【精选】2020年中考数学必考34个考点专题16全等三角形判定和性质问题(解析版)

1、专题16全等三角形判定和性质问题专题知识回顾1 .全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2 .全等三角形的表示全等用符号 W 表示，读作“全等于" 。如 ABC DEF ,读作“三角形 ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3 .全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。4 .三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”

2、或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。5 .直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）专题典型题考法及解析【例题1】（2019破州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB/ED, AC / FD ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABCA DEF的是（）A. /A=/DB. AC= DFC. AB= EDD. BF = EC【解答】选项 A、添加/ A=Z D不能判定 ABCA DEF ,故本选项正确；选项B、添加AC = DF可用AAS进行判定，

3、故本选项错误；选项C、添加AB = DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项D、添加BF = EC可得出BC=EF,然后可用 ASA进行判定，故本选项错误.故选：A.【例题2】（2019?黑龙江省齐齐哈尔市） 如图，已知在 4ABC和4DEF中，/B = /E, BF=CE,点B、F、C、E在同一条直线上，若使ABCA DEF ,则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）【解析】添加AB= DE ; BF = CE,BC=EF,【ERE在ABC 和DEF 中，4 ZB=ZE ,BC=EPABCA DEF (SAS【例题 3】(2019件同仁)如图，AB= AC, ABXAC, ADXAE,且/

4、ABD =/ACE.求证：BD = CE.【答案】见解析。【解析】证明：ABXAC, ADXAE, ./ BAE+/CAE=90°, ZBAE + Z BAD = 90°, ./ CAE =/BAD.又 AB=AC, /ABD=/ACE, ABDA ACE (ASA).BD = CE.专题典型训练题一、选择题1.（2019?广东）如图，正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形 EFGB, 延长FG交DC于M,连接AM、AF, H为AD的中点，连接FH分别与AB.AM交于点N、K.则下列结论： ANH 叁* GNF ;/ AFN= / HFG

5、 ; FN=2NK ; Saafn : Sa adm =1 : 4,其中正确的结论有（）B. 2个C. 3个D. 4个£ BC【答案】C【解析】AH = GF=2, /ANH=/GNF, /AHN=/GFN, AANHAGNF （AAS）,正确；由得AN=GN=1 , NGXFG , NA不垂直于 AF ,二. FN不是/ AFG的角平分线/AFN 电 HFG ,错误；由 AKHsMKF,且 AH:MF=1:3, . KH :KF =1:3,又; FN = HN,. K为NH的中点，即 FN=2NK,正确；Sa afn = 1 AN FG=1 ,Sa adm = -DM AD=4 ,

6、Saafn :22Sa adm =1 : 4,正确.2. （2019?广西池河）如图，在正方形 ABCD中，点E, F分别在BC, CD上，BE=CF,则图中与/ AEB相等的角的个数是（）H步 ECA. 1B. 2C. 3D . 4【答案】B.【解析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明 ABEA BCF,再根据全等三角形的性质可得/BFC=ZAEB,进一步得到/ BFC = /ABF,从而求解.证明：:四边形 ABCD是正方形， .AB/BC, AB=BC, Z ABE=Z BCF = 90° ,在 ABE和 BCF中，产BC/搦E=/BCF,lB0=C?ABEA BCF （SA

7、S）, ./ BFC = Z AEB, ./ BFC = Z ABF, 故图中与/ AEB相等的角的个数是 2.3. （2019?胡北天门）如图，AB为。的直径，BC为。的切线，弦 AD/OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论：CD是。的切线；COLDB;AEDAs EBD;ED?BC= BO?BE.其中正确结论的个数有（）【答案】A.C. 2个D. 1个【解析】连结DO.AB为。O的直径，BC为。的切线，CBO = 90° ,. AD / OC,/ DAO = / COB , / ADO = / COD.又 OA=OD, ./ DAO = Z ADO , ./ CO

8、D = Z COB.rCD=DO在 cod 和 cob 中，ZC0D=ZC0B, loe=o& . CODA COB (SAS), ./ CDO = Z CBO = 90° .又点D在。O上，CD是OO的切线；故 正确， CODA COB,.CD = CB, .OD = OB, CO垂直平分DB ,即CO± DB,故正确；AB为。O的直径，DC为。O的切线， ./ EDO = Z ADB= 90° , .Z EDA+Z ADO = Z BDO + Z ADO =90° , ./ ADE = Z BDO .OD = OBODB = Z OBD, .

