分解因式及在实数范围内分解因式

1、分解因式及在实数范围内分解因式因式分解的常用方法一、提公因式法.二、运用公式法.三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式(二)分组后能直接运用公式四、十字相乘法.(一) 二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式x2 (p q)x pq =(x p)(x q)进行分解。(二) 二次项系数不为 1的二次三项式 ax2 bx c(三) 二次项系数为 1的齐次多项式(四) 二次项系数不为 1的齐次多项式五、换元法。六、添项、拆项、配方法。七、待定系数法。八、在实数范围内分解因式因式分解巩固提高一填空题1如果二次三项式 x2-ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为(只填写一个你认为正确

2、的答案即可) 22把x +kx+16分解成两个一次二项式的积的形式，k可以取的整数是 (写出符合要求的三个整数)23 .分解因式：(x+2 ) (x+4 ) +x - 4=444. 因式分解(x+1 ) + (x+3)- 272=5 .分解因式：(1 - 7t - 7t - 3t ) ( 1 - 2t - 2t - t ) -( t+1 )=2 26. 分解因式：18ax - 21axy+5ay =.227. 若对于一切实数 x,等式x - px+q=(x+1)(x - 2)均成立，则p - 4q的值是.&在实数范围内分解因式：2x2- 8x+5=2 ( x- ') (x -

3、'').此结论是：的.2 2二解答题9. 分解因式3 2332(1) 8a b - 12ab c(2)- 3ma +6ma - 12ma2 2 2 2(3) 2 (x- y) - x (x - y)(4) 3ax - 6axy+3ay(5) p - 5p - 36(6) x5- x3(7 ) (x 1) (x 2 ) - 6(8) a2 - 2ab+b2 c22 210. 已知 x - 7xy+12y =0 (y 工0 ,求 x: y 的值.22411. (1)因式分解 (2x+y) -( x+2y )( 2)在实数范围内分解因式x - 9.4 212. 把a - 6a +9在

4、实数范围内分解因式.4213. 把多项式9mx - 6mx +m在实数范围内因式分解.23214. 已知 x - x -仁0,求-x +2x +2007 的值.2 2 215. 已知四个实数 a, b, c, d,且ab c若四个关系式：a +ac=4, b +bc=4, c +ac=8,2d +ad=8同时成立，试求 a, c的值.18 .计算:(1-4)22x (1X - X (1 -1) X2009 219 .计算:尹.-2庚2101 -210020 .已知：a为有理数，32a +a +a+1=0,亠23求 1+a+a +a +a2012的值.16.已知整数 a, b满足6ab=9a-

5、10b+16，求a+b的值.17试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被 8整除.21.证明：58 - 1能被20至30之间的两个整数整除.22.用因式分解进行计算2009(1) (2) 2.5 XI9.7+3.24 忽5+2.5 X47.9 .20092 2008X2010三.选择题2 223 .对二次三项式 4x - 6xy - 3y分解因式正确的是()一千"B .川 (x - 3y - 217)(x - 3y+V2iy)(歼寻雪)-4x2 - 4x - 1在实数范围内分解因式，下列结果正确的是(.：-1' B .(2k - 1 -近)(2s - 1+2 )4

6、 一24.25.C.26.27.28.29.A.C.)C .D .1 -1-1' ' 1把4x° - 9在实数范围内分解因式，结果正确的是()(2x2+3) (2x2- 3)B . ''汽 f l(2x3) (2时逅)(2x- 3)2 2已知a+b=2，则a - b +4b的值是(A . 2 B . 3如果 x2+x - 1=0,A . 6如果xB . 82 +3x - 3=0,C. 4 D . 632那么代数式x +2xC. - 6 D . - 8则代数式x7的值为(32+3x - 3x+3的值为(7土阿2-2ab,则ABC 是(C .等边三角形32

7、2 2 a - 2bc=cABC等腰三角形B.直角三角形已知匸-_.，那么多项式x3- x2 - 7x+5的值是()的三边满足)D.锐角三角形A . 11 B . 9 C . 7 D. 530.因式分解答案1答案不唯一.2. k 的值是 ±17, ±10, ±8.3. 解：(x 十 2) (x+4)十 x - 4=x 十 6x+8 十 x - 4=2x +6x+4=2 (x +3x+2 ) =2( x+2) (x+1 ).4442224. 解：令 x+2=t ,原式=(t - 1) + (t+1 )- 272=2 (t +6t - 135) =2 (t +15)

8、(t - 9)2=2 (t +15) (t+3) (t - 3)2 2将 x+2=t 代入：原式=2 (x+2) +15 (x+2+3) (x+2 - 3) =2 (x +4x+19) (x+5) ( x- 1).325. 解：设(t+1) =x, y=t +t+2，贝U原式=(2t2+t+2)- 3 (1+3t+3t2+t3) - (t2+t+2)-( 1+3t+3t2+t3) - (t+1) 32= (2y22232232-3x(y-x) - x =2x - 5xy+2y =(2x - y)(x - 2y)=2(t +3t +3t+1) - (t +t+2 )(t +3t +3t+1 )

9、c/丄2323 222-2 (t +t+2) = (2t +5t +5t) (t +t +t - 3) =t (2t +5t+5 ) (t - 1) (2t +2t+3 ).2 2 2 26 .解：18ax - 21axy+5ay =a (18x - 21xy+5y) =a (3x- y) (6x - 5y).227.若对于一切实数 x，等式x - px+q= (x+1 ) (x- 2)均成立，则p - 4q的值是 9.& 解：2x2-8x+5=0 , x11, x2= , A2x2- 8x+5=2 (x-x - '),2 2 2 23 2 3 2 29. 解：(1) 8a b

