数学选修2-1知识点总结

1、数学选修 2 1 知识点总结第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句 . 假命题：判断为假的语句 .2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论 .3、对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题， 另一个称为原命题的逆命题。 若原命题为“若 p ，则q ”，它的逆命题为 “若q ，则 p ” .4、对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命 题称为互否命题 .

2、中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题 . 若原命题为“若 p ，则 q ”，则它则这两个命p ，则的否命题为“若p ，则 q ”.5、对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定， 题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若q ”，则它的否命题为“若 q ，则 p6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若 pq，则 p 是q的充分条件，

3、 q是 p的必要条件若 p q，则 p是 q的充要条件（充分必要条件） 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q 当 p 、 q都是真命题时， p q是真命题；当 p、 q两个命题中有一个命题是假命题时，p q是假命题用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q 当 p、 q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当 p 、 q两个命题都是假命题时，p q 是假命题对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作 p 若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是 假命题，则 p 必是真命题9、短语“对所有的” 、

4、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对 中任意一个 x ，有 p x 成立”，记作“ x ， p x ”短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示含有存在量词的命题称 为特称命题特称命题“存在 中的一个 x ，使 p x 成立”，记作“ x ， p xp x 。全称命题的否定是特称命题。 p x 。特称命题的否定是全称命题。10、全称命题 p ： x ， p x ，它的否定 p ： x 特称命题 p ： x ， p x ，它的否定 p ： x第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设

5、、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点 M x, y 及其他的点； 找出满足限制条件的等式； 将点的坐标代入等式； 化简方程，并验证（查漏除杂） 。2、平面内与两个定点 F1， F 2的距离之 和等于常数（大于 FF ）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称 为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。MF1 MF2 2a 2a 2c3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程22x22y22 1 a b 0a2 b 222y22 x22 1 a b 0a2 b 2第一定义到两定点 F1 、F2的距离之和等于常数 2a，即|MF1| |MF2| 2a（ 2a |F1

6、F2|）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 MF e （0 e 1）d范围a x a 且 b y bb x b 且 a y a顶点1 a,0 、 2 a,01 0, b 、 2 0,b1 0, a 、 2 0, a1 b,0 、 2 b,0轴长长轴的长 2a 短轴的长 2b对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称焦点F1 c,0 、 F2 c,0F1 0, c 、 F2 0,c焦距F1F2 2c (c2 a2 b2 )离心率cc2a2 b2b2e 2 2 1 2 (0 e 1) a a a a准线方程2 a xc2 a yc焦半径M (x0, y0)左焦半径：

7、右焦半径：MF1 a ex0MF2 a ex0下焦半径： MF1上焦半径： MF2a ey0 a ey0焦点三角形面积2S MF1F2 b tan (F1MF 2 )1 2 2通径b2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH b a(焦点)弦长公式A(x1,y1),B(x2,y2) ， AB1 k2 x1 x21 k2 (x1 x2)2 4x1x24、设 是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点 到 F2对应 准线的距离为 d2 ，则F1F2 e 。d1d25、平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之 差的绝对值 等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹称为双曲线。MF1 MF2 2

8、a 2a 2c这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距6、双曲线的几何性质：焦点的位 置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程22xy2 2 1 a 0, b 0ab22yx2 2 1 a 0, b 0ab第一定义到两定点 F1、F2的距离之差的绝对值等于常数 2a ，即|MF1 | |MF2 | 2a(0 2a |F1F2 |)第二定义与 一 定点 的距 离和到 一 定直 线的 距 离 之比 为常 数 e ，即 MFe (e 1)d范围x a或 x a ， y Ry a或 y a， x R顶点1 a,0 、 2 a,01 0, a 、 2 0,a轴长实轴的长 2a 虚轴

9、的长 2b对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称焦点F1 c,0 、 F2 c,0F1 0, c 、 F2 0,c焦距F1F2 2c (c2 a2 b2 )离心率ecc2aa2(e 1)a2 b2 1 ab22a2准线方程x2 a cy2 a c渐近线方 程ybx ayax bM在右支M在上支左焦：MF1ex0 a左焦：MF1ey0 a焦半径右焦：MF2ex0 a右焦：MF2ey0 aM ( x0, y0 )M在左支M在下支左焦：MF1ex0 a左焦：MF1ey0 a右焦：MF2ex0 a右焦：MF2ey0 a焦点三角 形面积S MF1F2bcot2(F1MF2 )通径过焦点且垂直

10、于长轴的弦叫通径： HHb2 a7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点 到 F2对应准线的距离为 d2，则F1F2 e 。d1d29、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线 定点 F 称为抛物线的焦点， 定直线 l 称为抛物线的准线两点的线段，称为抛物线的“通径” ，即10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 2p11、焦半径公式：若点x0 , y0 在抛物线 y2 px p0 上，焦点为 F ，则Fx0p2 ；、若点x0, y0在抛物线2px上，焦点为F，则Fx0p2；若点x0, y0在抛物