9、/ EDA = Z DBE,一/ E=Z E, . EDAsEBD,故 正确； ,/ EDO = Z EBC=90° ,Z E = Z E, . EODA ECB,M ODBE BC .OD = OB,ED?BC= BO?BE,故 正确。4. (2019砌北孝感)如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边 CD, AD上，BE与CF交于点G.若BC = 4,C.19D.【解析】证明 BCEA CDF (SAS),得/ CBE=Z DCF ,所以/ CGE=90° ,根据等角的余弦可得 CG的长，可得结论.正方形 ABCD 中，BC=4,BC =CD = AD =4, Z BC

10、E=Z CDF =90° ,AF= DE = 1,DF = CE =3,BE=CF= 5,在 BCE和CDF中，irBC=CD ZBCE=ZCDF, :CE=DFBCEACDF (SAS, ./ CBE=Z DCF ,. / CBE+/CEB = / ECG+/CEB=90° =Z CGE,BC CGcos/ CBE=cosZ ECG = t=,BE CE.4 OG rn_12 CG5 3512 13GF = CF - CG= 5-=555. (20197L1I东省滨州市)如图，在 OAB 和 OCD 中，OA=OB, OC=OD, OA>OC, Z AOB=Z CO

11、D= 40° ,连接AC, BD交于点 M,连接OM.下列结论：AC=BD;/AMB=40° ;OM平分/ BOC;MO平分/ BMC,其中正确的个数为（OC. 2【解析】由 SAS证明 AOCBOD得出/ OCA = /ODB, AC= BD ,正确；由全等三角形的性质得出/ OAC = Z OBD,由三角形的外角性质得：/AMB+/OAC = /AOB+/OBD,得出/ AMB = /AOB= 40° ,正确；作 OGLMC 于 G,OH，MB 于 H,如图所示：则 / OGC= / OHD = 90°，由 AAS 证明OCGODH (AAS), 得

12、出OG = OH,由角平分线的判定方法得出MO平分/ BMC,正确；即可得出结论. . / AOB = Z COD = 40° , / AOB+ / AOD = / COD + / AOD ,即 / AOC = / BOD,rOA=OB在4AOC 和ABOD 中，/AOC=NB0D ,、CC=OD .AOC BOD (SAS), ./ OCA = /ODB, AC=BD,正确;OAC = Z OBD由三角形的外角性质得：/ AMB+/OAC = /AOB+/OBDAMB = /AOB=40° ,正确；作OGMC于G, OHLMB于H,如图所示：则/ OGC=Z OHD =9

13、0° ,rZOCA=ZODB 在OCG 和 AODH 中，, ZOGC=ZOHD，QC=ODOCGA ODH (AAS),.OG = OH,MO平分/ BMC,正确；正确的个数有3个。6. （2019例南）如图，在四边形 ABCD中，AD / BC, /D=90°, AD=4, BC=3.分别以点 A, C为圆心， 大于方 AC长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点。是AC的中点,则CD的长为（）A . 2MtB. 4C. 3D, H/TO故选：A.【解析】连接FC,根据基本作图，可得 OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出 AF = FC

14、.再根据ASA 证明FOABOC,那么AF = BC=3,等量代换得到 FC=AF=3,利用线段的和差关系求出 FD=AD- AF = 1.然后在直角 FDC中利用勾股定理求出 CD的长.如图，连接FC,则AF=FC. AD / BC, ./ FAO= / BCO.在 FOA与 BOC中，ZFAC1=ZBCO7 4。C，,NA" 二 NCOB . FOAA BOC (ASA),AF= BC= 3,FC = AF= 3, FD=AD-AF=4-3=1.在FDC 中，. / D = 90°, .CD2+DF2=FC2,.-.CD2+12=32, .CD = 2 匹故选：A.7.

15、 （2019?山东临沂）如图，D是AB上一点,DF 交 AC 于点 E, DE = FE, FC /AB,若 AB= 4, CF = 3,则BD的长是（）【答案】B.B. 1C. 1.5【解析】根据平行线的性质,得出/ A= / FCE , / ADE = / F,根据全等三角形的判定,得出ADECFE,根据全等三角形的性质，得出AD=CF,根据AB = 4, CF=3,即可求线段 DB的长. CF / AB,.A=/ FCE, ZADE= ZF,Z二 NFCE 在 AADE 和 FCE 中4 ZADE-ZF, lDE=FEADEACFE (AAS),AD = CF = 3,. AB=4, .

