浙江省杭州市2021届高三二模数学试题(含答案解析)

1、2020学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷2021.4考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答 题区域的作答无效！3. 考试结束，只需上交答题卡.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给岀的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合?l = x |x2X2<0, B= x |y=lg（x1）,则（）B. x | 1 <x<2C. x|lWxV2D. x|0WxV22. 设复数z满足z (3-i

2、)=10 (i为虚数单位),贝>J|z|=()A. 3B. 4C. V10D. 103. 设a, b是非零向量，则F丄夕'是“函数f(x)=(xab)xb-a)为一次函数”的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 某四棱锥的三视图（图中每个小方格的边长为1）如图所示，则该四棱锥的体积为() QA- 4B. ?3c. JD. I3x-y-6 < 0»5. 已知实数x, y满足2x-y-3 > 0,则z=xy ().x + y >0,A.有最小值2B.有最大值3IIII I;正視图：侧世图：（第4题）C. 有

3、最小值1D. 有最大值27. 已知尺，尽是双曲线C： g-g=l （QO, b>0）的两个焦点，以线段RE为边作正三角形MF02.若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（） A 4+2V3B. V3-1C学D. V34-18. 已知数列a满足尸為+%2（”N3）,设数列a的前力项和为s”.若 S2O2o=2O19, S2o【9=2O2O,则 S2021=（）A. 1008B. 1009C. 2016D. 20189. 己知函数/（x）=aex-x3-ar-2 （a>0）.若函数y=f（x）与尸叽f（x）有相同的 最小值，则a的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D 410.

4、 如图，在长方形ABCD +, 4B=辱,仞=1,点E在线段仙（端点除外）上， 现将2DE沿DE折起为4QE.设Z4DE=a,二而角A_DEC的大小为伤 若a +0=扌，则四棱锥A'-BCDE体积的最大值为（）C.商三数学第3页（共4页）非选择题部分（共110分）二 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11已知/（兀）=(2x9 (x>0) l-x + 1, (x<0)，则 /(2)=:若/(a)=2,则 a=12. 已知(x+«)3(x+l)4的展开式中所有项的系数之和为16,则0=, <项的系数为.13. 设g b, c分别

5、为MBC的内角力，B, C的对边，平=鸞三器 若4=1，Cy/j f 则 C=9 £sABC 的面积=14. 甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和加个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X.若E(X)W，则心，P(X=2)"15. 己知x, y, Z为正实数，且r+z2=l,则需占的最小值为.16. 已知 a, 是单位向量，且 4丄力.设OB=b, OC=ma+nb (mn>0),若MC为等腰直角三角形，则加=.17. 已知F为抛物线y2=4x的焦点，过卩作斜率为b的直线和抛物线交于"，B两点，延长/M,交抛物线于C, D两点,直线C

6、D的斜率为金.若M(4, 0),商三数学第5页（共4页）段初和PC上，且壽唱=2三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。18. (本题满分 14 分)设函数/(x)=V3sinxcosx+sin2x(D求/a)的单调递增区间；(II)若/G(令，9, /*)=?求 8S(2力¥)的值19. (本题满分15分)如图，在四棱锥P/IBCD中,HPBC为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AD/BC, ZADG=90°9 AD=CD=39 BC=4,点 M, N 分别在线(I)求证：PM平面BDN；(U)设二面角 P40B 为 0.若 co

7、s=?A求直线丹与平面PBC所成角的正弦值:20. （本题满分 15 分）已知数列血,bn9 满足 an=2n2t b2k.x=ak （A：eN*）, bu-t bg 如+1成等差数列.（D证明：如t是等比数列；5）数列©满足c”=_二,记数列©的前n项和为S”,求S”8n（n+l）21. （本题满分15分）如图，已知抛物线C】：兴=夕在点 /处的切线/与椭圆C2： y + y2 = 1相交，过/作Z 的垂线交抛物线G于另一点B,直线OB （O为直角 坐标系原点）与/相交于点D,记/（X】，p）, Eg, 力），且 Xj>0.（I）求XX2的最小值；（II）求啟的取值

