x8x3 %1003 . Matlab程序实现A=0,1

11、,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0%矩阵Ab=300;500,200;800;800;100;400;200;600,100B=A,b%增广矩阵BRank(A)%计算矩阵A的秩Rank(B)%计算增广矩阵B的秩，若秩相等，则有解rref

12、(B)%将增广矩阵B化为最简型4 .结果分析增广矩阵B =01-1100(100C300001100a05LI000000-11002001100000a0SOO1CID10C000sao0LJLI00011001000000000i040Q00Cl00000T120000a000(1001600Q01Q0101Qq1QQ系数矩阵的秩Rank(A)=8增广矩阵的秩 Rank(B)=8<10 ,说明该非齐次线性方程组有无穷多个解.增广矩阵的最简型为：Word文档10001&c000SCO100-3口ca000010a0000020000010000500000U0101cu-10&0000110WO000a0a1i1000000000001BOOQQQCQQ0Q00Q0000na0000其对应的齐次同解方程组为 ：x x5 800X2 X5 0x3 200