与轴对称相关的线段之和最短问题(初二版)

1、与轴对称相关的线段之和最短问题一 问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，有这样一个问题S13.2-8().雯柱陋吒盘遭/上絡建一个聚站.分别向.4. B两镇供气.泵站修在懺建的ft么摊方，町便序用的输气IfftIft休可以在/上比几个直试试，世良現什么規律？G)12.2 8在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间 线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类 问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、 矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这 一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。 若掌握了下面

2、列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和 最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的 效果。二.数学模型:1. 如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。2. 如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。3. 如图，点P是ZMoN内的一点，分别在0M, ON上作点A, BO使厶PAB的周长最小4.如图,点P, Q为ZMON内的两点,分别周长最小。B'Ib'在0M, ON上作点A, BO使四边形PAQB的三两边之和大于第三边型为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”（一）直线类1.如图

3、，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=IO千米，BD = 30千米，且CD = 30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最 节省，并求出总费用是多少作点B关于直线CD的对称点B',连接AB',交CD于点M则AM+BM二AM+B'M二AB',水厂建在M点时，费用最小2. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB丄BD, ED丄BD, 连接 AC、ECO 已知 AB=5, DE=1, BD=8,设 CD=x.(1) 用含X的代数式表示AC+CE的长

4、；(2) 请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小(3) 根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式(丙 +(12-×)2+9 的最小值3求代数式寸x' +彳7（4-x）2 + 4 （0×4)的最小值(二) 角类4两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发,经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点R、P2,连结P1P2 分别交0A、OB于C、D,则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D 两点

5、的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加 油站运油车所走的路程最短.5如图 ZAOB = 45o ,P 是ZAOB 内一点，PO= 10,Q、P分别是0A、OB上的动点，求APQR周长的最 小值.分别作点P关于0A、OB的对称点只、P2,连接PR,交0A、OB于点Q, R,连接 OR, OP2,则 OP = OPI 二 OP2 二 10 ILZPIOP2 = 90° 由勾 股定理得PR = 102（三）三角形类6.如图，等腰RtABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 即在AC上作一点P,使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B

6、1,连接B,E,交 Ae 于点 P,则 B,E = PB,+PE = PB+PEB,E 的长就是 PB+PE 的最小值7.如图，在ZiABC 中，AC = BC=2, ZACB=90o , D 是 BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值为o即是在直线AB上作一点E,使EC+ED最小作点C关于直线AB 的对称点C',连接DC'交AB于点E,则线段DC'的长就是EC+ED的最 小值。在直角ADBC中DB=1, BC二2,根据勾股定理可得，DC, =5& 等腰ZABC 中，ZA 二 20° , AB = AC 二 20, M、N 分别是AB、

7、ACJL的点，求BN+MN+MC的最小值分别作点C、B关于AB. AC的对称点C'、B',连接C' B'交 AB、AC 于点 M、N,则 BN+MN+MC 二 B' N+MN+MC' =B' C' , BN+MN+MC的最小值就是B' C'的值TZBAL 二 ZBAC, ZCABT 二 ZCAB,ZB' AC,二 60°TAC' = AC, AB,二 AB, AC = ABAC'= AB,ABr C'是等边三角形B, C'二 209.如图，在等边AABC中，AB =

8、 6, AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2,求EM+EC的最小值错误!因为点C关于直线AD的对称点是点B,所以连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小， 过点B作BH丄AC于点H,则 EH = AH - AE = 3二 62 - 32 二 33在直角 ABHE 中，BE = BH2 + HE2 二 (33)2 + 12 = 27（四）正方形类10.如图，正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM = 2, N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为o即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小故作点D关于AC的对称 点B,连接BM, 交AC于点N。则DN+MN=BN

9、+MN = BM线段BM的长就是DN +MN的最小值在直角 ZBCM 中，CM = 6, B C = 8,则 BM= IO故 DN+MN的最小值是101仁 如图所示，正方形ABCD的面积为12, ABE是等边三角形， 点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的 和最小，则这个最小值为（）即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小.点D关于直线AC的对称点是点B,连接BE交AC于点P, 则 BE = PB+PE = PD+PE, BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2312.在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点

10、，连接PB、PQ,则APBQ周长的最小值为Cm （结果不取近似值）.即在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小因为点B关于AC的对 称点是D点，所以连接DQ, 与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ的长就 是PB+PQ的最小值 在直角ZCDQ中，CQ二1 , CD二2根据勾股定理，得，DQ = 513.如图，四边形ABCD是正方形，AB = IOCn, E为 边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC÷PE的最 小值；连接AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最 小值在直角AABE中，求得AE的长为5书14.已知直角梯形/1磁中，AD/ BC, A

11、B丄BC,血上2, BgDg5, 点P在 上移动，则当PZ?取最小值时，ZS勿中边上的 高为().4力、A B、1T7 作点A关于BC的对称点A',连接A'D,交BC于点P则A,D = PA,+PD=PA+1 D的长就是PA+PD的最小值(五) 一次函数类 15.在平面直角坐标系中，有A (3, -2), B (4, 2)两点,现另取一点C (1, n),当n=时，AC + BC的值最小.16. 次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A (2, 0), B (0, 4).432IZe4 J -21 ()2/-3-4A(1)求该函数的解析式;(2) 0为坐标原点，设0A、A

12、B的中点分别为C、D, P为OB上一动 点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.17.桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),(六) 立体图形周长18厘米，在杯口内壁离杯口 3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小 虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的 B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在 的位置。析：展开图如图所示，作A点关于杯口的对称点A, o则BA, =92 + 122 =15 厘米18. 只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已 知点A到桶口的距离AC为12cm,点B到桶口的距离BD为8cm, CD 的长为15cm,那么蚂蚁爬行的

13、最短路程是多少 展开图如右图所示，作点B关于CD的对称点B',连接AB',交CD于点P,则蚂蚁爬行路线APB为最短，且AP+PB = AB+PB,在直角 ZAEB'中，AE 二 CD 二 12, EB'二 ED + DB' = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB,= 25所以，蚂蚁爬行的最短路程是 25Cnl两点之间距离最短19. 如图，四边形ABCD是正 方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点， 将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM(1)求证：AAMB仝AENB;当M

14、点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； 当AM + BM + CM的最小值为羽 + 1时，求正方形的边长.(2)连接AC,交BD于点M,则AM+CM的值最小连接CE交BD于 点M,则AM+BM+CM的值最小VAM=EN, BM二NM,AM+BM+CM二EN+NM+MC二EC根据“两点之间，线段最短”，可知 EN+NM+MC=EC 最短(3)过点E作CB的延长线的垂线，垂足为F设正方形ABCD的边长为 2x则在直角ZiBEF中，ZEBF=30° ,所以，EF=X,根据勾股定理：BF= 3×在直角ZCEF中，根据勾股定理：CF = EF2 + FC2得方程：(3 + D2 = X2 + ( 3x +2x)2 解得：X=丰所以：2x =(六).垂线段最短型20. 如图，在锐角 ZABC 中，AB= 42, ZBAC=45° , ZBAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN的最小值是作点B关于AD的对称点B',过点B1作B' E丄AB于点E,交AD于点F, 则线段B,E的长就是BM+M N的最小值在等腰RtAEB,中，根据勾 股定理得到，B1E = 4AB二2, ZAB上各的值最2仁如图，ZABC中，BAC=3