三角形中线专题

1、中线：顶点到对边中点的连线段 第一、中线等分面积;1 .能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是A .中线 B.角平分线 C .高线 D.三角形的角平分线2 .如图，在 ABC中，D、E分别为BC上两点，且 BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（）A . 4对 B . 5对 C. 6对 D. 7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）3. A ABC的周长为16cm长相等的两个三角形.若,AB BD = AC, BC边上的中线 AD把AABC分成周 3cm,求AB的长.z.4 . 一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的 四块.请你制订出两种

2、以上的划分方案.第二、 中线提供了对应全等的一组边 倍长中线构造全等; 实例： ABC中AD是BC边中线方式1:延长 AD到E,使DE=AD ,连接BE方式2:间接倍长 延长MD至ij N,使DN=MD ,连接CN方式3:过点C作CF LAD于F,过点B作BEX AD的延长线于 E;【经典例题】例1: ABC中，AB=5 , AC=3,求中线 AD的取值围例2:已知在 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F,且DF=EF,求证：BD=CE例3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC ,延长BE交AC 于 F,求证：AF=EF提

3、示：倍长 AD至G,连接BG,证明A BDe A CDA三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如图，在 ABC中，AB 交 AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分 BAC提示：方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CHAC , D、E 在 BC上，且 DE=EC 过 D作 DF / BA例 5:已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是 ABD的中线，求证：/ C= / BAE提示：倍长AE至F,连结DF证明 A ABEi A FDE (SAS进而证明A AD庭A ADC (SAS)例6:在 ABC中，AD是AABC的中线，求证： AB+AC>2AD

4、【融会贯通】1、在四边形ABCD中, 相交于点F。试探究线段AB / DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G 证明 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC2、如图，AD为证：BE CFABC的中线，DE平分EFBDA交AB于E, DF平分 ADC交AC于F.求第14题图AT平分 BAC交CM于D,交BC3、已知:如图,ABC 中， C=90 , CM AB 于 M于T,过D作DE/AB 交BC于E,求证：CT=BE.提示：过T作TNLAB于N证明 A BTN A ECDC4.如图

5、， ABC中，D是BC的中点，动点 E在AB边上，DF，DE交AC于F,连接EF, 猜想：BE+CF与EF的大小关系为 ,并请加以证明.5 .如图1,在正方形 ABCD和正方形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段 DF的中点，连接PG, PC.(1)探究PG与PC的位置关系及弓的值(写出结论，不需要证明)；(2)如图2,将原问题中的正方形 ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG ,且/ ABC= / BEF=60度.探究PG与PC的位置关系及 高的值，写出你的猜想并加以证明;(3)如图3,将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形 BEFG的边BG恰好与菱

6、形ABCD的边AB在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变.你在(2)中得到的两 个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.6 .如图，点 B、C、E在同一条直线上， ABC、DCE都为等边三角形， M为BD的中 点，N为AE的中点，求证： CMN为等边三角形.第6题图第7题图7 .如图，在 ABC中，经过BC的中点M,有垂直相交于 M的两条直线，它们与 AB、AC 分别交于 D、E,求证：BD+CE > DE .第三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；1 .如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90 °, D, E, F分别是 AB , BC, CA 的中点，若 C

7、D=5cm , 则 £5为（）A . 5 B. 10 C. 15 D. 20第1题图第2题图第3题图2 .如图， ABC中，BD、CE是4ABC的两条高，点 F、M分别是DE、BC的中点.求 证：FMXDE.8 .如图，/ ABC= Z ADC=90 °, M、N 分别是 AC、BD 的中点.求证： MN ±BD .第四、 两边中点连线，为三角形的中位线 平行于第三边且等于第三边的一般；（一）、已知三角形的三边为 6、8、10,顺次连结各边中点， 所得到的三角形的周长为多少？变形题：已知三角形的三边为 a、b、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？（二

8、）在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形变形题1:已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形 EFGH是平行四边形BC变形题2:已知E为平行四边形 ABCD边的延长线上的一点，且 CE=DC,连结AE ,分别 交BC、BD于F、G,连结 AC交BD于O点，连AF。求证：AB=2OF（三）如图，在四边形 ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结 EF并延长, 分别与BA、CD的延长线相交于 M、N。求证：/ BME=/CNEM变形题：在四边形 ABCD中，ACBD相交于。点，AC=BD,E、F分别是AB、CD的中点， 连接EF分另1J交AC、BD于M、N,判断三角形 MON的形状，并说明理由。第五、三中线交于一点，该点称为“重心”，将中线长度分为 2：1;三角形的重心将三角形的每条中线都分成1 : 2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1:取GA、GB中点M、N,连接MN、ND、DE、EM。（如图1）证法2:延长BE至F,使GF=GB ,连接FC。D是斜边AB的中点，当G是Rt例1如图 ABC的重心，3 所示，在 RtAABC 中，/ A=30°，点GEXAC 于点 E,若 BC=6cm,贝U GE二cm 。求面积例2