河北省衡水中学高一数学上学期期末试卷理(含解析)

1、2015-2016学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1 若角a与角3终边相同，则一定有（）A.a + 3 =180°B.a + 3 =0C.a-3 =k360°, k Z2 .已知集合 M=x| 二 < 1, N=x|y=lgzA.( ?rM n N=? B. MU N=Ra3.设a是第二象限角，且 COS=D.a +3 =k360°, k Z（1- x） ，则下列关系中正确的是（）D.U N=RC. M? N，则a.2A. 第一象限角B. 第二象

2、限角C. 第三象限角D. 第四象限角4.下列四个函数中，既是（0,7T2）上的增函数，又是以n为周期的偶函数的是（- 24 -A. y=ta nxB. y=|sinx|C. y=cosxD. y=|cosx|5.已知 tan a =-3,且 tan (a + 3)=1,贝Utan 3的值为（)A. - 7B. 7D壬6.将函数y=sin2x7T的图象向左一平移个单位，6向上平移1个单位，得到的函数解析式为（）A.y=s in(2x+)+1 B.y=s inD.y=s in71(2x )71(2x-一)+1+17.函数 y=Asin (3 x+ )(3>)+1C. y=sinx R）的部分

3、图象如图所示，则函数表达式A. y= - 4sinC. y= - 4sin)7Txz_LTU8X +4B. y=4sinD. y=4sinn(8x+4&在 ABC 中，已知 IgsinA - IgcosB - IgsinC=lg2 ，则三角形一定是(A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形已知函数f (x) =log a(x+b)的大致图象如图，其中a, b为常数,则函数g (x) =ax+b的9.总满足丄Gn-1-i 0-1-D.)，则称f (x)为D的凸函数，现已知 f (x) =sinx在(0,n)上是凸函数，则三角形 ABC中，sinA+sinB+sinC 的最

4、大值为(B. 3 :C.2A.D. 3211.已知0为厶ABC内任意的一点，若对任意k R有| ：- k，则 ABCr曰定是A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定12 . ABC的内角 A、B、C的对边分别为a, b, c,且 a： b: c= |; ： 4： 3，设 口 =j.匸cosA, 口云si nA，又 ABC的面积为S,则石=(A.B.)C. SS、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分)13 设 i, b F.-r-' r , 1_ 1 ' '7 : 'r 1 '- If 是奇函数，贝U a+b的取值范围是14. 函数

5、 y=3sin (x+10°) +5sin (x+70° )的最大值为 15. 已知奇函 f (x)数满足 f (x+1) =-f (x),当 x (0, 1)时，f (x) =- 2x,则 f (log 2IO) 等于16 给出下列命题： 存在实数 x,使得sinx+cosx=二；7T171 函数y=2sin (2x+)的图象关于点(.，0)对称；丄£ 若函数f (x) =ksinx+cosx的图象关于点(一-,0)对称，则k=- 1;4 在平行四边形 ABCD中，若| y+卜=1匚二+f I，则四边形ABCD的形状一定是矩形.则其中正确的序号是 (将正确的判断

6、的序号都填上)三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 .已知 cos (a71T- + B)，且B( 0,13z 3 3兀),a,4，4)，求sin (a + B)的值.18.设幕函数 f (x) = (a- 1) xk(a R，k Q的图象过点(近.2).(1) 求k，a的值;(2) 若函数 h (x) =- f (x) +2b.l工+1 - b在上的最大值为 3，求实数b的值.19.锐角三角形ABC的三内角A、B C所对边的长分别为 a、b、c,设向量产.一二口(1) 求角B的大小；(2) 若b=1，求a+c的取值范围.TV20 .已知函