8、范围.22.（本题满分15分）己知函数/（x）=dln（x+l） （。>0）,（I）当。=1时，求证：对任意x>0, f（x）>g（x）（II）若函数/（X）图像上不同两点P, Q到X轴的距离相等，设/（X）图像在点P,0处切线交点为M,求证：对任意a>0,点M在第二象限.2/4-4 I = cos| 0 ?= COS+则cos症x 丄dXM33262020学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学参考答案及评分标准选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小題4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.12345678910BCB

9、CBDDBBA非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 4; 1 或一 112 0, 413.歩乎 14. 2,恙15. 3+2近16, 1 或217. 4三、解答题：（本大题共5小题，共74分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）（I）因为/（x） = dsin2x + -L = sin（2x-Z,因为2肮专各2艇垮,jr7T解得肮-評®十亍az.所以/的单调递增区间(加-鼻刼乙63(ID /(>4) = sin(2/i= 令 0 = 24；贝 lj 0 < < -, o

10、y 362所以sin = |, cos"，血519.（本题满分15分）（I）连接CM交于F,连接&N, 因为竺=竺=2,EM AM所以EN/PM9又以为ENu平面BDN, PM0平面BDN,所以PM/平面BDM.7分(II)取EC中点F,易知/D丄MF,人D丄PF,所以血)丄平面PMF,所以/£)丄PM,建立如图所示的空间直角坐标系Mr 则 J(l, 0, 0), 5(2, 3, 0), C(_2, 3, 0), P(0, 1, 2说)，则丽=(一1，1，2返)，丽=(一2, -2, 2说)，丽=(4, 0, 0), 设平面P3C法向量为n = (x, y? z)9

11、5C =即-2x -2y + 2近z = 0(4x = 0取死=(0, y/2y. 1),设丹与平面PBC所成角的伏则 sin0=|cosv，AP>|=P，所以PA与平面MC所成角的正弦值为于.8分O20.(本题满分15分)(I )由 a”=2"N bm=讥,得 -i=2*2,又因为亦，屉,加叶成等差数列，得如=32心, 即严=2,b2k-2所以力心是首项为公比为2的等比数列.(II)因为bn - 如-1=3 2 2一2 = 23,2(n-Fl)-n 11(n+Dn-271 _ n-2n-r (n+l)-2n1 =1 1伍+丄)2"曰斤 U = + 4u £

12、m n 2° 2公 2 21 3公n-2«-i(n+l)"21.(本题满分15分)(I)点/处切线/方程：y=2xx X|2,与椭圆C2方程牛+?=联立，得(1+骑)/ -8心+2-2 = 0,因为/与椭圆C2相交，故方程判别式二64*-4(1 + 8#)(2.<-2)>0,求得0v彳 v4 + VF7,则力3直线方程为："一*"彳+£,与抛物线方程歹=*联立，可得 2xlx2+x-2xl3-x1 = 0,由韦达定理，可得x2=-x-,所以无-兀2=2x】+f-N2,当且仅当坷=4时，不一勺取得最小值27分(II)记点O

13、8到直线/的距离分别为di, di."厂氐+护圧莎守)'1"1_£_ X _4所以両=石=（1 + 4彳）2=（丄+ 4）2 彳因为0G； <4 + 皿 所以厶+ 4>荷, xlD0 故IM40 + 4）2入1c（09）1722.(本题满分15分)2 y(I) 当 a=l 时,设h(x) = /(x)-gx) = ln(x+1),x+214x?则 hX) = r =r ,x+l (x+2)2 (x + 1)(x+2)2当xW(0, +8)时，力匕)>0,故方(x)单调递增.所以x>0时，心)>力(0)=0,不等式/(x)>

14、;g(x)得证.7分(II) 由P, 0到x轴的距离相等，且/(x)=aln(x+l)的单调知P, 0的纵坐标相反, 故设卩("-1,加)，0(厂-1,-加)，不妨设加则点P处切线方程为尸笔(X - r+1)+宀则点Q处切线方程为y = -(x-e a +1)-加e R2 巴)联立两直线方程，可得M交点勺=卩-1，efl -e °e" -e “设竺=f >0,贝Ijx0 = , 2z -1,y0 = a( -2ze_7-1)-r,ae -ee -e要证M在第二象限，即证：xo<O, yo>O.要证x°=即证ee-2/>0,设弘)丸-/-2你e e则F(z) = W+L2>