控制系统的能控性与能观性ppt课件

1、第三章 线性系统的能控性与能观性3.1 线性定常延续系统的能控性 形状方程描画了输入 引起形状 的变化过程，输出方程描画了由形状变化引起的输出 的变化。能控性和能观性正是分析 对形状 的控制才干以及输出 对形状 的反映才干。要看看经过输入 能否可以控制形状 ，经过输出 能否可以观测到形状 。( )u t( )x t( )y t( )u t( )y t( )x t( )y t( )x t( )x t( )u t( )x t一、定义:设假设存在一分段延续控制向量 ，能在 内，将系统从恣意的初态 转移至恣意终态 ，那么称此形状是能控的。假设系统的一切形状都是能控的，那么称此系统是形状完全能控的，简称

2、系统能控。实践上就是说：形状变量受输入量 的控制，那么该形状变量可控，一切的形状变量可控的话，就是系统可控。BuAxx),(nnpnRARuRx)(tu,0ftt)(0tx)(ftx)(tu 如图中的初始形状 点能在输入的作用下被驱动到终端形状 。显然可以有多种输入，只需可以到达这个目的，就阐明系统是能控的。1P2P1x2x1P2P二、线性定常系统的能控性判别 1. 图形判别和约当规范型判别 例：知系统的形状方程为： 1122200;0 xxu yccxb1121210;0 xxu yccxb画出模拟构造图 3-1 3-2 由图可以看出: (3-1) 的系统模拟构造图中形状变量 是一个与 无任

3、何联络的孤立部分，也就是说 不受 的控制，因此， 是不能控的。虽然 遭到的 控制，但整个系统依然是不能控的，即该系统的形状是不完全能控的。1x1x( )u t( )u t1x2x( )u t 式3-2表示的系统中，没有孤立的部分，形状变量 直接受控于 ，形状变量 经过 等受控于 ，也就是说改动 即可改动系统的形状。因此，该系统是完全能控的。2x2x( )u t1x( )u t( )u t 留意到3-1中的A是对角线型，3-2中的A是约当规范型，因此，可总结出系统能控性的判别准那么如下： 1图形判别法：系统模拟构造图中假设没有孤立部分，系统是能控的，否那么是不能控的。 2约当规范型系统能控性判据

4、：假设系统矩阵A的 特征值互异，那么系统能控性的充要条件为变换为约当规范型之后的控制矩阵的各行元素没有全为0的；假设系统的特征值为重根，那么系统完全能控的充要条件是变换为约当规范型后的控制矩阵的最后一行元素不全为0。 形状完全能控102025xxu 21000010210000002003000051000000521xxu110001040023xxu 形状不完全能控102020 xxu 21000010210000002003000051210000500 xxu110401000023xxu 留意当矩阵B为单列矩阵时，假设系统矩阵A有一样的特征值，那么上述准那么不成立。假设系统矩阵A的约

5、当规范型有两个约当块的特征值一样，那么上述准那么不成立。如下面系统不可控202021xxu 310003010033xxu 2. 直接从A与B判别系统的能控性 前面曾经看到，系统能否能控取决于系统矩阵A和控制矩阵B，可以证明：线性定常系统能控的充要条件是由A、B构成的能控矩阵 满秩，即rankM=n，否那么系统为不能控的。 21nMBABA BAB 例：知系统的形状方程如下，判别其能控性012010000101xxuaaa 001B 201ABa222121A Baaa22212001011Maaaa 系统的能控矩阵M的秩等于3，即rankM=3，所以系统是完全能控的。 例：知系统的形状方程如

6、下，判别其能控性 系统的能控矩阵M的秩等于2，即rankM=2，所以系统是不完全能控的。 2213254112244-1-1 -2-2-4-4BABA B 3. 经过系统的输入和形状矢量间的传送函数来判别系统的能控性 例：1 2 4 55101xxu012010000101xxuaaa 11( )()455115(1)1(1)(5)(1)uxWssIABssssss1012322102100( )010111uxsWssaasassa sa sas 1的传送函数矩阵中有一样的零点和极点，系统不能控。2的传送函数没有极点和零点可以对消的，所以系统能控。 总结 系统能控性完全取决于系统的构造、参数

7、以及控制造用的施加点； A为对角阵情况下，假设B阵存在全为0的行，那么与之对应的形状方程必为齐次方程，即与u(t)无关，系一致定不完全能控； A为约当阵情况下，假设B阵对应最后一行全为0，那么系统为不完全能控； 不能控的形状，在方块图中表现为存在与u(t)无关的独立块； 假设系统形状方程为能控规范型，系一致定是完全能控的。3.2 线性延续定常系统的能观性 一、能观性的定义 对于恣意给定的输入 ，在有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 能独一地确定系统在初始时辰的形状 ，那么称形状 是能观测的。假设系统的每一个形状都是能观测的，那么称系统是形状完全能观测的，简称系统能观。)(tu,0ftt0(

8、)x t0( )x t0ftt( )y t 二、定常系统的能观性判别 1. 图形判别法 例：2010311 1xxuyx 20103140 xxuyx 第一个图由y可以观测到 和 ，也就是说两个形状变量都对输出产生影响，我们可以经过输出来获得全部的形状变量信息，第二个图只能观测到 。1x2x1x 2、转换成约旦规范型的判别方法 例:2010311 1xxuyx 20103140 xxuyx 这两道题本身就是对角线型的系统矩阵，因此，系统能观的充要条件就是：输出矩阵C中没有全为零的列。假设系统的特征矢量相等，如下：11121210bxxubyccx 显然，只需 时，系统才可观，否那么系统不可观。