10、 - 12abc=4ab (2a - 3bc);3 2 2 2(2) - 3ma +6ma - 12ma= - 3ma (a - 2a+4) = - 3ma (a- 2);2(3) 2 (x- y)- x (x - y) = (x - y) (2x - 2y - x) = (x - y) (x - 2y);2 2 2 2 2(4) 3ax - 6axy+3ay =3a (x - 2xy+y ) =3a (x- y);(5) p2- 5p- 36= ( p- 9) ( p+4) ; (6) x5- x3=x3 (x2- 1) =x3 (x+1 ) ( x- 1);2(7) (x- 1) (x-

11、2)- 6=x - 3x+2 - 6= ( x- 4) (x+1);2 2 2 2 2(8) a - 2ab+b - c = (a- b)- c = (a - b+c) (a- b- c).2 210. 解：T x - 7xy+12y =0 , (x - 3y) (x - 4y) =0,.x=3y 或 x=4y ,：x： y=3 或 x： y=4 .11 解：(1)原式=(2x+y+x+2y ) (2x+y - x - 2y) =3 (x+y ) (x - y).(2)原式=(x2+3) (x2- 3) = (x+ ；) (x -；).12. 解：a4 - 6a2+9= ( a2 - 3) 2

12、 = (a+；)2 (a-“寸.；)2 .13. 解：原式=m (9x4- 6x2+1) =m (3x2 - 1) 2=m (；x+1 ) 25x - 1) 2.”3232222*14. 解：I - x +2x +2007= - x +x +x +2007=x (- x +x) +x +2007；又t x - x - 1=0,2 2 2 2- x +x= - 1 ，将代入得，原式=x (- 1) +x +2007= - x+x +2007= - (- x +x) +2007 ; 将代入得，原式=-(-1) +2007=2008 .” , 2 2 2 215. 解：由)a +ac)-( b +b

13、c) =4 - 4=0, (c +ac)-( d +ad) =8 - 8=0,得 (a- b) (a+b+c) =0, (c- d) (a+c+d) =0,aMb cd, /.a+b+c=0, a+c+d=0,.b=d= -(a+c).又(a2+ac) + (c2+ac) =4+8=12 , (a2+ac) - (c2+ac) =4 - 8= - 4,得三匚,(a- c) (a+c) =-4.当三二；时，-:一- ，解得.=：, -： ,一.一333当-三*, _ 一丄，解得、-丄 、一-33316.解：由 6ab=9a- 10b+16,得6ab - 9a+10b - 15=16 - 15 -

14、 (3a+5) (2b - 3) =1 . 'T3a+5,2b- 3都为整数,3a+5=lf3a+5= - 142fa=-2，-3,或-a, b为整数.取，故2b - 3=12b- 3=- 1glb=la+b= - 1.2 217. 解：设两个连续偶数为 2n, 2n+2，则有(2n+2) -( 2n) = (2n+2+2n ) (2n+2 - 2n) =(4n+2) X2=4 ( 2n+1),因为n为整数，所以4( 2n+1)中的2n+1是正奇数，所以4( 2n+1) 是4的倍数，不是8的倍数.故两个连续正偶数的平方差一定能被 4整除，但不能被8整除.18. 解：.一J. 亠，

15、9;*-.'2-2009 ； (2)原式=2.5 X( 19.7+32.4+47.9 ) =2.5 X00=250 .20092233229 23221 223.解：4x - 6xy - 3y =4x - xy+ ( y) - 3y - y =4 (x- y) - y“3V21 , _3 .V21 ,“3+V21 , _3-何=(2x - ,y -y) ( 2x- y+一y) = (2x- 一:一 y) (2x解：因为4x2-4x-仁0的根为X1=, x2='，所以4x2-4x-2 2(2x-l-V2)(和-1+伍).解：4x4- 9= (2x2+3) ( 2x2- 3) =

16、(2x2+3) ( :x+ ；)( '：x.：).22解：Ta+b=2,.a - b +4b= (a- b) (a+b) +4b=2 (a- b) +4b=2a - 2b+4b=2 (a+b) =2 X2=4 .”, 2,口 232r322r/22“2“c27 解：由 x +x -仁0 得 x +x=1 ,.x +2x - 7=x +x +x - 7=x (x +x) +x - 7=x+x - 7=- 6.232228.解：当 x +3x - 3=0 时，x +3x - 3x+3=x (x +3x - 3) +3=3 .2 2 2 229 解：对等式可变形为：a - 2bc- c +2

17、ab=0, (a - c ) + (2ab- 2bc) =0, (a+c) (a- c)+2b (a- c) =0, (a- c) (a+c+2b) =0 ,Ta, b, c 是ABC 的三边， a+c+2b>0, a- c=0, .a=c.i 230.解.x - 3x=1x 2 2 2 2 23 z2009 z2010z=丄 xxxx.型星x°°g=丄 Qu -20112 2 弓 3X0Q9 2009 201。2010 2 X010 40219解：原式=2茨(2-1)2100(2-1)=298-100_”3 22 320122 3、5 一 2 3、200920. 解：I a+a+a+1=0 ,.1+a+a+a + +a =1+a (1+a+a +a ) +a (1+a+a +a )+a23、(