正弦定理、余弦定理基础练习

1、正弦定理、余弦定理基础练习1 .在ABC43：(1)已知A45、B30、a5糜,求b;(2)已知B75、C45、a6,求c.2 .在AB8(角度精确到1°)：(1)已知b15、c=7、B=60°,求C;(2)已知a6、b=7、A=50°,求B.3 .在ABC中(结果保留两个有效数字)：(1)已知a=5、b=7、C=120°,求c；(2)已知b3再、c=7、A=30°,求a.4 .在ABC(角度精确到1°)：(1)已知a6、b=7、c9,求A；(2)已知a3J3、b4、cJ79,求C.5 .根据下列条件解三角形(角度精确到1°

2、,边长精确到0.1)：(1) A37,B60,a5;(2) A40,B45,c7;(3) B49,a5,b3;(4) C=20,a=5,c=3；(5) a4,b7,C80;(6) a10,b13,c14.6 .选择题：(1)在ABC4下面等式成立的是().A.abcosCbccosAC.acosCccosA(2)三角形三边之比为3：5A.60°B.120°(3)在ABC43,bc二A.b1,cv'2c22.2C.b,c122(4)在ABC43B45、cA.5.2B.53B. absinCbcsinAD.acosAbcosB5：7,则这个三角形的最大角是().C. 1

3、35°D,150°21,C45,B=30。，则().B. bV2,c122D.b1,c22/5d2、b5,则a().C. 5D.107.填空题:(1)ABCAB1、AC'抵"'、面积S，则A(2)在ABC,若acosAbcosB,则4ABC勺形状是求角c8.在ABC44.在 ABC43 (sin A sin B sin C),sin2AsinAsinBsin2Csin2B,综合练习0有重根，且 A、R C为ABC勺三内角，则41 .设方程x2sinA2xsinBsinCABC勺三边a、b、c的关系是().A. b=acB . a= bc2C. c

4、= abD. b acA1A 0 cosA 一2CD2 .在ABCfC90、A75,CDAB,垂足为D,则CD的值等于(ABA.B.C.D.23.等腰三角形的底角正弦和余弦的和为6-,则它的顶角是().2D. 15A.30°或150°B.150或75°C.30°2_.2_.2一、3(sinAsinBsinC),则这个三角形是()三角形.A.锐角B.钝角C.直角D.等边5 .在ABC中0tanAtanB1,则ABC().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定其形状6 .在ABC43,AB是cos2Acos2B的()条件.A.充分非必要B.必

5、要非充分C.充要D.既不充分也不必要7 .在锐角ABO,若C2B,则£的范围为().bA. (V2,M3)B.(6,2)C.(0,2)D.(正,2)8.已知A为三角形的一个内角，函数y(cosA)x2(4sinA)x6,对于任意实数x都有y0,则().B. 一cosA12C.cosA0D.1cosA09.已知锐角三角形的边长为2、3、x,则x的取值范围是().A.1x5B.,5x13C.*13x5D.1x1y510.在ABC43,若面积SABC(bc)2,则cosA.12B3B.C.12D.15131711 .在ABC43a7、b12 .在ABC中，若sinA10、c15,则tanA

6、cosBcosC,贝UtanBtanC13 .在ABC4若2cosBcosC1cosA,则4ABC勺形斗大是14 .AABC勺面积和外接圆半径都是1,则sinAsinBsinC=.为图5-8sinAsinB，15.在ABC,sinC,则ABC勺形大是.cosAcosB16.如图5-8,/A=60。，/A内的点C到角的两边的距离分别是5和2,则AC的长1lg1sinA则lgcosA17 .已知A为锐角三角形一个内角，且lg(1sinA)m的值为.18 .在ABC中，若A60,b1,SABCj3,贝19 .在ABC43,已知2sinBcosCsinA,A120积.20 .在ABC43,已知(sin

7、AsinBsinC)(sinAsinBsinC)3sinAsinB,求角C.21 .在ABC4内角A最大，C最小，且A2C,若ac2b,求此三角形三边之比.22 .已知三角形的三边长分别为x2x1、x21、2x1,求这个三角形中最大角的度数.拓展练习1.三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的2倍，则最小角的余弦等于().sinAsinBsinC的值为a1,求B和ABC的面A.347B.102.在ABC中，P表示半周长,C.23R表示外接圆半径,D-194卜列各式中:>(Pb)(Pc)bccacosBbcosA* ABtan2* ABtan2b正确的序号为（A.).B.、3.在ABC,若

8、a2b(bA.B.4.在ABC4tan2BBsinAsinBsicCRc）,则有（）.C.A3B,则此三角形为（D.).2AA.C.等腰三角形等腰直角三角形B.直角三角形D.等腰或直角三角形5.在ABC中，若1ga1gcB为锐角，则4ABC的形状是6.设A是ABC的最小角，且cosAa-,贝Ua的取值范围是a17.如图5-9,在平面上有两定点A和B,ABJ3,动点M、N满足AMMNNB1.记AAMBF口MNB勺面积分别为S、T,问在什么条件下，S2T2取得最大值?8.在 ABC43,已知图5-109 .圆O的半径为R,其内接ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,若2R(sin2Asi