11、线2py上，焦点为F，则Fy0p2；若点x0, y0在抛物线2py上，焦点为F，则Fy0p212、抛物线的几何性质：图形标准方程2y 2 pxp02y 2 pxp02x 2 pyp02x 2 pyp0定义与一定点 F 和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F 不在定直线 l上）顶点0,0离心率e1对称轴x轴y轴范围x0x0y0y0焦点F p ,02F p ,02F 0, p2F 0, p2准线方程px2px2py2yp2焦半径M (x0,y0)MF x0 p2MFx0 p2MF y0 p2MFy0 p2通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH 2p焦点弦长 公式AB

12、x1 x2 p参数 p 的几何 意义参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB 为过抛物线 y 2 2 px ( p 0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线 AB 的2倾斜角为 ，则 x1x2 p ,y1y242AB2p ;p;2; sin 以 AB 为直径的圆与准线相切； 焦点 F 对 A、B 在准线上射影的张角为；2112|FA| | FB | P第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3）向量

13、uuur 的大小称为向量的模（或长度），记作uuur uuur4）模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向量5）与向量 ar 长度相等且方向相反的向量称为 ar 的相反向量，记作 ar 6）方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点 为起点的两个已知向量 ar 、 b 为邻边作平行四边形C，则以 起点的对角线 uuCur 就是 ar 与 b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2）求两个向量差的运算称为向量的减法， 它遵循三角形法则 即：在空间任取一点 uu

14、ur r r则ar b r3、实数 与空间向量 ar 的乘积 ar 是一个向量，称为向量的数乘运算当0 时，rar 与 ar 方向相同；当0 时， ar 与 ar 方向相反；当0 时， ar 为零向量，记为 r0 ar 的长度是 ar 的长度的倍4、设 ， 为实数， ar ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：ar b ；结合律：5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零ar /b 的充要条件是存在实数，使向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量7、平行于同一个平面的向量称为共面向量uuur u

15、uur uuur8、向量共面定理：空间一点 位于平面 C内的充要条件是存在有序实数对x，y ，使x y C；uuur uuurxC 共面， 则uuur uuur uuur uuurx y z C x y z 1 rr9、已知两个非零向量 a 和b ，在空间任取一点uuur r uuur r，作 ar ， b，则或对空间任一定点有 uuury C ；或若 四点夹角，记作 ar ,br 两个向量夹角的取值范围是：ar,br 0,称为向量 ar ， b 的r10、对于两个非零向量 a 和 b ，若，则向量 ar ，b 互相垂直，记作 ar b 11、 已 知 两 个 非 零 向 量 ar 和 b则

16、arb cos a ,b称 为 ar ， b 的 数 量 积 ， 记 作 ar b 即ar br cos ar ,br 零向量与任何向量的数量积为 0 rr12、ar b等于ar的长度 ar 与b在ar的方向上的投影 br cos ar,br 的乘积 r13 若 ar ， b 为非零向量， er 为单位向量，则有1 er ar ar er ar cos ar,er ； 2 ar brar br 0 ；ar b ar与 b同向ar b ar与 b反向rrr2r，a aaacos a ,b14 量数乘积的运算律：r r r r r r2r r r rr r r r r r r315、空间向量基本定

17、理：若三个向量ar ， b ， cr 不共面，则对空间任一向量pr ，存在实数组 x, y, z ，使得 pr xar yb zrc 16、三个向量 ar ，集合可看作是由向量cr 不共面，则所有空间向量组成的集合是rp rpxa yb zc, x, y, z R这个cr 生成的，称为空间的一个基底，cr 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底ur uur ur ur ur ur 17、设 e1 ， e2 ， e3为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底) ，以e1 ， e2 ，e3 ur uur ur的公共起点 为原点，分别以 e1 ， e2 ， e3

18、的方向为 x轴， y 轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系r uuur rxyz则对于空间任意一个向量 p ，一定可以把它平移， 使它的起点与原点 重合，得到向量pr 存rur ururrur uur ur在有序实数组 x, y, z，使得 prxe1ye2ze3 把 x ， y ， z 称作向量p 在单位正交基底e1 ， e2 ， e3在空间直角坐标系 xyz中的坐标 x, y,z下的坐标，记作 rp x, y,z 此时，向量 rp 的坐标是点18、设 ar x1, y1, z1则 z y x2 z z12 y1 x2 x1 rb rarr）2z z y x3)r ax1,y1, z14)r

19、rabx1x2y1y2z1z25)若 ar 、rb 为非零向量，则 arar br0 x1x2 y1y2z1z2 0rrrr6)若b0，则 ar / br ax1x2, y1 y2, z1z28）cos a, b7) arar arrbr rarx2,y2,z2 ，则 d22y1 z19) x1, y1, z1 ，uuur2 x1y22y12 z2 z119、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量uuru uuru来表示向量 称为点 的位置向量20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点量 a 表示直线 l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点以及一个定方向确定点uuur r，有 ta ，这样点是直线 l 上一点，向和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出直线 l 上的任意一点21、空间中平面的位置可以由向向量分别为内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 ，它们的方 上任意一点，存在有序实数对 x,y ，使得 uuur