7、数 f (x) =2 - 2cos2 (可+x) -3cos2x(1)求函数f (x)在x 时的增区间;(2)求函数f (x)的对称轴;(3) 若方程f (x)- k=0在x ,上有解，求实数 k的取值范围.4| | 221.如图， ABC中，sin=丄二=丄'(I),AB=2 点 D在线段 AC上，且 AD=2DC BD=V 3322 .已知一=(sin 3 x, cos w x),求：BC的长；(叮求厶DBC的面积.几=(cos wx, cos w x)其中 w> 0，若函数 f (x) =j ,.的图象上相邻两对称轴间得距离为2 n(1) 求方程f (x )-孝=0在区间内

8、的解；(2) 若；=丄+厂求sinx ；(3) 在厶ABC中，a, b, c分别是角 A, B, C的对边，且满足(2a - c) cosB=bcosC，求函数 f (A)的值域.2015-2016学年河北省衡水中学高一(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1.右角a与角3终边相同,则一定有()A.a +3 =180°B.a+ 3 =0°C.a-3 =k360°,k ZD.a +3 =k360°, k Z【考点】终边相同的角.【专题】计算题；转化思想；定

9、义法；三角函数的求值.【分析】根据终边相同的角的表示方法，直接判断即可.【解答】解：角 a与角B终边相同，则 a =3 +k360°, k Z,故选：C.【点评】本题是基础题，考查终边相同的角的表示方法，定义题.2 .已知集合 M=x| 二 < 1, N=x|y=lg(1- x) ，则下列关系中正确的是(A.( ?rM) n N=? B. MU N=RC. M? N【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合.D.U N=R【分析】求出M中不等式的解集确定出M求出N中x的范围确定出N,即可做出判断.【解答】解：M中的不等式，当x> 0时，解得：x> 1;当x v 0

10、时，解得：xw 1,即卩x v 0,|7lTTs, 0)U =0,可得(2+$ =kn,ok乙再结合| $ | v Q , $ =47T 71 y=4sin =px+一),故选：D.【点评】本题主要考查由函数y=Asin (w x+)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出 w,由特殊点的坐标求出$的值，属于基础题.&在 ABC 中，已知 lgsinA - lgcosB - lgsinC=lg2 ，则三角形一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形【考点】三角形的形状判断.【专题】计算题.【分析】由对数的运算性质可得sinA=2cosBsin

11、C，利用三角形的内角和A=n-( B+C及诱导公式及和差角公式可得B, C的关系，从而可判断三角形的形状【解答】解：由 lgsinA - lgcosB - lgsinC=lg2 可得“nAeosbsinC sin A=2cosBs inC即 sin (B+C =2sinCcosB展开可得，sin BcosC+s in CcosB=2s in CcosB/ sinBcosC - sinCcosB=0/ sin ( B- C) =0 B=C ABC为等腰三角形故选：A【点评】本题主要考查了对数的运算性质及三角函数的诱导公式、和差角公式的综合应用, 属于中档试题.9.已知函数f (x) =log a

12、 (x+b)的大致图象如图，其中a, b为常数，则函数g (x) =ax+b的【考点】对数函数的图象与性质.【专题】压轴题.【分析】由函数f (x) =log a (x+b)的图象可求出a和b的范围，再进一步判断 g (x) =ax+b 的图象即可.【解答】解：由函数 f (x)=log a( x+b)的图象为减函数可知 0vav 1,f (x) =log a (x+b)的图象由f (x) =log ax向左平移可知 0v bv 1,故函数g (x) =ax+b的大致图象是B故选B【点评】本题考查指对函数的图象问题，是基本题.10若定义在区间 D上的函数f (x)n)上是凸函数，则三角形对于D

13、上任意n个值xi, X2,xn总满足wfn，则称f (x)为D的凸函数，现已知f (x) =sinx在(0,D. 3ABC中，sinA+sinB+sinC 的最大值为(【考点】函数的值.【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用.【分析】由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC 日讪射呼，即可得出.【解答】解：由凸函数的性质可得:.A+B+CsinA+sinB+sinC W3 - :！，当且仅当兀A=B=C=-J时取等号.si nA+si nB+si nC 的最大值为 故选：C.【点评】本题考查了凸函数的性质、三角形内角和定理、不等式的性质，考查了推理能力与

