2020年黄浦区高三数学一模

1、1234567892020 年黄埔区一模12题， 1-6每题 4分， 7-12每题 5分， 1)(x 2) 0，集合 B x|1 x 3 ， i)(a R， i 为虚数单位)为纯虚数，则 8y 的焦点到准线的距离为 4 (x2 1 )8的展开式中 x4 的系数为 70 (用数字作答) x填空题(本大题共 设集合 A x|(x 已知 z (a i)(1 2 抛物线 x2设 为第二象限的角， sin母线长为 3、底面半径为 1若无穷等比数列 an 满足：所有项的和为 433 ，则 tan2 的值为 245754 分)A B=( 1,3)170的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为1a2a3 a4，

2、a5 16，且 an R(n23) ，则数列a2n1 的四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 果用数字作答) 已知 A、 B为双曲线 E的左、右顶点，点 M在 E上， ABM为等腰三角形，且顶角为 120 °，则 E 的两条渐近线的夹角为 2144(结x 10已知函数 y f(x)与 y g(x) 的图像关于直线 y x对称，若 f (x) x log 2(2 x 2)， 则满足 f (x) log2 3 g(x) 的 x的取值范围是 (0,log 215) 11设函数 y f ( x)的定义域为 D ，若对任意的 x1 D，总存在 x2 D，使得 f

3、(x1) f (x2) 1， 则称函数 f(x) 具有性质 M下列结论：3函数 y x3 x 具有性质 M ；函数 y 3x 5x 具有性质 M ；若函数 y log8(x 2),x 0, t具有性质 M，则 t 510； 若 y 3sin x a 具有性质 M，则 a 5 4 其中正确结论的序号是12已知正 uuur正 六边形 A1A2A3A4A5A6 的边长 为 2，点 P是该正 六边形边上的 动点， 记 uuuuruuuur uuuuruuuuruuuuruuuur uuuuruuuuruuuurA1P A2PA2P A3PA3PA4PA4P A5PA5PA6P二. 选择题(本大题共 4

4、题，每题 5分，共 20 分)2x 13x13方程5 的解集是( B )uuuurA6PuuurA1P，则 的取值范围是 30,36 iA 2 B2， 2C1， 1 Di，14将函数 y sin(4 x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，再向右平移 个单33 位，得到的函数图像的一条对称轴的方程为(A xB xC xD 1216415若函数 f (x)的定义域为 R，则“ f (x)是偶函数”的( C )A) x2是“ f(|x|) f (x)对一切 x R恒成立”A 充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件16设曲线 E 的方程为 42x292 1，动点 A

5、(m, n), B( m,n),C( m, n), D ( m, n)在 E上对于 y2结论：四边形 ABCD 的面积的最小值为 48；四边形 ABCD 外接圆的面积的最小值为 25 下面说法正确的是（ D ）B对，错D都对A错，对17C都错 解答题（本大题共 5题，共 76 分） （本题满分 14分）第 1小题 6分，第 2小题 8分在三棱锥 P ABC 中，已知 PA, PB, PC两两垂直， PB 3，PC 4 ，且三棱锥 P ABC 的体积为 10 1）求点 A 到直线 BC 的距离；2）若 D是棱 BC 的中点， 求异面直线 PB, AD所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）解：(

6、1)因为 PA PB，PA PC，PB PC P，所以 AP 平面 PBC， 1分11由VP ABC( 3 4) AP 10，可得 AP 5 3 分32过 P 作 PE BC 于 E ，连 AE ，由 AP 平面 PBC ，可得 AP PE,AP BC ，由 BC PE， BC AP ，可知 BC 平面 APE，故 BC AE ， 4 分又 PE = 12 ，所以 AE52 (12 )2769 ，5 5 5所以点 A到直线 BC的距离为 769 6分52）设 F 为棱 PC 的中点，连 DF,AF ，由 D,F 分别是棱 BC,PC的中点，可得 DF PB，所以 AD 与 DF 的夹角即为异面

7、直线 PB与 AD 所成的角 8分 因为 AP 平面 PBC ，所以 AP PD，又 FD 1 PB 3 ， AFAP2+PF2 29 ，22ADAP 2+PD 252 (5)2 5 5 ，12分14 分22 所以cos ADF AD2+DF2 AF2 3 5， 2AD DF 25 故异面直线 PB,AD 所成的角为 arccos3 5 2518（本题满分 14分）第 1小题 6分，第 2小题 8分在ABC中， a,b,c分别是角 A, B, C 的对边，且 acosC （2b c）cos A uuur uuur（1）若 AB AC 3，求ABC 的面积；（2）若 B C ，求 2cos2 B

8、 cos2C 的取值范围解：（ 1）由 acosC （2b c）cosA ，可得 sinAcosC （2sinB sinC）cosA， 1 分 即 sin（A C） 2sinBcosA ，故 sinB 2sinBcosA ，又 sinBuuur 因为 AB10 ，故 cosA，因 A (0,) ，故 A 23 uuur AC 3 ，所以 cbcos 3，得 bc 6，323 3 2， 3，1 cos2Ccos2B 1 ABC 的面积为 bcsin A22)由 A 3，可得所以22cos2 B2cos C4分6分8分4 cos( 39分233sin 2C ，222 4 1 cos2C2 2 2

9、4 3 3( , )，即2C ( , )，所以 sin2C ( 3 , 3)，3 3 3 3 2 2 333 9sin2C ( , ) 2 24 4cos2 C的取值范围是 (3,9) 442C)11分又 B C ，故 C所以 2cosB即 2cos2 Bcos2C14 分19（本题满分 14分）第 1小题 6分，第 2小题 8分 某研究所开发了一种新药， 测得成人注射该药后血药浓度 y （微克毫升） 与给药时间 x（小时）之间的若干组数据，并由此得出 y与 x之间的一个拟合函数 y 40（0.6x 0.62x） （x 0,12） ，其简图如图所示 试根据此拟合函数解决下列问题： （1）求药峰