9、n2C)sinB(J2ab),求ABCW积的最大值.10 .若ABC半彳空为r的圆的弓形，弦AB长为&,C为劣弧上一点，CDAB于D,当C点在什么位置时ACD勺面积最大，并求此最大面积(如图5-10).5 -1. (1) b 7622. (1) C 24 ,3. (1) C 10,4. (1). A 42 ,5. (1) C 83 , b参考答案 基础练习(2) c 2<6 .(2) B 63 或 117(2) a 3.6.(2) C 150.7.2, c 8.2;(2) C 95 , a 4.5, b 5.0;(3) A 20 , C 111 , c 10.9;(4) A(5)

10、 c35 , B 125 , b 7.2或 A 145 , B7.4, A 32 , B 68 ;2.3;(6) A 43 , B 63 , C 74111(7) (1) B. S -absinC -bcsinA casinB；222(2) B.三角形中大边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的120(3) A,由正弦定理，得-snC sin45b sin B sin 30 得b、c的值；庭 ,将c 72b代入b c v,2 1解(4) C.由余弦定理,2222b a c 2ac cos B ,即 25 a 50 10a,解关于 a 的方程 a2 10a 25 0,得 a 5.7. (1)工

11、或3工，由面积公式：S441bcsinA,即心 llsinA, 24222 一斛得sin A ,从而求出A；2(2)等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得,222b c aa 2bc22,2a c b2ac理得(a2b2)(c2a2b2)0,则a2b20或c2a2b222.2cab.2九,、一8.-.由正弦定理:3边关系：acosC2.22abc2absinAabsinB-2_sinB2CD3.c2R,可将已知的三个角的正弦关系转sinCb2c2ab,再利用余弦定理：ab2ab12所以,方程有综合练习(2sinB)24sinAsinC0,即sinAsinC.由正弦定理,_1AB-ACBC,得CD

12、2A.设等腰三角形顶角为12sincos为顶角，6t一,即sin2430或150.4.D.由正弦定理得（ab2c2,(ab)2(bc)2b2ac.cos75,BCasin75.由面积关系式：1acos75sin75a-sin1502、底角为sin贝Usincossin(兀2)c)23(a2b2(ca)20.5.C.ABC为三角形的内角,tanCtan(兀AB)tan(AtanAtanAtanBtanB1,6.C.cos2Acos2B1AB为三角形的内角，sin2A-2sinBsinA由正弦定理,a2RsinA,btanAtanB0,sin2AsinAsinBsinAabAsinBabB.cos

13、2A,62sin2两边平方，解得222ac2bc2a2btanA0,tanB0,C为钝角.1sin2Bsin2A0,sinB0.2RsinA2RsinB2RsinB.cos2BAB.（R为ABC外接圆半7.A.sinCsin2BsinBsinB2cosB22cosB8.B.由条件知cosAcosA7t2'2B7t一,2-3rcosB.即27t(BC)7t2，cosA02或cosAcosA1,16sincosA0,A24cosA0,22(1cos2A)3cosA0,A1cosA-.又2A1cosA.又2A为三角形的一cosA1.9.B,设三边2、三边和余弦定理，有：3、2x所对的三个角分

14、别为AB、C,根据三角形任意两边之和大于第10.cosAcosAcosBcosC222,x23222x2232x2D.由三角形面积公式:b20,2bc(12bc2.cosA1615或cosA175,0.50,xx2130.-bcsinA.2a2(bc)1sinA)411sin4A.sinA2,32cosA16cosA1.A为三角形的内角,2bc4(11sinA.4cosA)，2A17cosAcosA.2AsinA32cosA5,xV13.-bcsinA.2由余弦定理，-216(1cosA).150.解得151,cosA一1711.4f6.由余弦定理,231021527223cosA210152

15、5223.23.46+八sinA4.6sinAV1cosAJ(1)(1).tanA.252525cosA2312 .1.sinAcosBcosC,1-sin(BC)cosBcosCsinBcosCcosBsinC,sinBcosCcosBsinCcosBcosC.1.即cosBcosCtanBtanC1.13 .等腰三角形，2cosBcosC1cosA,1-2cosBcosC1cos冗(BC).2cosBcosCcos(BC)1cosBcosCsinBsinC1即cos(BC)1.BC0,即B=C.14.1.设ABC外接圆半径为R,则R=1.2由正弦定理sinAsinBsinC-a-b-2R2

16、R2Rabc设ABC的面积为S,则S=1.由面积公式11.1S-absinC-bcsinAcasinB,2222S2S2S8abc8sinAsinBsinC2.2bccaab(abc)8(abc)sinAsinBsinC15.直角三角形.由正弦定理、余弦定理,cosAcosBsinAsinBsinCa(b2 c2 a2) b(a2 c2 b2)2ab(a.22222,2,bcaacbab2bc2accb)2,2a b整理，得(ab)(a2b2c2)0.丁a>0,b>0,2,2ab.16.2d13,由于AE、F四点共圆,ECF120,连结EF,在CEF中,由余弦定理：EF252222