14、 计算能力，属于中档题.11. 已知0为厶ABC内任意的一点，若对任意 k R有|屈 -k|丨|，则 ABC_. r 曰 / 定是 (A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定【考点】三角形的形状判断.【专题】计算题；数形结合.【分析】根据题意画出图形，在边BC上任取一点E,连接AE根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k 二珂丄，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形.I - k巨| I丨I的几何意义表示：在 BC上任取一点E,可得k,；-kF1-F11 ； 1 ,又点E不论在任何位置都有不等式成立，由垂线段最短可得 ACL

15、 EC即/ C=90 ,则厶ABC- -定是 直角三角形.故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的减法的三角形法则的应 用，及平面几何中两点之间垂线段最短的应用，利用了数形结合的思想，要注意数学图形的 应用可以简化基本运算.A.:4: 3,设=通cosA,D-i12. ABC的内角 A B、C的对边分别为 a, b, c,且a： b: c= . |sinA，又 ABC的面积为S,则直口 =(SB.二 SC. S【考点】余弦定理；正弦定理.【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形.【分析】由题意，利用比例的性质及余弦定理可求cosAy ，结合A的范围可求A的值，利用三

16、角形面积公式可求三角形面积，由已知可求向量；，打，利用平面向量的数量积的运算化简即可得解.【解答】解：由题意可设：a=,|x, b=4x, c=3x ,x> 0,则由余弦定理可得:b2+c2-a2=(16+4-18)北2=12bc=2X4xX3i2,结合A( 0,n),可得A一从而解得厶ABC的面积为S=7cosA12可得:=IsinA=4V32sinA=ACII - 可得:=IITII:i IcosA=II X|ACI =故选：D.【点评】本题主要考查了比例的性质，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积的运 算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.二、填空题(本

17、大题共 4小题，每小题5分，共20分)13. 设a, 1>氐 且#乙 若定义在区间(-乩b)内的函数f (x)二唏筈是奇函数，则a+b的取值范围是.【考点】奇函数.【专题】计算题.【分析】由题意和奇函数的定义f (- x) =-f (x)求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出 a+b的范围.【解答】解：定义在区间(-b, b)内的函数f (x)=是奇函数,-ax任 x ( b, b), f (- x) =-f (x)，即丨- 2i，则有1 " ciZ=j即 1 - a2x2=1 - 4x2，解得 a=±2,

18、又T2,. a=- 2;则函数 f (x)Dl+2i要使函数有意义，则解得:1-SH2kv x v丄，即函数f (x)的定义域为：( 2> 0，即(1+2x)( 1 - 2x )> 0L，- 2 v a+bw-1112，2(- b, b) ?(-),- 0v bw -；-，即所求的范围是故答案为:b的范围,【点评】本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出 考查了学生的运算能力和对定义的运用能力.14. 函数 y=3sin (x+10°) +5sin (x+70° )的最大值为7 .【考点】三角函数的化简求值.【专题】计算题；转化思想；综合法

19、；三角函数的求值.【分析】分别把(x+10°)与(x+70°)化为(x+40°- 30°)与(x+40° +30°)，展开两 角和与差的三角函数，整理后利用辅助角公式化积，则答案可求.【解答】解：y=3sin (x+10°) +5sin (x+70°)=3sin (x+40°- 30°) +5sin (x+40° +30°)=3+5令sin (x+40°)- cos (x+40°) + 3 sin (x+40°) +cos (x+40°

20、)=4 . '； sin (x+40°) +cos (x+40°)=7 L ' sin (x+40°) + cos (x+40°)=7sin < 7.故答案为：7.【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，训练了辅助角公式的应用，是中档题.15. 已知奇函 f(x)数满足 f(x+1)=-f (x),当 x (0, 1)时，f (x) =- 2x,则 f (log 210) 等于.【考点】函数的值.【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用.【分析】利用奇偶性与条件得出f (x)的周期，根据函数奇偶性和周期计算