10、浓度与药峰时间 （精确到 0.01 小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势； （ 2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到t) ，0.5，解：当且仅当 t故 y 的最大值为 10，此时即 x log0.6 0.5 0,12 时， y 10，x log 0.6 0.5 1.36 ，2分所以药峰浓度为 10（微克 /毫升）， 药峰时间为 1.36 小时 6 分由函数简图知，当 x 0,log 0.6 0.5 时，血药浓度随时间增大而增大； x log 0.6 0.5,12 时，血药浓度随时间增大而减小 8 分 2)令 y 40( t2 t) 5 ，可得 t2 t

11、1 0 ，810 分解得 t 2 2 或t 2 2 ，由 t 2 2 可得 x log 0.6 2 2，12分4 4 4 0.6 4故血药浓度的半衰期为 log 0.6 2 2 log 0.6 0.5 2.40 (小时) 14 分420(本题满分 16分)第 1小题 4分，第 2小题6分，第 2小题 6分，已知椭圆 C 的中心在坐标原点， 焦点在 x轴上，椭圆 C 上一点 A(2 3, 1)到两焦点距离 之和为 8若点 B是椭圆 C的上顶点，点 P,Q是椭圆 C上异于点( 1)求椭圆 C 的方程；uuur uuur(2)若 BP BQ，且满足 3PD 2DQ 的点 D 在 y轴上，求直线( 3

12、)若直线 BP与 BQ 的斜率乘积为常数 ( 0) ，试判断直线 经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由x 2 y21(a b 0) ，解：(1)设椭圆 C 的方程为故椭圆 C 的方程为2 ab2121a2b22xy由题意知 2a 8 ，4162 1 ，可得 a 4,b2，14分B 的任意两点BP的方程；PQ 是否经过定点 若2)设 BP,BQ 的斜率分别为k,k ，则由 BP BQ ，可得 k1， k，5分y由 x216kx 2,2y24可得 (4k11)x2 16 kx 0 ，所以 xP4k216k ，1同理可得16k ，2， 4 k 2uuur 由 3PD16k xQ2Q 4

13、k 2 1 uuur2 DQ ，可知 3xP 2 xQ ，即 37分126k24k 2 1又 k 0 ，可得 k3)设直线 PQ 的方程为 y mx b ，代入椭圆 C 可得 (4m2 1)x2 8mbx 4b2 16 0 ，16k ， 2， 4 k 22 ，所以 BP 的方程为 y 2x 2 的方程，10 分x1x2设 P,Q的坐标分别为 (x1, y1),(x2, y2)，故8mb24m 124b2 164m2 112 分由 kBP k BQy1 2y 2 2 mx1(b2) mx2 (b 2)x1x2x1x2可得 ( m 2) x1x2m (b 2)( x1x2)2(b 2) 2 0(b

14、 2) 0 ，所以 (m 2) 4b2168mb( b 2) 2 0 ，又 b4m2214 m2 1( b 2) 0故 ( m 2)4( b22) 8m 2b(b22)(4 m 2 1) 0 ，x1x214 分2，8 为定值，故直线 PQ 过定点 (0, 2 8 ) 14可得 b 21416 分21(本题满分 18分)第 1小题 4分，第 2小题6分，第 3小题 8分对于数列 an ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称an 为P数列(1)若an的前n项和Sn 3n 2，试判断an是否是 P数列，并说明理由；(2)设数列 a1, a2 ,a3,L ,a10是首项为 1、公差为

15、d 的等差数列，若该数列是 P数列， 求d 的取值范围；(3) 设无穷数列 an是首项为 a、公比为 q的等比数列， 有穷数列 bn, cn 是从an 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列， 其所有项和分别为 T1,T2 ，求an 是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题 “若a 0且T1 T2，则an不是 P 数列 ”解：(1)由 Sn 3n 2，可知 an1 Sn1 Sn 2 3n ， 2分 故an1 Sn 3n 2 0对一切正整数 n都成立，故 an是P数列 4分 (2)由题意知，该数列的前 n项和为 Snn n(n 1)d ，an 1 1 nd ，6 分2由数列 a1, a2 ,L

16、 ,a10 是 P数列，可知 a2 S1 a1 ，故公差 d 0 ，Sn an 1 d n2 (1 3 d)n 1 0对满足 1 n 9中的每一个正整数 n都成立 22 d 2 3n2 (1 d)n 1 0对于 n 1,9 都成立22d 2 38由 92 9(1 d) 1 0 ，可得 d 8 ，2 227故 d 的取值范围是 (0, 8 ) 273)若an 是P数列，则 a S1 则 q 1，又由n a q 1 ，即 2若a 0 ，可知 aq由(1)nq若a0，可知n aq又当q(10 分a 2 aq ，Sn 对一切正整数 n 都成立，故有q 1 20 ，且 lim( )n1nq 又由 an 1则 q 1，na1 qn1q, 1 时， (2即 (2(1)n 对一切正整数 n都成立， q，故 2 q 0，可得 q 2 12分Sn 对一切正整数 n 都成立，q)qnq)qnq (0,1), 或 q ( (2 q) q 1 (2 q) q1,0), ，2 1 ，1 对一切正整数 n 都成立，1当n解得 q2 时不成立，15( ,0) (0,1) 2所以an是 P数列时， a与q所满足的条件为a 0 或q2q 14 分 ,0)下面用反证法证明命题“若 a 0 且 T1 T2 ，则 an 不是 P 数列” 假设 an 是 P数列，由 a 0 ，可知 q 2且an 中每一