17、52cos12039,EFJ39.又由正弦定理可得AECF勺外接圆直径ACEF一上092、斤3.sin120、32图答5-7_1117. (mn).lg(1sinA)m,lgn,两式相减，21sinAlg(1sinA)(1sinA)mn.lg(1sin2A)mn,即1gcos2A2lgcosAmn.1,、lgcosA-(mn).c .13sin C sin 60由等比定理可得:239._,一,18. 2y9-.由三角形面积公式，c4.由余弦定理，a2b2av'13.由正弦定理，absinAsinB1 1.S-bcsinA,底-1csin602 2，c22bccosA1242214113

18、,22 sin B cosCsin A ,由正弦定理、余弦定理,abc2.39sin A sin B sin C 3一 一 .1319. B30 , S abc一2.2ab2b2aba,b2BC30.由正弦定理,absinAsinBbsin30sin12013.SABCabsinC2111sin302331220.60.设RABC外接圆半径，由正弦定理:abcabc3ab(2R2R2R)(2R2R2R)2R2R化简彳导:(abc)(abc)3ab,(ab)2c22,2abc2ab.再由余弦定理,得：cosC2,22,abcab2ab2ab21.a:b:c6：5：4.A2C,由正弦定理:csin

19、CasinAasin2Cc2ba2sinCcosCac，.由余弦定理:2cosCa2ccosC2,2ab2ab2ac22a()C2a(ac)5a3c4aa2c5a3c4a.4a2210ac6c0,(2a3c)(ac)0.c,a:b：c-c：-c：c22.120.,x1,2x1为三角形的三边,242x2x6：5：4.解得,1)(x21)0,2x0,0.cos(x21)(2x1)20,xx(x1)0,x1是最大的边长.令其所对的角为,由余弦定理:(x21)2(2x1)2(x2x1)22(x21)(2x1)2x3x22(2x3x22x2x1)120,即这个三角形中最大角的度数为拓展练习1.A设三角形

20、三边为n1、n、n1(nN),它们所对的角分别为CRA,则C2A.则、一n1正弦定理，sinAn1sinCn1sin2An，cosA2sinAcosA2(n1).由余弦定理,cosAan2(n1)24n2n(n1)2n(n1)n12(n1)2n4n2n(n1)去分母得：3c23,2n2nnn4nN,5.52454533cosA=-.即最小角的余弦值为一.425(51)604（法二）如图，ABC中，C2A,设A,A、RC三内角所对的三边分别为n、n1(nN).在AB上取一点D,使ACDBCDCDBCABsDCB.设CD为x,则DA为x,.n(n1).n(n1)n1-n1n122n1即(n1)nn

21、3n2nn1(n1)ABC的边长为cosA1-2-225642562.2536最小角的余弦值为C.正确.二1633.Asin21cosA,222(bca12bc2一2222bcbca4bca2(bc)24bc(abc)(abc)4bc(2P2c)(2P2b)4bc(Pc)(Pb)bc正确.由积化和差公式、正弦定理:ABtanABtan2.ABAsincos22_ABAcossin22正确.；(sinAsinB)12(sinAsinB)如图：作AB边上的高CD,则ADbcosA,BDacosB.cbcosAacosB.或A、B中有一为钝角，同理可证得.（法二）由余弦定理,bcosAacosB=b

22、2bc2acb2222caa2c2.2cb至c2c错误.由正弦定理：-sinAbsinBcsinC2RR.3.B.由正弦定理，得:2sin2Asin2BsinBsinC(sinAsinB)(sinsinB)sinBsinC.2sinABcos222cosABsin2ABsinBsinC.sin(AB)sin(AB)sinBinC.sin(AB)sinB.即sin(AB)sinB0.2cos-sin2Acos2A0,sin4.D.由正弦定理,absinAsinBABtan2ab.ABsin一sinAsinBcos.ABsin2.ABsinsin-2AB2BsinAsinBsinAsinB当sin

23、当tan2AB2AB22A0或sin2ABAcossin2ABcos一20时,1时,7tA=B;7t47t22cosA2AB2sin2BsincosA2A2lgalgclgsinBlg2,alg-lgsinBlgc2.c2sinB一2B45.又a由正弦定理，有sinA2AC180B135sinC2A135C.V2sinC2sin(135C).sinC2(sin135cosCcos135sinC),即sinCsinCcosCABC是等腰直角三角形.1.A 60 . 一 cosA2cosC0.C90,AB45.6 .3,).A是ABC中的最小角，01 aa112 a1a11an20,2a2a1八02(a1)a1,u0a1a3.7 .当BAM为等腰三角形时，S2T2取得最大值.由余弦定理,M 1 NAB图答5-10MB2_ 22 _ 2MB MN NB2MN NB cosN2 2cosN .4 2<3cosA 2 2cosN .cos N 3cosA 1 .AM2AB22AMABcosA42>/3cosA,991919S2T2g13sinA)2(511sinN)23212-sinAsinN443 212sinA1(.3cosA1)4 4