高考数学复习一轮复习笔记考点12零点定理(讲解)(解析版)

1、【思维导图】点在定 落存性理二分法考点12:零点定理给他任K=啪实触X叫做西股¥ = f I K）的零点f i£5：3且不建点二售万程的翳转化：方衡（# =。有实数模Q函航¥ =代父的罔务与M轴可交 点1函敷y = Mx）,零点.如果函蚊了 =节:乂满足二由室在区间口,用上的臼思是连域不断的一条曲线.内群，可看卜代加<0 ；则而触¥=我刈在心，上存在零点前，匕喉耐=。，就是方。丁日二0的混函数零点的存在性定理只能将断击败在某个区间上的受号舌4甯点，而不旎判断函数的不变号看点而且连堰函数在一个区. 3、胃的蟾点处函敝隋舞号是这个函数在这个区间上存在再

2、点相 充分不必整条件.零点定理对于在区间gr b上连续不断且*>>NbvO的函数*我制 , 通过不断邂把函数制冷的看点所在的区间一分为二,使区间的 两个靖点逐步词近零点，道而后到零点近似值的方法叫做二 分法方点定珊:零点区间（）出驰¥ =我刈在区间3,切上的13象是否遑覆2是否育代也）*代助<。,若有，则函鼓y = fO（）在区间储.b） 内必有审白. IS形结合去：通过函函鼓囹臬,现衣图蒙与算料荏给定区间上I是否有交点来判断斛万程法今代算）=。.则方悭实粗的个数就是函数光点的个斑考点利用它点定理，菇含函数的困敏与性国（如单词住，奇偈住.审理 周期性时翔强才能礴定国

3、鼓的雪点个加圆形话化为闲个国数的回方的交点个敝问聂.（画出两个函数的国结合 盘.真交点的个数就是由的办点的个数）据点参相雪求匹如士 百怪听涯亚市条件河鹿关于空数的不等式, 三朝-、禹通过解不答式确定趋故范围.分鬲先将叁数分高用a=*x）,再转化成关西府佰域在做法 问瞪加以解决教形结合先对器昕式变形再在同一平面百前坐标系中， 画出函黝的臼室然后散用堵合未弊12【常见考法】考点一：求零点1,若哥函数f x x的图象过点 2,42 ,则函数g x f x 3的零点是一【答案】9【解析】哥函数f x x的图象过点（2,J2）,，2J2,解得 =1,111f x x2 g x x2 3 由 g x x2

4、 3 0，得 x 9 - 22.函数f x x 3x 4的零点是.【答案】1, 4【解析】令 f （x） =0,即 x2+3x-4=0,解得：x=-4, x=1.ex, x 0 一 ，. 一3,若函数f x 9,则函数y f x 1的零点是.x2 1,x 0【答案】0或J2【解析】要求函数 y f x 1的零点，则令y f x 1 0,即f （x） = 1,ex,x 0x x又因为：f x 2，当x 0时，f x e ,e1,解得x 0.x2 1,x 0当x 0时，f x x2 1,x2 1 1,解得x 友 （负值舍去），所以x J2.综上所以，函数y f x 1的零点是0或J2 .故答案为：

5、0或J214,函数y= 的图象与函数y=2sin nx2WxW4）图象所有交点的横坐标之和等于 1 x【答案】8【解析】i,1 一 函数yi=与y2=2sin兀的图象有公共的对称中心（1, 0）,作出两个函数的图象,1 x由图象可知，两个函数在-2,4上共有8个交点，两两关于点（1,0）对称设对称的两个点的横坐标分别为m、n则m+n=2< 1=2 ,故所求的横坐标之和为8,故答案为8.考点二：零点区间x x1 .函数f(x) 4一的零点所在区间是()21D- (2,1)_ 1,11、A - ( 1,0)B- (0,7)C- (7,n)44 2【答案】D【解析】易知函数,一、,.，一 1-

6、 11f（x）为减函数，又f（）4 2 112421110, f (1)0,根据零点存在性原442x1理，可知函数f（x） 4一的零点所在的区间是（一,1），故选D.22x 22,函数f x x31的零点所在的区间为（）2A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4【答案】Bx 21【解析】.函数 f xx31单倜递增，f (0) =-4, f (1) =-1, f (2) =7>0,2根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是1,2，故选B.3 .函数f x x ln x 3的零点所在的区间为()A. 0,1B, 1,2C, 2,3D, 3,4【答案】C【解析】: f （x） =l