21、.【解答】解： f ( x+1) =-f (x), f ( x+2) =-f (x+1) =f (x),函数f (x)是以2为周期的奇函数，3v log 20v 4, 1 < - 4+log 20v 0, Ov 4 log 210v 1. f ( log 210) =f (- 4+log 2 10) =- f (4 - log 210)=2id芒卫-=严卫品.故答案为：厂.【点评】本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，找到函数周期是解题关键.16.给出下列命题：3 存在实数 x,使得sinx+cosx=-71 函数y=2sin (2x+)的图象关于点( 若函数f (x) =ksinx+co

22、sx的图象关于点7T12兀,0)对称;对称，则k= - 1； 在平行四边形 ABCD中，若|+. |=|+5|，则四边形ABCD勺形状一定是矩形.则其中正确的序号是 (将正确的判断的序号都填上)【考点】命题的真假判断与应用.【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明.【分析】根据正弦型函数的图象和性质，可判断，根据向量模的几何意义，可判断.），土 ?，故为假命题;71当x=时,于直线x=7T2，此时函数取最大值，故函数y=2sin （2x+）的图象关12对称，故为假命题;【解答】 解： sinx+cosx= 二 sin (x+-，0）对称，则，解17.已知 cos (aTT)171,sin (一 -

23、，且 3 (0,TTT),a(上，【考点】【专题】)，求 sin (a+ 3)的值.两角和与差的正弦函数.计算题;整体思想；数学模型法；三角函数的图像与性质.71 若函数f （x） =ksinx+cosx的图象关于点（得：k=- 1,故为真命题;在平行四边形ABCD中，若I二L +r；1=1二厂 +" |，即平行四边形ABCD的两条对角线长度相等，则四边形 ABCD的形状一定是矩形，故为真命题；故答案为：【点评】本题考查的知识点是和差角（辅助角）公式，三角函数的对称性，向量的模，向量 加法的三角形法则，难度中档.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

24、或演算步骤）71sin (a )和 cos (+ 3)的值,则sin3 3TT小7T【解答】解:a(4，4），二a -4【分析】由3的范围求出(X、a + 3）的值可求. 0中的范围，结合已知求出713又 cos (a”4）七7T又T3( 0,4),7112sin (+3)=-413则 sin (a + 3) =sin-'-+p n)cos ( a 一 兀)+cos ( 十 &)sin (a-K4444=sin (【点评】本题考查两角和与差正弦、余弦，关键是“拆角、配角”思想方法的运用，是中档 题.18. 设幕函数f (x) = (a- 1) xk ( a R, k Q的图象过

25、点(1) 求k, a的值;(2) 若函数 h (x) =- f (x) +2b . 1 : :j+1 - b在上的最大值为3,求实数b的值.【考点】二次函数的性质；幕函数的单调性、奇偶性及其应用.【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用.【分析】(1)根据幕函数的定义和性质进行求解即可求k, a的值；(2)若函数h (x) =- f (x) +2b一二.+1 - b在上的最大值为3,利用换元法转化一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求实数b的值.【解答】解：(1)设幕函数f(x)=(a- 1 )xk(a R, k Q)的图象过点 (近,2)则 a -仁 1,即 a=2,此时 f (x)

26、=xk,即(、帀 ；_尹=2,即三=2，解得k=4；(2)v a=2, k=4, f ( x) =x4,则 h (x) =- f (x) +2b,：1+1- b=- x4+2bx2+1 - b2 2 2=-(x - b) +1 - b+b , 设 t=x 2,贝U 0< t <4,则函数等价为 g (t) =-( t - b) 2+1 - b+b2,若b< 0,则函数g (t)在上单调递减，最大值为g (0) =1 - b=3，即b=- 2，满足条件.若0 v b<4,此时当t=b时，最大值为 g ( b) =1 - b+b2=3,即 b2- b - 2=0，解得 b=