9、也就是说输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列的元素不全为零，系统可观。10c 3、直接从A、C判别系统的能观性 线性定常系统能控的充要条件是由A、C构成的能观矩阵 满秩，即RankN=n。11021110 xxuyx 11()TTTTnTTnCCANCA CACCA1101CNCArankN=2，满秩，系统是能观的。 形状能观性实例10202523xxuyx 2100001021000000200300005100000052110102xxuyx110001040023110011xxuyx n系统能控能观性与传送函数的关系 传送函数的实现可有无穷多，假设传送函数没有零极点对消景象，那么传

10、送函数的阶次最低，由此得到形状方程的维数也最低，称为最小实现。最小实现所得到的形状空间表达式必定是能控和能观的； 一个系统的传送函数阵所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统卡尔曼-吉伯特定理。n系统能控性与能观性的对偶关系 卡尔曼对偶原理 假设有两系统 满足条件 那么称系统1,2互为对偶，即系统1的能控性能观性，等价于系统2的能观性能控性。11 11 111 1xAxBuyC x22222222xA xB uyC x212121,TTTAABCCBn对偶系统的特点n对偶关系，意味着输入输出端的互换，信号传送的反向，信号引出点和比较点的互换，以及对应矩阵的转置；n对偶系统的传送函数阵互为转

11、置；n对偶系统的特征值是一样的。3.3 形状空间表达式的能控规范型与能观规范型 根据所要处理的问题需求，经常将形状空间表达式变换成一些特定的方式，前边讲述的约旦规范型不仅容易计算形状转移矩阵，求解形状方程，而且对于可控性和可观性的分析也是非常方便的。然而对于后续要讲解的形状反响和形状观测器来说，需求新的方式，即：能控规范型和能观规范型。一、能控规范型1. 能控规范型对于是能控的，那么存在线性非奇特变换使其形状空间表达式化成其中这样的形状空间表达式称为能空规范型， 是特征方程的系数。xAxBuyCx1112123121111cnnncnxT xaTABABBaaaaa11101210100100

12、01ccnnATATaaaaxAxBuyCx110001cBT B 1011cnCCTbbbia 例：将以下形状空间表达式变换成能控规范型 解：1判别系统的能控性 满秩，所以系统能控。 2计算系统的特征多项式 得：120231110201001xxuyx 22 4 161 681 2 12MBABA B241624162416168 080 04412120440083rankM 292IA210092aaa ， 3求变换矩阵 和 4写出能控规范型 同时由能控规范型可以很方便地写出系统的传送函数2121210016421002421086101016111221901321cTA BABBaa

13、a 1cTABC， ，012010010001001290Aaaa1003211cBCCT ，010000102901321xxuyx 2221032321023( )92b sb sbssW ssa sa sass2. 能控规范型对于是能控的，那么存在线性非奇特变换使其形状空间表达式化成其中这样的形状空间表达式称为能空规范型， 是特征方程的系数。xAxBuyCx12ncxT xBABA B xxAxBuyCx01122210001000101ccnaaATATaa121000cBT B 2011cnCCTia 例：将以下形状空间表达式变换成能控规范型 解：1判别系统的能控性 2计算系统的特征

14、多项式系数 3求变换矩阵 和120231110201001xxuyx 4写出能控规范型ABC， ，2224161681212cTBABA B012000021010901010aAaa21012120cBCCT ，0021109001001212xxuyx 2cT二、能观规范型 1. 能观规范型 对于能观的线性定常系统 存在非奇特变换 使其形状空间表达式化成 其中： 可以看出：能观规范型的系数，就是能控规范型系数的转置。xAxBuyCx1oxT xxAxBuyCx1110121010010001oonnATATaaaa01111onBT B1100oCCT 2. 能观规范型 同能观规范型类似，

15、可用能控规范型的系数来计算出能观规范型的各个系数矩阵。01122210 001 000 101oonaaA T ATaa 011221onbbB T Bbb2001oCCT11212322111101001000nonnaaaCaaCATCAaCA3.4 线性系统的构造分解 在实践运用中，需求将一个复杂的控制系统按照其能控性和能观性对构造进展分解，使其看起来更加直观，控制起来更加方便。 一、能控性分解 线性系统存在着非奇特变换 ，将原形状空间表达式变换为： 其中cxR xxAxBuyCx12.xxx11121220ccAAAR ARA 110cBBR B12cCCRCC 其中前边的 维子空间

16、是能控的，而其他的 维子系统 是不可控的。 非奇特变换矩阵 中的n个列矢量的前 个列矢量 是能控性矩阵M中的 个线性无关的列，另外的 个列矢量 ，在确保 为非奇特的条件下，完全是恣意的。1n1()nn2222xA x111 11122xA xBuA x121cnnRRRRR1n121nRRR， ， ，1n1()nn1 1,nnRRcR例：以下系统，将其按能控性进展分解解：1判别系统的能控性2构造非奇特矩阵3变换后系统的形状空间表达式001110310130012xxuyx 21 011 011 011 13 0 12 0 120 120 120 00MBABA B100110011cR0101

17、12200010112xxuyx 1100110111CR 1100001100011110103110122111013011001ccAR AR 二、能观性分解 线性系统存在着非奇特变换 ，将原形状空间表达式变换为： 其中 形状空间表达式变为 分解为l维能观向量和n-l维不能观向量。1oxR xxAxBuyCx12.xxx11121220ooAAR ARAA 12oBBR BB 110oCCRC111 11221 122221 1xA xBuxA xA xB uyC x 非奇特变换矩阵 中的n个列矢量的前l个列矢量是能观性矩阵N中的l个线性无关的列，另外的n-l个列矢量在确保RoT 为非奇特的条件下恣意选择。 例 形状空间表达式ToR12100100143111 1xxuyx 2124()137124TTTTTNCA CAC 111232001oR1311210001oR10102305