小学奥数牛吃草讲义

1、牛吃草问题大科学家牛顿在他著的普通算术一书中曾提出了一个有趣的数学问题：“12头牛4周吃草格尔（格尔面积单位），同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草，多少头牛18周吃完?”Ø 类似上面的这个问题被人们称作为“牛顿问题”，也称“牛吃草”问题。本讲我们就来学习“牛吃草”问题的解法以及运用“牛吃草”问题的解题思想解决类似的问题。Ø “牛吃草”问题有算术解法和方程解法。在算术解法里，因为此类问题一般是求时间或是求牛的头数，所以在就解题时感到最困难的是草的总量在不断地变化，每时、每天或每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。我们不妨将草的总量分成两部分：一是牧草上原有

2、的草量；二是在一段时间内新增加的草量，然后用比较法求出“牧草上原有的草量”及“单位时间内新生长的草量”，再根据具体所求分析求解。这里，一般总是设每头牛在单位时间内吃草量为单位“1”。【例题1】牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是

3、以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛

4、专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）12（周）【练习1】有一片匀速生长的草地。24头牛6天可以将草吃完，21头牛8天可以吃完。如果有16头牛，几天可以吃完?【例题2】一片牧场上的草均匀地生长，如果4只羊吃草，15天可以把草吃完，如果8只羊吃草，7天可以把草吃完。若想5天把草吃完，需要多少只羊去吃?【练习2】草场上的草均匀生长，每人每天割草量相等。一片草若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，若要6人割尽需要多少人?【例题3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或

5、可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有（20+10）×5=150（份），由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒

6、冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。【练习3】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长

7、出的草，问题就会迎刃而解。【例题4】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？【分析】与前面的题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了10090=10（级），多用了65=1（分钟），说明电

8、梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（级）【练习4】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米所以井深：（20+10）×5=150分米=15米【例题5

9、】有一片牧草，每天均匀生长，它可供17只羊吃30天；或可供19只羊吃24天。现有若干只羊，6天后卖了4只，余下的羊2天将草吃完，那么原来有羊多少只?【练习5】有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假设草每天的生长速度不变，现在羊若干只，吃了4天后增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，原有羊多少只?【例题6】一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天?【练习6】有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天。

10、如果一头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃多少天?【例题7】有一条船因触礁破了一个洞，河水均匀地进入船内，发现船漏时，船已进了一些水；如果12个人淘水则3小时可以把水淘完；如果5个人淘水则10小时可以把水淘完；如果需要2小时内淘完水，需要多少人?【分析】已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：（5×

11、;1012×3）÷（103）=2已漏进的水：（122）×3=30已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：30+2×2=34用2小时来舀完这些水需要17人：34÷2=17（人）【练习7】有一条船因触礁破了一个洞，河水均匀地进入船内，发现船漏时，船已进了一些水；现在要派人将水淘出船外，如果派10个人淘水则3小时可以把水淘完；如果5个人淘水则8小时可以把水淘完；如果需要2小时内淘完水，需要派多少人淘水?【例题8】一水池有一根进水管不间断的进水，另有若干根相同的抽水管，若用24根抽水管抽水，6小时即可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小

12、时可将池中的水抽干，若用16根抽水管，几小时可以将水池中的水抽干？【练习8】有一水库的存水量一定，每天河水均匀流入水库。如果4台抽水机连续15天可将水库的水抽干，6台同样的抽水机连续9天可将水库的水抽干。问水库中原有的水需要几台抽水机1天可将水抽干？【例题9】假设地球上的新生长资源的增长速度是一定的，照此计算，地球上资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人?【例题10】有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头

13、牛吃多少天？前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即5，6，8=120这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264头牛吃

14、10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛齿及天？即每天新长出的草：（240×14264×10）÷（1410）=180（份）草地原有草：（264180）×10=840（份）可供285头牛吃的时间：840÷（285180）=8（天）牛吃草练习题1、有一片牧场上的草均匀生长。24头牛6天可以把草吃完；20头牛10天可以吧草吃完。牧场上每天生长的草可供几头牛吃1天?2、牧场上有一片青草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃多少天?3、一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃

15、40天，或供6头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天?4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？5、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分钟走25级台阶，小红 每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？6、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？7、一个水池，池底有

16、泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？8、某游乐场所在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数十相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没有人排队，现在开放4个入口处，那么开门后多少分钟就没有人排队?9、陕北某村有块草场，假设每天草都均匀生长，这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天问：如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧这么多羊对吗?为防止草场沙化，这片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草场沙化就应该使草场的草永远吃

17、不完)10、有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？11、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。12、现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度的3倍去追乙车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？13、某码头剖不断有货轮卸下货物

18、，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。14、如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？15、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草?(每公亩牧场上原有的草量相等，且每公亩牧场上每天草的生长量相同)16、某水库建有lO个泄洪闸；现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度增加，为了防洪，需调节泄洪速度，假设每个闸门排洪的速度相等，经测算，若打开个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若打开两个泄洪闸。10小时水位降至安全线现在抗洪指挥部队要求55小时使水位降至安全线以下问至少要同时打开几个闸门？17、有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供