7、nx+x-3在（0, +8）上是增函数f （1） =-2<0, f （2） =ln2-1<0, f （3） =ln3>0.f （2）牙（3） <0,根据零点存在性定理，可得函数 f （x） =lnx+x-3的零点所在区间为（2, 3）故选：C.4 .已知f x是定义在 0,上的单调函数，满足 f f x ex 2ln x 2 e 1,则函数f x的零点所在区间为（10,eB.C.1-,1 eD. 1,e【答案】C【解析】设f x ex 2ln x 2 t ,即f xex 2ln x 2 t , f t e 1 ,因为f x是定义在0,上的单调函数，所以由解析式可知，f

8、x在0,上单调递增.而 f 1 e 2 t , f t e 1 ,故 t 1,即 f x ex 2ln x 1 .1111因为 f 1 e 1 0, f -ee 2ln 1 ee 3,ee1 111-由于 lneeIn 3 In 3 0,即有 £3,所以 f ee3 0.ee 3e一 1故f - f 10 ,即f x的零点所在区间为e1,1 e故选：C.考点三：零点个数1 .函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为 -【答案】2【解析】分别画出函数y=ln x(x>0)和y=|x2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.x1-lO

9、g2018x2 .方程 2019的解的个数是 【答案】2x【解析】作出y和y 10g2018 x的函数图象，如图所示：2019由图象可知两函数图象有2个交点.x1故方程log2018 X的解的个数也为2个.20193 .方程2sin(2x -) 1 0在区间0,4 )上的解的个数为 -【答案】8由 2sin(2x ) 1 0 得 sin 2x -【解析】12，0,4,分别画出y1 sin 2x 一和y232x ,0 x 14,若函数f x是定义在R上的偶函数，f(x 4)f(x)，且f(x)，则函数4 2x,1 x 21，g(x) f(x) -x 1的零点个数为 .【答案】6【解析】因为f(x

10、 4) f(x)，即f x是周期为4的周期函数2一、2x2,0 x 1f x为偶函数，且f (x)，画出函数图像如下图所示4 2x,1 x 2人 11.1.令g(x) f(x) -x 1 0可得f(x) -x 1.画出h x -x 1的图像如上图所示 333由图像可知，f x与h x图像共有6个交点1所以g(x) f(x) -x 1共有6个零点故答案为：6ln x x 025.已知函数f x11,则方程f x f x 0的不相等的实根个数为 .0x0【答案】72【解析】万程f x f x 0可解出f(x) 0或f(x) 12万程f x f x 0的不相等的实根个数即两个函数f(x) 0或f(x

11、) 1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y 0, y 1的图象与函数f(x)的图象的交点个数相同，如图：y 1的图象与函数f (x)的图象的交点个数有四个2y 0的图象与函数f(x)的图象的父点个数有二个，故万程f x f x 0有7个解，故答案为76,已知定义在 R上的函数y f x对任意x都满足f x 1 f x ,且当0 x 1时，f x x,则函数g x f x ln|x|的零点个数为 【答案】3【解析】当1, x 0时，则0, x 1 1,此时有 f(x) f(x 1) x 1 ,.f x 1 f x , . . f x 2 f x 1 f(x) f (x),函数y

12、 f x是周期为2的周期函数.令 g x f x ln x 0,则 fx ln x ,由题意得函数g x f x In x的零点个数即为函数 y f x的图象与函数y In x的图象交点的个在同一坐标系内画出函数 y f x和函数y ln x的图象(如图所示)，结合图象可得两函数的图象有三个交点,，函数g x f x In x的零点个数为3.7.已知函数f xlog2x 1 xx 4 x3的零点个数为【解析】由题意，函数 y f f x3的零点个数，即方程 f f x3的实数根个数,设t f x ,则f t 3,作出f x的图象,1如图所不，结合图象可知，方程 f t 3有三个实根ti1, t

13、2 , t3 4,41.则f x 1有一个解，f x 有一个解，f x 4有三个解，4故方程f f x 3有5个解.8.已知函数 f (x)10g 2 x , g(x)0,0 x 1c 1x 2 , x2,则方程f (x) 1g(x) 1实根的个数为【解析】当0 x 1时，f x10g 2 x, g x 0,，.1f x g x 10g 2 x 1 有一实根一； 2当 x 1 时，f x 1og2 x ,log2 x1. log2 x1 一一或 10g2 x2210g2(x 1),x (1,3)-的图象如图,29.已知函数f(x)、x 3,)则函数g(x)f f(x)1的零点个数为【解析】令g