16、DB = AB-AD = 4-3=1. 二、填空题8. （2019四川成者B） 如图，在4ABC中，AB=AC,点D, E都在边BC上，/ BAD=/CAE,若BD=9,则CE 的长为.【答案】9【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为4ABC是等腰三角形，所以有AB=AC, / BAD=/CAE,/ABD=/ACE,所以 ABD ACE（ASA）,所以 BD=二次，EC=9.9. （2019?胡南邵阳）如图，已知 AD=AE,请你添加一个条件，使得ADCAEB ,你添加的条件是.（不添加任何字母和辅助线）【答案】AB = AC 或/ ADC =/ AEB 或/ ABE = Z ACD

17、。【解析】根据图形可知证明 ADCA AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA.SASAAS证明两三角形全等. / A=Z A, AD =AE,，可以添加 AB = AC,此时满足 SAS;添加条件/ ADC = /AEB,此时满足 ASA;添加条件/ ABE=/ACD,此时满足 AAS,故答案为 AB=AC 或/ ADC = /AEB 或/ ABE=/ ACD。10. （2019?天津）如图，正方形纸片 ABCD的边长为12, E是边CD上一点，连接 AE ,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点 B,得到折痕BF,点F在AD上，若DE=5 ,则GE的长为491

18、3【解析】因为四边形ABCD是正方形,易得 AFBA DEA, ，AF=DE=5,贝UBF=13.又易知 AFHs BFA,所以®- "，即AH=60 ,，AHuZAHu120 , .由勾股定理得 AE=13, BA BF1313一一 49 .GE=AE-AG= 1311. （2019?广东省广州市）如图，正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合），/ DAM= 45°,点F在射线AM上，且AF=72BE, CF与AD相交于点 G,连接EC, EF, EG,则下列结论：/ ECF = 45°4AEG的周长为（1+包）a；BE2+DG

19、2= EG2; AEAF的面积的最大值 a2. 28其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）故答案为.【解析】如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH.,. BE=BH, /EBH = 90°,eh = V2be, -，af=72be,，af = eh, . / DAM= / EHB = 45°, Z BAD = 90°, ./ FAE= ZEHC = 135°,. BA=BC, BE=BH,，AE=HC,FAEA EHC (SAS), .EF=EC, /AEF = /ECH, . / ECH+ZCEB=90°, ./ AEF + /CE

20、B=90 ./ FEC = 90°./ ECF=ZEFC = 45°,故正确,如图2中，延长 AD到H,使得DH=BE,则CBECDH (SAS), ./ ECB=/DCH , ./ ECH= Z BCD =90°,/ ECG = / GCH = 45°, . CG = CG, CE=CH,GCEAGCH (SAS), ，EG = GH, . GH = DG + DH, DH =BE, .EG=BE+DG,故错误, .AEG 的周长=AE+EG+AG = AG+ GH = AD+DH+AE = AE+ EB+AD = AB+AD = 2a,故错误,设 B

21、E=x,贝U AE = a- x, AF = tJ_2x,Saaef = L? (a - x)及=-x2ax=一(x2 - axa2a2) = - - (x- - a) 2+-a228，x=La时，4AEF的面积的最大值为-ia2.故正确,28故答案为.12. (2019?山东临沂)如图，在 4ABC 中，/ACB=120°, BC = 4, D 为 AB 的中点，DCBC,则 4ABC的面积是【答案】8月.【解析】根据垂直的定义得到 /BCD = 90°,得到长CD至ij H使DH=CD,由线段中点的定义得到 AD = BD, 根据全等三角形的性质得到AH=BC = 4,

22、 /H=/BCD = 90°,求得CD = 2后 于是得到结论.DC ± BC, ./ BCD = 90°, . / ACB=120°, ./ ACD=30°,延长CD至U H使DH = CDD为AB的中点, .AD = BD,Edh在 AADH 与 ABCD 中，/ADH=/BDC, .AD二BDADHA BCD (SAS),.-.AH = BC = 4, /H=/BCD=90°, . / ACH=30°,CH = 1j3AH=4/3，CD = 2 近，.ABC的面积=2Sa bcd= 2得 2；弓=仇巧,故答案为：8.三

23、三、解答题13. (2019?胡南长沙)如图，正方形 ABCD,点E, F分别在 AD, CD上，且DE=CF, AF与BE相交于点G.(1)求证：BE=AF;(2)若 AB=4, DE= 1,求 AG 的长.BC【答案】见解析。【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握 正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键.(1)证明：四边形 ABCD是正方形， ./ BAE=/ADF = 90° , AB=AD = CD, DE = CF,AE= DF'AB 二 AD在 ABAE 和 ADF 中，4/BAE二ZADF， . BAEA