27、2 或 b=- 1 (舍).若b >4,则函数g (t)在上单调递增，最大值为g (4) =3b - 15=3,即3b=18, b=6,满足条件综上b=- 2或b=2或b=6.【点评】本题主要考查幕函数的定义和性质的应用以及一元二次函数的性质，利用换元法结 合一元二次函数的性质是解决本题的关键注意要进行分类讨论.19. 锐角三角形 ABC的三内角A、B C所对边的长分别为 a、b、c,设向量(1) 求角B的大小；(2) 若b=1，求a+c的取值范围.【考点】余弦定理的应用；平面向量共线(平行)的坐标表示；正弦定理.【专题】计算题；函数思想.【分析】(1)首先运用向量的平行的充要条件得出边

28、a、b、c的一个等，通过变形为分式再|1|71结合余弦定理可得 COSB=，结合B( 0,n )得B ；(2)根据正弦定理将 a+c变形为关于角 A的一个三角函数式，再结合已知条件得出A的取值范围，在此基础上求关于 A的函数的值域，即为 a+c的取值范围.【解答】解：(1)v H '匚( c - a) c -( b - a)( a+b) =02,2k2i a 2+c2 - b2=ac 即 ：2ac2三角形ABC中由余弦定理，得|1!1%cosB，结合 B( 0,n)得 B=(2)v B=“ a+4由题意三角形是锐角三角形，得再由正弦定理:a.sinA sinB sinC且b=1sinA

29、+sin (普 一 &)bsinA+bsmC3. a+c=:(-|sinA4-cas) =>/3sinA+casA=2siu (翳辛)£aa£I【点评】本题综合了向量共线与正、余弦定理知识，解决角的取值和边的取值范围等问题, 考查了函数应用与等价转化的思想，属于中档题. 220 .已知函数 f (x) =2 - 2cos (+x)- J pcos2x(1) 求函数f (x)在x 时的增区间;(2) 求函数f (x)的对称轴;(3) 若方程 f (x)- k=0 在 x 兀兀42上有解，求实数k的取值范围.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【专题

30、】计算题；函数思想；综合法;空间位置关系与距离.【分析】(1 )由条件化简得到f (x) =1+2sin (2x)，求出f (x)的单调递增区间,n得出结论.(2) 根据对称轴的定义即可求出.(3) 由题意可得函数 f ( x)的图象和直线y=k在x 丁, 上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f (x)的值域，可得k的范围.ITTT【解答】解：(1) f (x) =2 - 2cos2 ( +x)-飞汽 cos2x=1+2sin ( 2x),由2x -713, k Z,得 x , k Z,可得函数f (x)在乂时的增区间为，, n ,得函数f(3)T x 7T兀=k n +3,2(2)由 2

31、x(x)的对称轴为-k兀5叽-12'12,k Z,k Z,w 2x-7T兀3即 2w 1+2sin ( 2x-25"371)w 3,要使方程f (x) - k=0在x 上有解，只有k.【点评】本题主要考查三角函数的化简，正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定 义域和值域，属于中档题.21.如图， ABC 中，sin7l-= ： , AB=2,点 D 在线段 AC上，且 AD=2DCbd=F. (I)求：BC的长； 4)求厶DBC的面积.【考点】解三角形.【专题】计算题.【分析】（I）由si n=j的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos/ABC的值，设BC=a, A

32、C=3b由AD=2DC得至U AD=2b, DC=b在三角形 ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，记作，在三角形ABD和三角形DBC中,利用余弦定理分别表示出 cos/ ADB和cos / BDC由于两角互补，得到 cos / ADB等于-cos / BDC两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，记作，联立即可求出a与b的值，即可得到 BC的值；（H）由角 ABC的范围和cos/ABC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin /ABC的 值，由AB和BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，由AD=2DC且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形 BDC的面积等于三角形 ABC面积的二，进而求出三角形BDC的面积.【解答】解：（I）因为sinZABC凶，所以 cos / ABC=-322ZABC