14、(x)f f(x) 1 0,则 ff(x)1,令 f (x)1,若10g2(x 1) 1,解得 x 1 或 x1.2，符合x (1,3)；若一1,解得x 5,符合 x 1x 3,).作出函数f(x)的图象，如下图，x1.0 时，f(x)0,；x 0,3 时，f(x) 0,2；x 3,)时，f(x) 0,2 .1结合图象，右f(x) 1,有3个解;右f(x) 一,无解;若f(x) 5,有1个解.2所以函数g(x) f f (x)1的零点个数为4个.考点四：根据零点求参数x a在区间0,1上有零点，则实数 a的取值范围是【答案】2,0【解析】函数f(x)=x2+x+a的图象的对称轴方程为 x1 、

15、一3,故函数在区间(0,1)上单调递增,f 0 a 0再根据函数f(x)在(0,1)上有零点，可得，解得-2<a<0.f 12 a 0一，x 2,一，、2 .函数f x 2 a的一个零点在区间x1,2内，则实数a的取值范围是【答案】0,3【解析】由条件可知f 1 f 2?2 2-a 41 a0,即 a(a-3)<0,解得 0<a<3.3 .若函数f (x) 2xx 7的零点所在的区间为(k,k1)(k Z)/Uk=【解析】一f(2)f(3)0, 且0,f(x)单调递增,.-f(x)的零点所在的区间为(2,3) ,. k 2.4 .已知函数f(x)lg(x 1),

16、x1,、若函数g(x)1,f(x) 2k有三个不同的零点，则实数k的取值范围入1【答案0,- 2【解析】由g(x) f (x) 2k 0得f(x) 2k,作函数y f(x)的图象及直线y 2k,它们有三个交点,1贝U 0 2k 1, . 0 k -.21415一 -一 2一.5 .函数f x 4x x a有四个零点，则a的取值范围是.2 4x x的图像有【答案】(0, 4)【解析】由题 4x x2 a 0即4x x2 a有四个根，画出y(0,4)m的取值范围为当x 2时y 4 2 224 ,故a的取值范围是(0,4)故答案为2x2 2x 1(x 0)6 .若函数f x3x x 0 ,方程f x

17、m有两解，则实数【答案】0 m 2【解析】二次函数的最高点为 y 2 ,有图可知y m与函数有两个交点，则取值范围为 0 m 2函数f x满足f x f 2 xx 10 f X cos 1TXf2X,且当XI，0时，2 ，若函数f xloga x, a0al.一 .，一0,a 1有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是【解析】，可知函数f X图像关于X 1对称，又因为f X为偶函数，所以函数f X图像关于y轴对称.所以函数f X的周期为2,要使函数g X f Xloga X有且仅有三个零点,即函数y f x和函数y loga x图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知,log a 31,loga

18、 51 a5119,若存在三个不同实数a, b0,贝U abc的取值1,-X 1,x08.已知f X 2log2019 X ,X范围是【答案】2,00,画出函数图像，如图所示:log20i9X,x 0故 2 abc 0.a 0有四个实根根据图像知：2a< 0, log2019 b log 2019 c,故 bc 1,Xi, X2,X3, X4 ,则这四个根之积Xi X2 X3 X4的取值范围°，116【解析】”*)与丫 a两图象交点问题，当 x 0, yf (x) a 0 f (x) ax1x211x3%一,其中 x2 ( 一 ,0 , log2log224*3x41x1X2

19、x3X4=X1 X2(x2)x22X212X2，X2(1 n ,0 X1 X2 X34X41-10,.填与：0,1616考法五：二分法X1.001.251.3751.50f X1.07940.1918-0.3604-0.99891.用二分法求函数f xXIn 2x 62 3零点时，用计算器得到下表:则由表中数据，可得到函数的一个零点的近似值(精确度为0.1)为()A. 1.125B. 1.3125C. 1.4375D. 1.46875【答案】B【解析】根据二分法的思想，因为f (1.25) f(1.50) 0,故f(x)的零点在区间(1.25,1.50)内，但区间(1.25,1.50)的长度为0.25 0.1,不满足题意，因而取区间(1.25,1.50)的中点1.375,由表格知f(1.25) f (1.375) 0,故f (x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125 0.1,不满足题意，因而取区间(1.25,1.375)的中点1.3125,可知区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375