24、ADF (SAS),BE = AF;(2)解：由(1)得： BAEA ADF , ./ EBA=Z FAD, ./ GAE+Z AEG = 90° , ./ AGE = 90° , AB=4, DE=1,AE=3, ,BE='JabQae2 = 3 + 产5,在 RtABE 中，LaBX AE = BEX AG,22，ag = 9=5125F分别为垂足.14. (2019?胡南怀化)已知：如图，在 ？ABCD中，AEXBC, CF± AD,巳(1)求证： ABEACDF ;【答案】见解析。【解析】(1)证明：二四边形 ABCD是平行四边形, ./ B=Z

25、D, AB = CD, AD / BC, AEXBC, CFXAD, ./ AEB=/AEC = / CFD = /AFC=90° , rZB=ZE在 ABE 和 CDF 中， /AEB=/CFD , lAB=CDABEACDF (AAS);(2)证明：.AD / BC, ./ EAF = Z AEB=90° , .Z EAF = Z AEC = Z AFC=90° , 四边形AECF是矩形.15. (2019?湖南岳阳)如图所示，在菱形 ABCD中，点E.F分别为AD.CD边上的点，DE = DF 求证：/ 1=7 2.【答案】见解析。【解析】由菱形的性质得出A

26、D=CD,由SAS证明ADFCDE,即可得出结论.证明：四边形 ABCD是菱形， . AD = CD,rAD=CE在4ADF 和4CDE 中，.ZD=ZD ,ldf=deADFACDE (SAS),1 = / 2.16. (2019?t肃)如图，在正方形 ABCD中，点E是BC的中点，连接 DE,过点A作AGXED交DE于点F,交CD于点G.(1)证明： ADGA DCE;(2)连接 BF,证明：AB = FB.ADSEC【解析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注 意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.(1)二.四边形 A

27、BCD是正方形，ADG = / C=90° , AD=DC,又 AGXDE, ./ DAG+Z ADF =90° =Z CDE+/ADF, ./ DAG = Z CDE,ADGA DCE (ASA);(2)如图所示，延长 DE交AB的延长线于H,.E是BC的中点，BE=CE,又/ C=Z HBE = 90° , / DEC = Z HEB ,DCEA HBE (ASA),BH = DC = AB, 即B是AH的中点， 又. / AFH = 90° ,AFH 中，BF = LaH=AB.517. (2019 山东枣庄) 在 ABC 中，/ BAC = 90

28、° , AB = AC, AD，BC 于点 D.图1图2图3(1)如图1,点 M, N分别在 AD, AB上，且/ BMN = 90° ,当/ AMN = 30° , AB= 2时，求线段 AM的 长；(2)如图2,点E, F分别在 AB, AC上，且/ EDF = 90° ,求证：BE=AF;(3)如图3,点 M在AD的延长线上，点 N在AC上，且/ BMN = 90° ,求证：AB+AN =JAM .【答案】见解析。【解析】(1)根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD = BD= DC = V2,求出/ MBD = 30°

29、 ,根据勾股定理计算即可； . Z BAC=90° , AB = AC, AD ± BC , .AD = BD = DC, Z ABC=Z ACB= 45° , /BAD=/CAD=45 AB=2,.AD = BD = DC=三 . / AMN = 30° ,，/BMD = 180° -90° -30° =60° , ./ MBD = 30° ,BM = 2DM由勾股定理得，BM2- DM2=BD2,即（2DM） 2- DM2=（五）2,(2)证明：. ADXBC, /EDF = 90° ,在

30、BDE和 ADF中， ZB-ZDAF& DBR4 ,1Zbde=ZadfBDEA ADF (ASA)BE = AF;(3)证明：过点 M作ME / BC交AB的延长线于 E, ./ AME = 90° ,则 AE= V2AM , / E = 45° ,ME = MA,. / AME = 90° , / BMN = 90° , ./ BME = Z AMN ,在 BME和 AMN中，Ne =/MAN1Zbbie=ZamnBMEA AMN (ASA),BE = AN,AB+AN = AB+BE=AE = V2AM .图318. （2019例北）如图，ABC 和 AADE 中，AB = AD=6, BC = DE , / B = / D = 30°,边 AD 与边 BC 交 于